精品解析：2025年山东省潍坊市坊子区中考二模数学试题

2025年初中学业水平模拟自测（二） 数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 在实数1，，0，中，最大的数是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键． 正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 【详解】解：∵ ∴ ∵正数负数 ∴ ∴最大的数是． 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 3. 如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴的特征和应用，二次根式的性质，根据数轴上的点表示的数可知，，，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得， ∴，，，， 故选：B． 4. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 根据俯视图的定义即可确定． 【详解】解：从上往下看，是一个大长方形，左右两侧有两个小长方形，中间的棱看得见，为实线， 故选：D． 5. 如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作轴于点，根据旋转的性质以及含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据点的平移，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转得到 ∴， ∴， ∴ ∵再沿轴向右平移1个单位长度得到 ∴的坐标是， 故选：D． 6. 已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，根据一次函数的性质得出，进而根据反比例函数的性质得出，在第四象限，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，， ∴ 又∵点，在反比例函数的图象上， 又，则，在第四象限，随的增大而增大， ∴ 故选：D． 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得3分，部分选对得3分，错选、多选均记0分） 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，幂的乘方以及负整数指数幂和同底数幂的乘法运算，根据以上运算法则逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：BC． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的弧所对的圆周角相等 B. 两个无理数的和仍为无理数 C. 若为线段的中点，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查了相等的弧所对的圆周角相等，实数的计算，线段中点的定义，实数的大小比较，根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 相等的弧所对的圆周角相等，故该选项正确，符合题意； B. 两个无理数的和不一定为无理数，例如，故该选项不正确，不符合题意； C. 若为线段的中点，则，故该选项正确，符合题意； D. 若，，则不一定成立，例如而，故该选项不正确，不符合题意； 故选：AC． 9. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，图象的对称轴为直线．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 关于的一元二次方程无实数根 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数与轴的交点问题，由图象可得抛物线开口向上，对称轴是直线，与轴交于负半轴，推出，，，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴是直线，与轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故A错误； 当时， ∴， ∵，则 ∴ 当时， 又∵ ∴，故B正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴的坐标为，故C正确； ∵当时，即抛物线顶点为， 当时，方程有两个相等的实数根，故D错误， 故选：BC． 10. 如图，中，，，，是的中点，过、两点且分别交边、于点、，连接．下列结论正确的是（ ） A. 的面积最小为 B. 与相切时也与相切 C. 经过点时的面积为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而当为直径时，的面积最小，求得面积即可判断A选项，根据的圆心在的垂直平分线上，而得出与相切时不与相切，故B不正确，经过点时，求得半径，即可判断C选项，过点分别作的垂线，垂足分别为，进而证明，得出，求得，勾股定理求得进而即可求解． 【详解】解：中，，，，是的中点， ∴， 当为直径时，的面积最小，最小面积为，故A选项正确， 过、两点，的圆心在的垂直平分线上， ∵， ∴故与相切时不与相切，故B不正确 经过点时， 在的垂直平分线上，则，，则， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴经过点时的面积为，故C错误 如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ∴ 设，， ∴ ∵则是直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴ 即 ∴， 在中，， 在中， ∴，故D选项正确 故选：AD． 第Ⅱ卷 非选择题（共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果） 11. 某种微型传感器，其每小时耗电量仅为瓦特．用该传感器连续工作8小时，则总耗电量为______瓦特．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小亮和小莹打乒乓球，他们的实力相当，每一局双方获胜的可能性都相等．已知他们共打了两局，则小莹两局均获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据列表法列出所有可能结果，根据概率公式即可求解． 【详解】解：列表如下 第一局结果 第二局结果 胜 败 胜 胜胜 胜败 败 败胜 败败 共有4种等可能结果，其中小莹两局均获胜的结果为1种， ∴小莹两局均获胜的概率为． 故答案为：． 13. 从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根据题意分别将，，代入原方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵方程有两个正实数根 ∴ ∴或 当时，原方程无实数根，不合题意， 当时，原方程为 解得都小于，不合题意， 当时，原方程为 解得：都大于，符合题意， 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分的对应点落在和上，分别画出图形，根据折叠的性质，勾股定理分别求解，即可． 【详解】解：正方形的边长为2，为边的中点， ∴，， ∴ 如图，当的对应点落在上时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当落在上时，如图，， ∴， ∴ 设，则， 在中， 在中， ∴ 解得： 即 综上所述，的长为或 故答案为：或． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，分式的混合运算，绝对值的化简，熟练掌握各自的运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用负整数指数幂，特殊角的函数值，绝对值的化简，立方根的计算求解即可. （2）按照分式混合运算的运算顺序求解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 16. 如图，点是的中点，，，请找出图中的平行四边形，并说明理由． 【答案】四边形，是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理，根据题意证明，证明，进而根据一组对边平行且相等是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：四边形，是平行四边形，理由如下： ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形． 17. 五一期间，小亮一家计划安排家庭旅行，打算从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为．已知该公司有，，三种型号的电动汽车，这三种型号的电动汽车每辆每天的租赁费用分别为元、元、元．小亮为了选择合适型号的电动汽车，从该公司获得了这三种型号电动汽车续航里程的数据，如图所示．（电动汽车的续航里程是指汽车在电池充满电的状态下，连续行驶的最大路程） 小亮对所获得的数据进行分析，得到三种型号电动汽车的续航里程的统计量，如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） （1）写出，，的值； （2）若将型电动汽车续航里程的数据制成扇形统计图，试求“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数； （3）如果从行程中是否需要充电和租车费用两方面考虑，你建议小亮家租借哪种型号的电动汽车，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）建议选择型号汽车，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了调查与统计的相关知识，求扇形统计图的圆心角，掌握平均数，中位数，众数的定义是解题的关键． （1）根据中位数，众数，平均数的定义，结合统计图，即可求解； （2）根据“续航里程数为”的汽车的占比乘以，即可求解． （3）根据平均数，中位数，众数，进行决策即可． 【小问1详解】 解：型电动汽车的行驶路程出现了次，次数最多，则， 型电动汽车的行驶路程平均数为：， 型电动汽车的行驶路程的数据给共有：个，第和第个数分别为， ∴ 【小问2详解】 解：型电动汽车续航里程的数据,“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数为： 【小问3详解】 解：建议选择型号汽车，理由如下， 型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择； ，型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过， 其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车． 18. 反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，请根据表中提供的数据，回答下列问题． （1）求一次函数的解析式，并画出其大致图象； （2）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，连接，．请补全图形并求、、的面积之比； （3）过点，且与轴平行的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，若点在点的左侧，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），画图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与坐标轴交点问题，画一次函数，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键； （1）根据表格可得，根据反比例函数的性质求得点，进而待定系数法求解析式，并画出一次函数的图象； （2）根据题意得出的坐标，进而根据三角形的面积公式分别求得、、，即可求解； （3）根据题意画出图象，结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧， 根据表格可得 当时，，解得： ∴ 当时，， ∴ ∴将，代入得， 解得： ∴ 如图， 【小问2详解】 解：如图 由，当时，， 当时，， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：如图， ∵点在点的左侧，， 根据函数图象可得： 19. 小亮家购买了一台某品牌的冰箱（如图1），冰箱的外包装可看作长方体．记长方体的纵截面为矩形（如图2），，．运送过程中，为避免冰箱内部制冷液逆流，外包装的底面与地面的夹角（图中与直线的夹角）不能超过．已知小亮家入户门高度为，其它过道高度足够．当时，配送人员能否将冰箱送入小亮家中？（） 【答案】当时，配送人员能将冰箱送入小亮家中，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，过点、分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点、分别作的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形， ∵矩形，，． ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 答：当时，配送人员能将冰箱送入小亮家中， 20. 如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，二次函数的应用，根据题意设，则，进而分别求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则 ∵，则 ∴是等边三角形，则 过点作于点 ∴， ∴ 设矩形纸片的面积为， ∴ ∴当时，矩形纸片的面积最大为 答：当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 21. 如图，是的直径，内接于，取的中点，连接、，过点作，交的延长线于点，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的值． 【答案】（1）是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理以及求锐角的余弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接，证明，即可得出结论； （2）连接，设交于点，由（1）可得四边形是矩形，则，证明得出得出，证明得出，证明得出，进而得出，设，则，求得，进而根据余弦的定义，即可求解． 【小问1详解】 解：是的切线，理由如下， 如图，连接， ∵点是的中点 ∴， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， 又∵是圆的半径， ∴是的切线， 【小问2详解】 解：如图，连接，设交于点 由（1）可得 则四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，． ∴ 即， 又∵ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，设，则 ∴， ∵，设，则 ∴，， ∴， ∴． 22. 【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点： ①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 【答案】（1），；（2），；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，解一元二次方程，三角形的三边关系，找到规律是解题的关键； （1）根据前几项找到规律，即可求解； （2）根据（1）的结论，得出从第三项起，每一项等于前面两项之和，进而求得，，之间的关系，然后求得的值； （3）结合猜想，有常数满足，构造一元二次方程，解方程，即可求解； （4）根据（1）中的规律得出，结合三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：由题中给出的前四项可知，这个“走法数”序列满足，， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和， ∴， 故答案为：，． （2），， ， …且从第三项起，每一项等于前面两项之和， 猜想， ∴，，，， ，，，， ． （3）由，得， 由（2）得，， ， ， ， 解得， 又， ， 则不符合题意， ． （4）由（1）可得， 按“斐波那契数列”依次取 ，，，，，，，，， 这段之和）， 依次取 ，，，，，，，，，， 共得到段．则其中任意三小段都不能拼成三角形， 剩余铁丝长度：，但新增1cm会出现1，1,1可拼成三角形，因此不新增； 上述数列共10段，总长度满足条件， 若截取11段，按此规律最小总长度会超过144cm，无法实现， 因此的最大值为 10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟自测（二） 数学试题 注意事项： 1．本场考试时间120分钟，试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共22小题，满分150分； 2．答卷前，请将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚； 3．请在答题卡相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 第Ⅰ卷（选择题 共44分） 一、单选题（共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，错选、不选均记0分） 1. 在实数1，，0，中，最大的数是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、、、在数轴上表示的数分别为、、、，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是型磁铁示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得3分，部分选对得3分，错选、多选均记0分） 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 相等的弧所对的圆周角相等 B. 两个无理数的和仍为无理数 C. 若为线段的中点，则 D. 若，，则 9. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且，图象的对称轴为直线．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 关于的一元二次方程无实数根 10. 如图，中，，，，是的中点，过、两点且分别交边、于点、，连接．下列结论正确的是（ ） A. 的面积最小为 B. 与相切时也与相切 C. 经过点时的面积为 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果） 11. 某种微型传感器，其每小时耗电量仅为瓦特．用该传感器连续工作8小时，则总耗电量为______瓦特．（用科学记数法表示） 12. 小亮和小莹打乒乓球，他们的实力相当，每一局双方获胜的可能性都相等．已知他们共打了两局，则小莹两局均获胜的概率为______． 13. 从，，三个数中，选取1个数作为的值代入方程．若该方程有两个正实数根，则选取的的值为______． 14. 如图，正方形的边长为2，为边的中点，为边上的一个动点，连接、、，将沿所在直线翻折，若点的对应点恰好落在的边上，则线段的长为______． 四、解答题（共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 16. 如图，点是的中点，，，请找出图中的平行四边形，并说明理由． 17. 五一期间，小亮一家计划安排家庭旅行，打算从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为．已知该公司有，，三种型号的电动汽车，这三种型号的电动汽车每辆每天的租赁费用分别为元、元、元．小亮为了选择合适型号的电动汽车，从该公司获得了这三种型号电动汽车续航里程的数据，如图所示．（电动汽车的续航里程是指汽车在电池充满电的状态下，连续行驶的最大路程） 小亮对所获得的数据进行分析，得到三种型号电动汽车的续航里程的统计量，如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） （1）写出，，的值； （2）若将型电动汽车续航里程的数据制成扇形统计图，试求“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数； （3）如果从行程中是否需要充电和租车费用两方面考虑，你建议小亮家租借哪种型号的电动汽车，并说明理由． 18. 反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点，点在点的左侧，请根据表中提供的数据，回答下列问题． （1）求一次函数的解析式，并画出其大致图象； （2）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，连接，．请补全图形并求、、的面积之比； （3）过点，且与轴平行的直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，若点在点的左侧，请直接写出的取值范围． 19. 小亮家购买了一台某品牌的冰箱（如图1），冰箱的外包装可看作长方体．记长方体的纵截面为矩形（如图2），，．运送过程中，为避免冰箱内部制冷液逆流，外包装的底面与地面的夹角（图中与直线的夹角）不能超过．已知小亮家入户门高度为，其它过道高度足够．当时，配送人员能否将冰箱送入小亮家中？（） 20. 如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 21. 如图，是的直径，内接于，取的中点，连接、，过点作，交的延长线于点，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求的值． 22. 【问题提出】如图1，一段楼梯共有15级台阶，在上楼梯时每一步可以跨一级也可以跨两级，那么走完这15级台阶有多少种不同的走法？ 【问题探究】解决上面的问题，我们可以先研究一些较为简单的情况，如下： 当楼梯有1级台阶时，要走完这1级台阶有1种走法，即； 当楼梯有2级台阶时，要走完这2级台阶有2种走法，即； 当楼梯有3级台阶时，要走完这3级台阶有3种走法，即； 当楼梯有4级台阶时，要走完这4级台阶有5种走法，即； …… （1）______，______． 【问题拓展】以上问题最终转化为数学中著名的“斐波那契数列”问题，请结合阅读材料回答后面问题． 阅读材料 意大利数学家莱昂纳多·斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述了以他名字命名的“斐波那契数列”．斐波那契数列：1，2，3，5，…，，…，这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又是美学和哲学的数学密码．这个数列具有以下特点： ①从第三项开始的每一项都等于它前面相邻两项的和； ②随着的取值的增大，的比值越来越接近于一个定值． （2）猜想，，之间的关系，结合图2简要说明理由，并求出的值． （3）设，求的值． 【问题迁移】 （4）现有长为的铁丝，要截成小段（，为正整数），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $