2.3 一元二次方程根的判别式 课件 2024--2025学年湘教版九年级数学上册

第2章 一元二次方程 2.3　一元二次方程根的判别式 学习目标 1.理解并会计算一元二次方程根的判别式. 2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.(重点） 3.会根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围. (难点） 思考导入 我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？ 将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，配方后得到 由于a≠0,所以4a2﹥0，因此我们不难发现 (1)当 时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 (2)当 时， 此时，原方程有两个不相等的实数根. 由于0的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. (3)当 时， 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根. 因此，若方程要有实数根，则b2-4ac必须为非负数. 讲授新课 判别式的情况 根的情况 根的形式 Δ>0 原方程有两个不相等的实数根 Δ=0 原方程有两个相等的实数根 Δ<0 原方程没有实数根 要点归纳 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式，通常用符号“ Δ ”表示，即Δ = b2-4ac. （1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成一般形式，然后确定a,b,c的值； （2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论； （3）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说成方程有一个实数根 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x2+4x-3＝0； (2)4x2=12x-9＝0； (3)7y＝5(y2+1). 所以，原方程有两个不相等的实数根. (1)解：因为Δ = b2-4ac=42-4×3×（-3）=16+36=52＞0 例题讲解 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x2+4x-3＝0； (2)4x2=12x-9＝0； (3)7y＝5(y2+1). 例题讲解 所以，原方程有两个相等的实数根. 因为Δ = b2-4ac=（-12）2-4×4×9=144-144=0 (2)解：将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+9=0 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1)3x2+4x-3＝0； (2)4x2=12x-9＝0； (3)7y＝5(y2+1). 例题讲解 所以，原方程没有实数根. 因为Δ = b2-4ac=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0 (3)解：将原方程化为一般形式，得 5y2-7y+5=0 根的判别式使用方法 1.化为一般式，确定a,b,c的值. 2.计算 Δ 的值，确定 Δ 的符号. 3.判别根的情况，得出结论. 要点归纳 已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(　 ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2+x-1=0. ∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. B 根的判别式的应用 应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况 应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围 例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 B 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 (-2)2-4×k×(-1)＞0，k≠0. 解得k>-1且k≠0，故选B. 根的判别式的应用 应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况 （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. (1)解：因为Δ = b2-4ac=32-4×2×（-4）=41＞0 所以，原方程有两个不相等的实数根. 根的判别式的应用 应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况 （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. 根的判别式的应用 所以，原方程有两个相等的实数根. (2)解：因为Δ = b2-4ac=（-1）2-4×1× =0 应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况 （1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0. 根的判别式的应用 (3)解：因为Δ = b2-4ac=（-1）2-4×1×1 =-3＜0 所以，原方程没有实数根. 不解方程，判别关于x的方程 的根的情况. 解： 所以方程有两个实数根． 根的判别式的应用 这两个根为 (1)Δ＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根, (2)Δ=0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根, 这两个根为 (3)Δ<0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 1.根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根的判别式Δ = b2-4ac. 2.根的判别式的应用： 课堂总结 $$