【小升初复习篇 第三章 图形与几何】2025年暑假数学小升初衔接（新版人教版专用）

第三章 图形与几何 旧知复习 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：； 圆柱表面积：； 圆柱体积：； 圆锥体积： 小试牛刀 题型一：割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求涂色部分的面积。 2．求涂色部分的周长。 3．求下图中涂色部分的面积。 4．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：厘米） 5．求图①的周长和图②的涂色部分的面积。（单位：厘米） 6．四边形ABCD为正方形，求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 7．求涂色部分的面积。 8．求下面大正方形中涂色部分的面积。（单位：厘米） 题型二：割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求如图图形阴影部分的面积。（单位：分米） 2．计算下面图形中阴影部分的面积。 3．求阴影部分的面积。 4．计算下图中涂色部分的面积。                5．求涂色部分的面积。 题型三：和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求涂色部分的面积。（单位：dm） 2．求下面各图中阴影部分的面积。 3．求下面图形阴影部分的面积。 4．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 5．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 6．求涂色部分的面积。 7．求图中阴影部分的面积。 题型四：整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 1．以等腰直角三角形ABC的一条直角边AB为直径画一个半圆（如图），阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大86平方厘米。那么，图中阴影部分的面积一共是( )平方厘米。（π取3） 2．如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是 平方厘米。 3．下图中，直角三角形（涂色部分）的面积是15平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 题型五：等积变换法 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 1．如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 2．如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，M是CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？ 3．公园里的一棵百年雪松，由于天气干旱，开始枯萎，需要输液。如图①所示，输液瓶内液面高度是10厘米，液体是250毫升。绿化师傅给雪松设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 ① ② （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 题型六：差不变思想 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 1．如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长10厘米，乙部分的面积比甲部分的面积少6平方厘米。BC长多少厘米？ 2．如图：BC＝10厘米，EC＝8厘米，且阴影部分面积比直角三角形EFG的面积大10平方厘米EF的长是多少厘米？ 3. 如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 4．直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 题型七：容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 1．已知直角三角形ABC，分别以三边为直径作三个半圆。求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 2．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．如图，已知正方形边长是4dm，求阴影部分的面积。 4．求如图图形中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 题型八：平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 1．列式计算。 求下面图形的面积。（单位cm） 2．两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3．求下列组合图形的面积（单位cm）。 4. 青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是，高是8cm，平行四边形EBHG中BH的长是( )cm。 5．长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 题型九：立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1．求下面图形的体积。（单位：厘米） 2．求下面图形的表面积和体积。 3．从一个正方体木块中间挖去一个长3dm、宽2dm、高2dm的长方体木块，求剩下木块的表面积。 4．在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 5．从下面图形中选出2个图形组成1个正方形，并求出正方形的周长和面积。 6．把底面直径10厘米、高20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 （1）计算这个长方体的体积。 （2）这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加多少？ 7．下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 8．如图，把两个同样大小的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6.28平方厘米，然后把新的圆柱沿直径截成两个半圆柱，表面积又增加80平方厘米，原来每个小圆柱的体积是多少立方厘米？ 题型十：图形的位置与变换 1． （1）用数对表示三角形各个顶点的位置。 A（     ）    B（     ）    C（     ） （2）画出三角形ABC向上平移两格得到的三角形A'B'C'，并用数对表示出各个顶点的位置。 A'（     ）    B'（     ）    C'（     ） 2．     图①是绕点B顺时针旋转的，点A ′C′分别是点A、C的对应点。 图②是绕点（    ）（    ）时针旋转的，在图中标出各点的对应点。 图③是绕点（    ）（    ）时针旋转的，在图中标出各点的对应点。 3． （1）图中圆心的位置是（    ）。 （2）把圆移到圆的位置，可以先向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格。 （3）把圆先向下平移4格，再向左平移7格，画出平移后的图形。 4．操作。 （1）用数对表示图中点A、B的位置：A（_____，_____）、B（_____，_____），点C的位置用数对表示是，请在图中标出点C的位置，并顺次连接点A、B、C、A。 （2）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形；再把画好后的图形向左平移5格，画出平移后的图形。 （3）画出图②长方形绕点顺时针方向旋转后的图形。 5．（1）画出三角形ABC绕C点按顺时针方向旋转90°后的图形。 （2）画出原三角形BC边上的高。 （3）画出原三角形ABC先向右平移13格，再向下平移2格后的图形。 （4）图中圆心的位置是 。 （5）把圆按2∶1的比放大，并画出放大后图形的一条对称轴。 （6）放大后的图形与原有图形面积的最简整数比是 。 6．下图每个小方格的边长是1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）把图中的长方形绕点F顺时针旋转90º，画出旋转后的图形。E点旋转后的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出△ABC缩小后的图形。 （3）在△ABC中，C点在A点（    ）偏（    ）（    ）º方向。 （4）请在方格上画一个面积是8平方厘米的梯形。 7．画一画，算一算。 （1）以直线L为轴，画出三角形ABC的轴对称图形，再把得到的图形再向下平移3格。 （2）画出三角形绕B点逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 （4）如图每个方格的边长是1厘米，如果以BC边为轴旋转，会得到一个什么立体图形？它的体积是多少？ 8．请按要求填一填，画一画。 （1）把图①绕点逆时针旋转 （画出图形），旋转后点的位置用数对表示（    ）。 （2）图②中点是圆心，是圆的直径，。如果每个小方格表示边长为1厘米的正方形，那么点在点的（    ）偏（    ）方向（    ）厘米处。 （3）点在点南偏东 方向圆周上，请在图中标出点位置。 9．画图与计算。 （1）在上面的方格图中，画出长方形ABCD先向右平移6格，再向下平移3格后的图形A＇B＇C＇D＇。 （2）如果原长方形中的A点用数对表示为（3，5），那么平移后表示D＇点的数对为（   ，   ）。 （3）原长方形以BC边为轴旋转一周，形成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。（每个方格边长为1厘米） 10．按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm） ①三角形ABC是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。 ②在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？ _________________________________________________________ ③图中三角形ABC的面积是（    ）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。    培优精练 1．下图的平行四边形中，阴影部分和空白部分的面积相比（    ）。 A．空白部分面积大 B．一样大 C．阴影部分面积大 D．无法判断 2．如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 3．求涂色部分的面积。（单位：cm） 4．计算下面图形中阴影部分的面积。 5．如图体积是多少？ 6．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 7．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 8．求下面各图中涂色部分的面积。           9．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 10．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 11．看图回答问题。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（    ）；如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（     ）。 （2）线段AB绕点B逆时针旋转（    ）时，点A运动到点A＇（5，1），点A走了（    ）厘米。 12．按要求作图并填空。 （1）画出图形①绕点A逆时针方向旋转180°后的图形②。 （2）如果点B的位置是（4，3）那么旋转后点B的对应点B′的位置是（    ）。 （3）如果把图形①按2∶1放大，请画出放大后的图形③。 （4）图形③和图形①的面积比是（    ）。 13．按要求画图。 （1）图①平行四边形沿高分成了两部分，将阴影部分向（    ）平移（    ）格，平行四边形就转化成了长方形。 （2）画出图①按1∶2缩小后的图形。 （3）以虚线为对称轴，画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 14．根据图示回答下列问题。（每个小方格均为正方形） （1）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后，再向右平移2个格后的图形。 （2）用数对表示出三角形ABC的各个顶点的位置。 （3）画出三角形ABC按2∶1扩大后的图形。 15．填一填、画一画。 （1）以点A为观测点，点B在点A的（    ）偏（    ）约63.5°的方向上。 （2）三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3格，请你画出平移后的图形。 16．下面是一个长方体容器，水深4分米，把一个铁块放入后，铁块全部浸没，这时从容器里溢出了4升水。这个铁块的体积是多少？ 17．《齐民要术》记载了保存种子、果实的方法沙藏法。利用沙藏法保存板栗能有效地延长其保存时间，并保持其原有的口感和风味。李伯伯将今年收获的板栗放入长7米、宽5米的长方体土坑后盖上细沙，沙子刚好盖住板栗。等到售卖时取出板栗，沙子高度下降了7.6分米，则这些板栗的体积是多少立方米？ 18．已知瓶内药水的体积是19.8毫升（如图）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶子的容积是多少毫升？ 19．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 20．一个长10厘米、宽6.5厘米的长方形，沿对角线对折后，得到如下图所示的几何图形。阴影部分的周长是多少厘米？ 21．探究题。 下面是小慧设计的测量玩具兔子体积的实验，仔细思考并回答问题。 第一步：用橡皮泥将玩具兔子完全裹住捏成一个长方体，并测量长方体的长、宽、高。 第二步：将玩具兔子从橡皮泥中取出。 第三步：将橡皮泥捏成一个正方体，并测量该正方体的棱长。 （1）推理：玩具兔子的体积＝________________________。 （2）经测量，裹有玩具兔子的长方体橡皮泥的长、宽、高分别为12厘米、9厘米、7厘米，取出玩具兔子后，橡皮泥捏成的正方体的棱长为7厘米，根据实验过程，在下表中填写相关数据。 长方体的体积/立方厘米 正方体的体积/立方厘米 玩具兔子的体积/立方厘米 （3）分析：实验可能存在误差，其原因是_____________。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形与几何 旧知复习 1、基本公式 正方形：；。 长方形：；。 平行四边形：。 三角形：。 梯形：。 圆：；。 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：； 圆柱表面积：； 圆柱体积：； 圆锥体积： 小试牛刀 题型一：割补法求面积（一）平移与对称 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求涂色部分的面积。 【分析】从图中观察，把左面的阴影部分割补到右面与另一部分阴影拼成一个直角三角形，它是正方形面积的一半，根据正方形面积＝边长×边长，再除以2即为涂色部分的面积。 【详解】 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18 即涂色部分的面积为18。 2．求涂色部分的周长。 【分析】第一个图形，通过平移，涂色部分的周长＝长方形的周长，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列式计算即可； 第二个图形，通过旋转，涂色部分的周长＝圆的周长×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【详解】（20＋18）×2 ＝38×2 ＝76（cm）     3.14×10×2＝62.8（cm） 涂色部分的周长分别是76cm、62.8cm。 3．求下图中涂色部分的面积。 【分析】把上面两个阴影部分面积分别移到下面，如图：，则阴影部分面积＝长是10厘米，宽是（10÷2）厘米的长方形面积－底是10厘米，高是（10÷2）厘米的三角形面积；根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×（10÷2）－10×（10÷2）÷2 ＝10×5－10×5÷2 ＝50－50÷2 ＝50－25 ＝25（平方厘米） 阴影部分面积是25平方厘米。 4．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：厘米） 【分析】图形一：根据图形可知，涂色部分的面积是一个半圆的面积与一个三角形的面积之和；三角形是一个等腰直角三角形，所以三角形的底是8厘米，高是8厘米，圆的直径是8厘米，根据圆的面积公式：面积＝πr2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 图上二：三角形的内角和是180°，所以三个涂色部分的面积相加，就是一个半径是6厘米圆的面积的一半，据此根据圆的面积公式，即可解答。 【详解】图形一： 3.14×（8÷2）2÷2＋8×8÷2 ＝3.14×42÷2＋8×8÷2 ＝3.14×16÷2＋64÷2 ＝25.12＋32 ＝57.12（平方厘米） 涂色部分面积是57.12平方厘米。 图形二： 3.14×62÷2 ＝3.14×36÷2 ＝56.52（平方厘米） 涂色部分面积是56.52平方厘米。 5．求图①的周长和图②的涂色部分的面积。（单位：厘米） 【分析】观察图形，可以将图①图形的左边的线段向左、向上平移，转换成的长方形（图见详解），这样图形就是一个长10厘米，宽8厘米的长方形，根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算即可。 图②的涂色部分是三角形的三个内角，每个顶点以该顶点为圆心、5厘米为半径的扇形，三角形的内角和是180°，也就是三个小扇形可以拼成一个半径为5厘米的半圆，根据圆的面积列式计算涂色面积即可。 【详解】根据分析，图①图形通过平移变换成： （10＋8）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 图①的周长是36厘米。 ×3.14× ＝×3.14×25 ＝1.57×25 ＝39.25（平方厘米） 图②的涂色面积是39.25平方厘米。 6．四边形ABCD为正方形，求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 【分析】阴影部分的周长等于直径为10的圆的周长加上以10为半径的圆周长的，根据圆的周长＝×直径＝2×半径，代入数据求出直径为10的周长，再求出以10为半径的圆周长，再乘求出以10为半径的圆周长的。 把右面阴影部分半圆形逆时针旋转90°可以发现，阴影部分的面积等于半径为10的圆的面积的，根据圆的面积＝×半径的平方求出半径为10的圆的面积，再乘即可解答。 【详解】3.14×10＋2×3.14×10× ＝31.4＋6.28×10× ＝31.4＋62.8× ＝31.4＋15.7 ＝47.1 3.14×× ＝3.14×100× ＝314× ＝78.5 7．求涂色部分的面积。 【分析】从图中观察涂色部分是4个面积相同的半圆，那么两个半圆拼成一个圆，一共能拼成2个圆，每个拼成圆的直径是大圆的直径的一半10÷2＝5，那么拼成圆的半径是5÷2＝2.5，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，再乘2即可。 【详解】10÷2＝5 3.14×（5÷2）2×2 ＝3.14×2.5×2.5×2 ＝7.85×2.5×2 ＝39.25 涂色部分的面积是39.25。 8．求下面大正方形中涂色部分的面积。（单位：厘米） 【分析】（1）观察图形，4个完全一样的圆可以组成一个圆，则涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）如下图，把右边的涂色部分移补到左边，这样涂色部分合起来是一个长方形，面积是正方形面积的一半，根据正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解。 【详解】（1）6＋6＝12（厘米） 12×12－3.14×62 ＝12×12－3.14×36 ＝144－113.04 ＝30.96（平方厘米） 涂色部分的面积是30.96平方厘米。 （2）12×12÷2 ＝144÷2 ＝72（平方厘米） 涂色部分的面积是72平方厘米。 题型二：割补法求面积（二）旋转 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求如图图形阴影部分的面积。（单位：分米） 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝直径为（12＋8）分米的半圆的面积－直径为12分米的半圆的面积＋直径为8分米的半圆的面积，根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【详解】（12＋8）÷2 ＝20÷2 ＝10（分米） 12÷2＝6（分米） 8÷2＝4（分米） 3.14×102÷2－3.14×62÷2＋3.14×42÷2 ＝3.14×100÷2－3.14×36÷2＋3.14×16÷2 ＝157－56.52＋25.12 ＝125.6（平方分米） 阴影部分的面积是125.6平方分米。 2．计算下面图形中阴影部分的面积。 【分析】如下图，把右边的阴影部分移补到如箭头所示的左边空白部分，这样阴影部分合并成一个梯形，梯形的上底是（6－3）厘米，下底是6厘米，高是3厘米，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 【详解】（6－3＋6）×3÷2 ＝9×3÷2 ＝13.5（平方厘米） 阴影部分的面积是13.5平方厘米。 3．求阴影部分的面积。 【分析】（1）观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 （2）观察图形，阴影部分可以组成一个半圆环，根据半圆环的面积公式S环＝π（R2－r2）÷2，代入数据计算求出阴影部分的面积。 【详解】（1）4×4－3.14×（4÷2）2 ＝4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的面积是3.44cm2。 （2）4－1＝3（dm） 3.14×（42－32）÷2 ＝3.14×（16－9）÷2 ＝3.14×7÷2 ＝10.99（dm2） 阴影部分的面积是10.99dm2。 4．计算下图中涂色部分的面积。                【分析】（1）观察图形可知，涂色部分的面积是一个圆环面积的，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出圆环的面积，再乘即可。 （2）观察图形可知，4个完全一样的圆可以组合成一个圆，则涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（1）7－3＝4（dm） ×3.14×（72－42） ＝×3.14×（49－16） ＝×3.14×33 ＝77.715（dm2） 涂色部分的面积是77.715dm2。 （2）3×3－3.14×（3÷2）2 ＝9－3.14×1.52 ＝9－3.14×2.25 ＝9－7.065 ＝1.935（平方厘米） 涂色部分的面积是1.935平方厘米。 5．求涂色部分的面积。 【分析】由图可知，通过旋转涂色半圆可将涂色部分变成半径是4 的圆的，要求涂色部分的面积，可求出半径是4 的圆的面积，再除以4即可。 【详解】3.14×42÷4 ＝3.14×16÷4 ＝50.24÷4 ＝12.56 题型三：和差法求面积 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．求涂色部分的面积。（单位：dm） 【分析】（1）阴影部分的面积等于以8分米为半径的圆面积的减去一个以8分米为直径的半圆的面积，据此结合圆的面积公式：S＝π（d÷2）2＝πr2列式计算； （2）阴影部分的面积等于以6分米为半径的圆的面积减去一个底是6分米高是6分米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2列式计算。 【详解】3.14×82×－3.14×（8÷2）2× ＝3.14×64×－3.14×42× ＝200.96×－3.14×16× ＝50.24－50.24× ＝50.24－25.12 ＝25.12（平方分米）     3.14×62×－6×6÷2 ＝3.14×36×－36÷2 ＝113.04×－18 ＝28.26－18 ＝10.26（平方分米） 2．求下面各图中阴影部分的面积。 【分析】（1）观察发现阴影部分的面积＝平行四边形的面积－三角形的面积，平行四边形的底为5cm、高为3cm，三角形的底为2.6cm、高为3cm，平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2； （2）观察发现阴影部分的面积＝大正方形的面积＋小正方形的面积－空白三角形的面积，大正方形的边长为4cm，小正方形的边长为2.5cm，空白三角形的底为（4＋2.5）cm、高为4cm，正方形的面积＝边长×边长，三角形的面积＝底×高÷2；据此解答。 【详解】（1）5×3－2.6×3÷2 ＝15－3.9 ＝11.1（cm2） 所以阴影部分的面积为11.1cm2。 （2）4×4＋2.5×2.5－（4＋2.5）×4÷2 ＝16＋6.25－6.5×4÷2 ＝16＋6.25－13 ＝9.25（cm2） 所以阴影部分的面积为9.25cm2。 3．求下面图形阴影部分的面积。 【分析】第一个图形根据圆环的面积＝，代入相关数据计算即可； 第二个图形：用长方形的面积减去半圆的面积，由图可知，长方形的长等于宽的2倍，即3×2＝6（cm），宽是3cm，根据长方形的面积＝长×宽、半圆的面积＝，据此代入数据计算即可。 【详解】3.14×（－） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 3×2×3－3.14×÷2 ＝6×3－3.14×÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（） 4．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【分析】（1）观察图形可知，两个完全一样的空白小半圆可以组成一个小圆；则涂色部分的面积＝大半圆的面积－空白小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 （2）观察图形可知，扇形的面积是圆面积的，那么用圆的面积除以4即是扇形的面积；涂色部分的面积＝圆的面积÷4－三角形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2，代入数据计算求解。 【详解】（1）16÷2＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×82÷2－3.14×42 ＝3.14×64÷2－3.14×16 ＝100.48－50.24 ＝50.24（cm2） 涂色部分的面积是50.24cm2。 （2）3.14×22÷4－2×2÷2 ＝3.14×4÷4－2×2÷2 ＝3.14－2 ＝1.14（cm2） 涂色部分的面积是1.14cm2。 5．求下面各图中涂色部分的面积。（单位：cm） 【分析】（1）涂色部分的面积＝一个直径为8cm圆的面积的一半＋一个底为8cm，高为4cm的平行四边形面积，根据圆的面积＝πr2，平行四边形的面积＝底×高，代入相应数值计算； （2）涂色部分的面积＝梯形面积－圆的面积的一半，根据圆的面积＝πr2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，其中梯形的上底为6cm，下底为12cm，高为（6÷2）cm，代入相应数值计算。 【详解】（1）3.14×（8÷2）2÷2＋8×4 ＝3.14×42÷2＋32 ＝3.14×16÷2＋32 ＝50.24÷2＋32 ＝25.12＋32 ＝57.12（cm2） （2）（6＋12）×（6÷2）÷2－3.14×（6÷2）2÷2 ＝18×3÷2－3.14×32÷2 ＝54÷2－3.14×9÷2 ＝27－28.26÷2 ＝27－14.13 ＝12.87（cm2） 6．求涂色部分的面积。 【分析】（1）已知正方形的边长＝圆的直径＝6厘米，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，分别求出面积，再相减即可。 （2）已知正方形的边长＝圆的半径＝5厘米，以圆面积为单位“1”，涂色部分的面积＝圆面积×，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，求出圆的面积，再乘即可。 【详解】6×6－（6÷2）2×3.14 ＝6×6－32×3.14 ＝6×6－9×3.14 ＝36－28.26 ＝7.74（平方厘米） 涂色部分的面积是7.74平方厘米。 52×3.14× ＝25×3.14× ＝58.875（平方厘米） 涂色部分的面积是58.875平方厘米。 7．求图中阴影部分的面积。 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】4×4－3.14×（4÷2）2 ＝4×4－3.14×22 ＝4×4－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（cm2） 阴影部分的面积是3.44cm2。 题型四：整体代换法 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可。 1．以等腰直角三角形ABC的一条直角边AB为直径画一个半圆（如图），阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大86平方厘米。那么，图中阴影部分的面积一共是( )平方厘米。（π取3） 【分析】根据阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大86平方厘米可知，阴影部分①和阴影部分②分别加上空白部分的面积，仍然相差86平方厘米，即三角形的面积减去半圆的面积等于86平方厘米，据此列方程求出等腰直角三角形的直角边的平方；观察题图，可将阴影部分②移动到左边，如下图：则阴影部分的面积为三角形面积的一半，据此解答即可。 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边长为x厘米； x²－3×（）²÷2＝86 x²－ x²＝86 x²＝86 x²＝688 因为阴影部分的面积为三角形面积的一半； 则阴影部分的面积为：688÷2÷2 ＝344÷2 ＝172（平方厘米） 2．如图所示，O为大小两个圆的圆心，阴影部分的面积是8平方厘米，圆环的面积是 平方厘米。 【分析】假设小圆的半径为r，大圆的半径为R，则小正方形的边长为r，大正方形边长为R，阴影部分面积＝R2－r2＝8（平方厘米），根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2）整体代入求解即可。 【详解】解：设小圆的半径为r厘米，大圆的半径为R厘米， 则小正方形的边长为r厘米，大正方形边长为R厘米， 阴影部分面积＝R2－r2＝8（平方厘米）， 圆环的面积： 3.14×（R2－r2） ＝3.14×8 ＝25.12（平方厘米） 3．下图中，直角三角形（涂色部分）的面积是15平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 【分析】图中直角三角形的两条直角边都等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，已知直角三角形的面积是15平方厘米，则底×高＝15×2，即圆的半径×圆的半径＝15×2；再利用圆的面积＝πr2，代入数值计算，所得结果即为圆的面积。 【详解】圆的半径×圆的半径＝r2＝15×2＝30（平方厘米） 圆的面积：3.14×30＝94.2（平方厘米） 答：圆的面积是94.2平方厘米。 题型五：等积变换法 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系。 1．如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 【分析】由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积。 【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）； 因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）； 由上可知，三角形的面积是12cm2。 2．如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，M是CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？ 【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH，则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的，又因为三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积。 【详解】12××＝4×＝2（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。 3．公园里的一棵百年雪松，由于天气干旱，开始枯萎，需要输液。如图①所示，输液瓶内液面高度是10厘米，液体是250毫升。绿化师傅给雪松设置了平均每分钟5毫升的输液速度，10分钟后，空的部分高度是6厘米，如图②所示。 ① ② （1）这个输液瓶的底面积是多少平方厘米？ （2）这个输液瓶的容积是多少毫升？ 【分析】（1）从图①可知，输液瓶内液面高度和液体的体积，根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个输液瓶的底面积。注意单位的换算：1毫升＝1立方厘米。 （2）先用绿化师傅设置的输液速度乘10，求出10分钟输出液体的体积，再用原来液体的体积减去输出液体的体积，求出瓶内剩余液体的体积； 图②中空白部分的高度是6厘米，根据圆柱的容积公式V＝Sh，求出图②中空白部分的容积； 则这个输液瓶的容积＝剩余液体的体积＋倒置时空白部分的容积，据此解答。 【详解】（1）250毫升＝250立方厘米 250÷10＝25（平方厘米） 答：这个输液瓶的底面积是25平方厘米。 （2）5毫升＝5立方厘米 250－5×10＋25×6 ＝250－50＋150 ＝350（立方厘米） 350立方厘米＝350毫升 答：这个输液瓶的容积是350毫升。 题型六：差不变思想 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可。 1．如图，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，AB长10厘米，乙部分的面积比甲部分的面积少6平方厘米。BC长多少厘米？ 【分析】如图，把右边空白部分面积设为丙；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，代入数据，求出半圆的面积；丙部分的面积＋甲部分的面积＝半圆的面积；丙部分的面积＋乙部分的面积＝三角形ABC的面积；乙部分的面积比甲部分的面积少6平方厘米；乙部分面积＋6平方厘米＝甲部分面积；即丙部分面积＋乙部分面积＋6平方厘米＝半圆的面积；即三角形ABC的面积＝半圆面积－6平方厘米；据此求出三角形ABC的面积；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，底＝三角形面积÷高×2，已知AB＝10厘米，即可求出BC的长。 【详解】3.14×（10÷2）2÷2－6 ＝3.14×52÷2－6 ＝3.14×25÷2－6 ＝78.5÷2－6 ＝39.25－6 ＝33.25（平方厘米） 33.25÷10×2 ＝3.325×2 ＝6.65（厘米） 答：BC长6.65厘米。 2．如图：BC＝10厘米，EC＝8厘米，且阴影部分面积比直角三角形EFG的面积大10平方厘米EF的长是多少厘米？ 【分析】解析及标准解题步骤 1.计算△BCE的面积 已知厘米，厘米，根据三角形面积公式（为底，为高）： （平方厘米） 2.推导平行四边形ABCD的面积 因为阴影部分面积比△EFG的面积大10平方厘米，即： 而平行四边形ABCD的面积，△BCE的面积。 所以（平方厘米）。 3.计算EF的长度 平行四边形ABCD以BC为底时，高为EF，根据平行四边形面积公式S＝ah（a为底，h为高）： 综上，EF的长是5厘米。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） 50÷10＝5（厘米） 3. 如下图，ABCD是边长为10厘米的正方形，三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【分析】因为三角形ABF比三角形CEF的面积大20平方厘米，都加上梯形ADCF后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即正方形ABCD比直角三角形ADE的面积大20平方厘米，从而求得直角三角形ADE的面积，再减去直角三角形ADC的面积，即得出阴影部分的面积． 解析：10×10－20－10×10÷2=100-20-50＝30（平方厘米） 答：阴影部分的面积是30平方厘米。 4．直角三角形ABC中，阴影甲比乙的面积大28平方厘米，厘米，AB有多长？ 【分析】甲是三角形ABC的一部分，乙是半圆的一部分，甲乙分别加上空白部分，差不变。阴影甲比乙的面积大28平方厘米，所以三角形ABC比半圆面积多28平方厘米。求出三角形ABC面积，利用三角形面积公式倒推AB边长度即可。 【详解】3.14×（）2＝1256（平方厘米） 1256÷2＝628（平方厘米） 628＋28＝656（平方厘米） 656×2＝1312（平方厘米） 1312÷40＝32.8（厘米） 答：AB有32.8厘米长。 题型七：容斥原理（韦恩图） 【解题技巧】容斥原理这个词可能听起来比较陌生，它还有另一个名词，重叠法。如果运用得当，掌握其精髓，在求解阴影部分面积，以及相关应用题时，能起到事半功倍的作用。本文就来重点讲一下，容斥原理在求解阴影部分面积时的妙用。 1．已知直角三角形ABC，分别以三边为直径作三个半圆。求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 【分析】阴影部分的周长等于以16为直径的圆周长的一半加上以12为直径的圆的周长的一半，再加上以20为直径的圆周长的一半，根据圆的周长＝×直径，分别求出三个以16为直径的圆周长的一半、以12为直径的圆的周长的一半、以20为直径的圆周长的一半，再相加即可； 阴影部分的面积等于以16为直径的半圆的面积加上以12为直径的半圆的面积，再加上底为16、高为12的直角三角形的面积，再减去以20为直径的半圆的面积，根据圆的面积＝×半径的平方，列式解答即可。 【详解】3.14×16÷2＋3.14×12÷2＋3.14×20÷2 ＝50.24÷2＋37.68÷2＋62.8÷2 ＝25.12＋18.84＋31.4 ＝75.36 16÷2＝8 12÷2＝6 20÷2＝10 3.14×÷2＋3.14×÷2＋16×12÷2－3.14×÷2 ＝3.14×64÷2＋3.14×36÷2＋16×12÷2－3.14×100÷2 ＝100.48＋56.52＋96－157 ＝96 2．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【分析】 先把图中阴影部分的左下角部分从中间一分为二，分别平移到右上边的阴影部分旁边，如图所示：，则阴影部分的面积就等于半径是2厘米的圆面积的减去一个底和高都是2厘米的三角形的面积，据此结合圆的面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×22×－2×2÷2 ＝3.14×4×－4÷2 ＝12.56×－2 ＝3.14－2 ＝1.14（平方厘米） 3．如图，已知正方形边长是4dm，求阴影部分的面积。 【分析】 如图：，阴影部分面积＝（半径是4dm的圆的面积的－底是4dm、高是4dm的三角形面积）×2，根据圆的面积＝，三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】（3.14×42×－4×4÷2）×2 ＝（3.14×16×－4×4÷2）×2 ＝（12.56－8）×2 ＝4.56×2 ＝9.12（dm2） 阴影部分面积是9.12dm2。 4．求如图图形中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米） 【分析】通过观察图形可知，阴影部分的周长等于正方形的两条边长加上直径是8厘米的圆的周长。 阴影部分的面积通过转化，可以转化为正方形面积的一半。计算时，用到的公式有：圆的周长公式：C＝πd，正方形的面积公式：S＝a2；据此解决。 【详解】8×2＋3.14×8 ＝16＋25.12 ＝41.12（厘米） 8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 即，阴影部分的周长是41.12厘米，阴影部分的面积是32平方厘米。 题型八：平面图形的拼切重组问题（含翻折） 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点。 1．列式计算。 求下面图形的面积。（单位cm） 【分析】把图形补成一个大长方形，大长方形的长是12cm，宽是7cm，补上的小长方形长8cm，宽为7－4＝3cm，根据长方形面积＝长×宽，计算出大长方形的面积和补上的小长方形的面积，用大长方形的面积减去补上的小长方形的面积，得到原图形面积。 【详解】12×7＝84（） 8×（7－4） ＝8×3 ＝24（） 84－24＝60（） 图形的面积为60。 2．两个完全相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【分析】1.分析图形关系 由于两个直角梯形完全相同，阴影部分面积可转化为求某一梯形的面积。观察可知，阴影部分对应的梯形上底为20－2＝18厘米，下底为20厘米，高为8厘米。 2.计算梯形面积 根据梯形面积公式（为上底，为下底，为高）： 平方厘米 【详解】20－2＝18（厘米） （平方厘米） 3．求下列组合图形的面积（单位cm）。 【分析】1.添补图形：这个组合图形可以看作是一个梯形中间挖去了一个三角形，我们采用添补法，先求出完整梯形的面积，再减去三角形的面积，从而得到组合图形的面积。 2.计算梯形面积： 梯形的面积公式为（a＋b）h÷2，得（8.5＋15）×13÷2＝23.5×13÷2＝152.75。 3.计算三角形面积： 三角形的面积公式为ah÷2，得8.5×4÷2＝17。 4.计算组合图形面积： 组合图形的面积等于梯形面积减去三角形面积，即S。 得S＝152.75－17＝135.75。 【详解】（8.5＋15）×13÷2＝23.5×13÷2＝152.75 8.5×4÷2＝17 152.75－17＝135.75 4. 青青把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是，高是8cm，平行四边形EBHG中BH的长是( )cm。 【分析】可以判断，平行四边形的面积与梯形面积相等。只要知道平行四边形的高，就能结合面积公式求出底。根据条件可以判断，平行四边形的高是梯形高的一半，也就是4厘米。 【详解】8÷2＝4（厘米） 40÷4＝10（厘米） 5．长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。    【详解】（10＋4.8）×2＝14.8×2＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 题型九：立体图形的拼切重组问题 【解题技巧】几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化。 1．求下面图形的体积。（单位：厘米） 【分析】由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据及圆柱的体积公式代入数据解答。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 2．求下面图形的表面积和体积。 【分析】第一个图形，从大正方体的顶点位置切掉一个小正方体，看上去表面积少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，因此表面积等于原大正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可；这个立体图形的体积＝大正方体体积－小正方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长； 第二个图形的表面积＝完整的大长方体表面积－2个长（6－2）m、宽2m的长方形的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】6×6×6＝216（） 6×6×6－3×3×3 ＝216－27 ＝189（） （6×10＋6×4＋10×4）×2－（6－2）×2×2 ＝（60＋24＋40）×2－4×2×2 ＝124×2－16 ＝248－16 ＝232（） 6×10×4－（6－2）×10×2 ＝240－4×10×2 ＝240－80 ＝160（） 第一个立体图形的表面积是216，体积是189；第二个立体图形的表面积是232，体积是160。 3．从一个正方体木块中间挖去一个长3dm、宽2dm、高2dm的长方体木块，求剩下木块的表面积。 【分析】在一个大正方体里，挖去一个长方体，表面积增加了，是原来的正方体表面积再加上小长方体的前后左右4个面。 【详解】正方体的表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 长方体的表面积：（3×2＋2×2）×2 ＝（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（dm2） 150＋20＝170（dm2） 剩下木块的表面积是170dm2。 4．在一个长10厘米，宽8厘米，高5厘米的密封盒中，测得水深4厘米。然后将它竖立放置，这时水深多少厘米？ 【分析】已知一个长10厘米、宽8厘米的长方体密封盒内水深4厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 然后将它竖立放置，水的体积不变，但密封盒的底面积变成是（8×5）平方厘米，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出这时水的深度。 【详解】水的体积： 10×8×4＝320（立方厘米） 水深： 320÷（8×5） ＝320÷40 ＝8（厘米） 答：这时水深8厘米。 5．从下面图形中选出2个图形组成1个正方形，并求出正方形的周长和面积。 【分析】观察图形可知，①号图形的长为18厘米，宽为12厘米；②号图形的长为12厘米，宽为9厘米；③号图形的长为18厘米，宽为6厘米；正方形的特征是四条边的长度都相等，因此可以选择①和③，刚好拼成一个边长为18厘米的正方形。最后再根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长即可求出新正方形的周长和面积。 【详解】选择①和③ 新正方形的边长：12＋6＝18（厘米） 新正方形的周长：18×4＝72（厘米） 新正方形的面积：18×18＝324（平方厘米） 答：选择①和③组成1个正方形，这个正方形的周长为72厘米，面积为324平方厘米。 6．把底面直径10厘米、高20厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。 （1）计算这个长方体的体积。 （2）这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加多少？ 【分析】（1）将圆柱切拼成近似的长方体，长方体的体积＝圆柱的体积，根据圆柱体积＝底面积×高，列式解答即可； （2）将圆柱切拼成近似的长方体，表面积增加了2个长方形，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱的底面半径，根据长方形面积＝长×宽，求出1个长方形的面积，再乘2即可。 【详解】（1）3.14×（10÷2）2×20 ＝3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝1570（立方厘米） 答：这个长方体的体积是1570立方厘米。 （2）20×（10÷2）×2 ＝20×5×2 ＝200（平方厘米） 答：这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加200平方厘米。 7．下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 【分析】看图可知，表面积减少了4个小长方形，里面又出现了2个小长方形，因此表面积最终减少了2个长是3分米，宽是2分米的小长方形，根据长方形面积＝长×宽，求出一个小长方形的面积，再乘2即可。 【详解】3×2×2＝12（平方分米） 答：这个正方体的表面积减少了12平方分米。 8．如图，把两个同样大小的小圆柱拼成一个大圆柱，表面积减少6.28平方厘米，然后把新的圆柱沿直径截成两个半圆柱，表面积又增加80平方厘米，原来每个小圆柱的体积是多少立方厘米？ 【分析】用表面积减少的面积÷2，即可求出圆柱的底面积；再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，半径2＝底面积÷π，据此求出圆柱底面半径；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积，也就是长方形的面积，长方形的面积＝圆柱的底面直径×新圆柱的高，新圆柱的高＝长方形面积÷圆柱底面直径，据此求出新圆柱的高；再用新圆柱的高÷2，求出原来一个圆柱的高；再根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，即可解答。 【详解】6.28÷2÷3.14 ＝3.14÷3.14 ＝1 1×1＝1，圆柱的底面半径是1厘米。 1×2＝2（厘米） 80÷2÷2＝20（厘米） 20÷2＝10（厘米） 6.28÷2×10 ＝3.14×10 ＝31.4（立方厘米） 答：原来每个小圆柱的体积是31.4立方厘米。 题型十：图形的位置与变换 1． （1）用数对表示三角形各个顶点的位置。 A（     ）    B（     ）    C（     ） （2）画出三角形ABC向上平移两格得到的三角形A'B'C'，并用数对表示出各个顶点的位置。 A'（     ）    B'（     ）    C'（     ） 【分析】（1）用数对表示位置时第1个数表示列，第2个数表示行，A在第4列第1行；B在第6列第1行；C在第4列第3行； （2）作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。然后用数对表示出A'，B'，C'的位置。 【详解】（1）用数对表示三角形各个顶点的位置。 A（4，1）；B（6，1）；C（4，3）。 （2）平移后的图形如图所示： A'在第4列第3行；B'在第6列第3行；C'在第4列第5行； 即A'（4，3）；B'（6，3）；C'（4，5）。 2．     图①是绕点B顺时针旋转的，点A ′C′分别是点A、C的对应点。 图②是绕点（    ）（    ）时针旋转的，在图中标出各点的对应点。 图③是绕点（    ）（    ）时针旋转的，在图中标出各点的对应点。 【分析】作旋转一定角度后的图形的方法：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可，据此判断图②和图③的旋转方向和旋转中心，并标出各点的对应点即可。 【详解】图②是绕点A逆时针旋转的。 图③是绕点D逆时针旋转的。 如图： 3． （1）图中圆心的位置是（    ）。 （2）把圆移到圆的位置，可以先向（    ）平移（    ）格，再向（    ）平移（    ）格。 （3）把圆先向下平移4格，再向左平移7格，画出平移后的图形。 【分析】（1）根据用数对表示点位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，即可用数对表示出圆心O1的位置。（2）根据平移图形的特征，把出O2先向上平移3格，再向右平移4格或先向右平移4格，再向上平移3格即可移到O3的位置。（3）根据平移的特征，把O3先向下平移4格，再向左平移7格，以半径为1格画圆即可。 【详解】根据分析： （1）观察表格，O1在列1行4的位置上，用数对表示圆心O1的位置是（1，4）。 （2）观察表格，O2在列5行2的位置上，要平移到列9行5的圆心O3的位置上，可以先向上平移3格，再向右平移4格或先向右平移4格，再向上平移3格即可。（答案不唯一） （3）如图： 4．操作。 （1）用数对表示图中点A、B的位置：A（_____，_____）、B（_____，_____），点C的位置用数对表示是，请在图中标出点C的位置，并顺次连接点A、B、C、A。 （2）画出图①的另一半，使它成为一个轴对称图形；再把画好后的图形向左平移5格，画出平移后的图形。 （3）画出图②长方形绕点顺时针方向旋转后的图形。 【分析】（1）数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行；点C的位置用数对表示是，表示第5列第2行，在图中标出并顺次连接点A、B、C、A。 （2）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 作平移后的图形的方法：找出构成图形的关键点，过关键点沿平移方向画出平行线，由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置，再依据图形的形状顺次连接各对应点，画出最终的图形。 （3）作旋转后的图形：找到绕D点旋转，再找出以D为顶点的两条边分别作顺时针旋转90度，再画出完整图形。 【详解】（1）A在第4列第6行；B在第1列第2行； 即用数对表示图中点A、B的位置：A（4，6）、B（1，2） 如图： 5．（1）画出三角形ABC绕C点按顺时针方向旋转90°后的图形。 （2）画出原三角形BC边上的高。 （3）画出原三角形ABC先向右平移13格，再向下平移2格后的图形。 （4）图中圆心的位置是 。 （5）把圆按2∶1的比放大，并画出放大后图形的一条对称轴。 （6）放大后的图形与原有图形面积的最简整数比是 。 【分析】（1）把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°后，点C的位置不动，其余各部分均绕点C按相同方向旋转相同的度数即可； （2）从三角形的顶点向对边作一条垂线，顶点到垂足之间的距离就是三角形的高，据此作图三角形BC边上的高即可； （3）将三角形的各个顶点先向右平移13格，再向下平移2格，然后顺次连接各点即可； （4）根据同一个圆的所有半径的长度相等，据此确定圆心的位置即可，再根据用数对表示位置的方法表示出圆心的位置即可； （5）将圆的半径扩大到原来的2倍即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴； （6）根据圆的面积公式：S＝πr2，据此分别求出放大后的图形与原有图形面积，再进行化简即可。 【详解】（1）（2）（3）（5）如图所示： （4）图中圆心的位置是（3，3）。 （6）42π∶22π ＝16π∶4π ＝（16π÷4π）∶（4π÷4π） ＝4∶1 则放大后的图形与原有图形面积的最简整数比是4∶1。 6．下图每个小方格的边长是1厘米，请按要求完成下列各题。 （1）把图中的长方形绕点F顺时针旋转90º，画出旋转后的图形。E点旋转后的位置用数对表示是（    ）。 （2）按1∶2的比画出△ABC缩小后的图形。 （3）在△ABC中，C点在A点（    ）偏（    ）（    ）º方向。 （4）请在方格上画一个面积是8平方厘米的梯形。 【分析】（1）根据旋转的特征，将图中的长方形绕点F顺时针旋转90º，点F位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形；数对的表示方法：（列数，行数），找出E点旋转后在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）把△ABC按1∶2缩小，即三角形的每一条边缩小到原来的，原三角形的底和高分别除以2，得出缩小后三角形的底和高，据此画出缩小后的图形。 （3）△ABC两条直角边长相等，所以△ABC是一个等腰直角三角形，两个锐角都是45°，按照地图上的方向“上北下南，左西右东”，以A点为观测点，C点在A点南偏东45°方向。 （4）每个小方格的边长是1厘米，上底画3格，下底画5格，高画2格，所以上底为3厘米，下底为5厘米，高为2厘米，根据梯形的面积公式：（3＋5）×2÷2＝8（平方厘米），所以据此画出8平方厘米的梯形。 【详解】（1）E点旋转后的位置用数对表示是（6，7）。 （2） （3）C点在A点南偏东45°方向。 （4） 7．画一画，算一算。 （1）以直线L为轴，画出三角形ABC的轴对称图形，再把得到的图形再向下平移3格。 （2）画出三角形绕B点逆时针旋转90°后的图形。 （3）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。 （4）如图每个方格的边长是1厘米，如果以BC边为轴旋转，会得到一个什么立体图形？它的体积是多少？ 【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点，依次连接即可画出三角形ABC的轴对称图形，然后根据平移的特征，把三角形ABC的轴对称图形的各顶点分别向下平移3格，依次连接即可得到平移后的图形。 （2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点B逆时针旋转90°，点B的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。 （3）根据图形放大的方法，把三角形ABC的各边长分别扩大到原来的2倍，形状不变，画出放大后的图形即可。 （4）如图每个方格的边长是1厘米，如果以BC边为轴旋转，会得到圆锥，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h×求出它的体积即可。 【详解】（1）以直线L为轴，画出三角形ABC的轴对称图形，再把得到的图形再向下平移3格。如图： （2）画出三角形绕B点逆时针旋转90°后的图形。如图： （3）画出三角形ABC按2∶1放大后的图形。如图： （4）如图每个方格的边长是1厘米，如果以BC边为轴旋转，底面半径3厘米，高3厘米的圆锥，它的体积是： 3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26（立方厘米） 答：会得到一个圆锥，它的体积是28.26立方厘米。 8．请按要求填一填，画一画。 （1）把图①绕点逆时针旋转 （画出图形），旋转后点的位置用数对表示（    ）。 （2）图②中点是圆心，是圆的直径，。如果每个小方格表示边长为1厘米的正方形，那么点在点的（    ）偏（    ）方向（    ）厘米处。 （3）点在点南偏东 方向圆周上，请在图中标出点位置。 【分析】（1）根据旋转的特征，图①绕点逆时针旋转，点的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行及旋转后点所在的列、行，即可用数对表示出它的位置。 （2）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点的位置为观测点即可确定点的大体方向；由于，即三角形是等边三角形，等边三角形的每个角都是，即可确定所偏的度数；距离等于圆的半径3厘米。 （3）以点的位置为观测点，向南偏东方向画射线与圆相交于点。 【详解】（1）把图①绕点逆时针旋转 （下图），旋转后点的位置用数对表示。 （2）图②中点是圆心，是圆的直径，。如果每个小方格表示边长为1厘米的正方形，那么点在点的东偏北方向3厘米处。 （3）点在点南偏东 方向圆周上，请在图中标出点位置（下图）。 9．画图与计算。 （1）在上面的方格图中，画出长方形ABCD先向右平移6格，再向下平移3格后的图形A＇B＇C＇D＇。 （2）如果原长方形中的A点用数对表示为（3，5），那么平移后表示D＇点的数对为（   ，   ）。 （3）原长方形以BC边为轴旋转一周，形成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。（每个方格边长为1厘米） 【分析】（1）根据平移的特征，把长方形ABCD的各顶点分别先向右平移6格，再向下平移3格，依次连接即可得到平移后的图形A＇B＇C＇D＇。 （2）用数对表示物体的位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 已知原长方形中的A点用数对表示为（3，5），即A点在第3列第5行，据此数出D＇点在第11列第2行，并用数对表示D＇点的位置。 （3）根据题意，原长方形以BC边为轴旋转一周，形成一个圆柱体，这个圆柱的高等于BC，圆柱的半径等于AB； 根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算求出这个圆柱的表面积。 【详解】（1）如图： （2）如果原长方形中的A点用数对表示为（3，5），那么平移后表示D＇点的数对为（11，2）。 （3）形成的圆柱的底面半径是1厘米，高是2厘米。 2×3.14×1×2＋3.14×12×2 ＝12.56＋6.28 ＝18.84（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是18.84平方厘米。 10．按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm） ①三角形ABC是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。 ②在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？ _________________________________________________________ ③图中三角形ABC的面积是（    ）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。    【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，依次连接，再标上C点即可。 （2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出B、C点的位置；再根据两点的位置写出自己的发现。 （3）根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2求出图中三角形的面积；要画的平行四边形的面积与三角形的面积相等，根据平行四边形的面积＝底×高，确定平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。 【详解】（1）补全这个三角形（如下图）。 （2）在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置（如下图）；我发现B点和C点在同一行。（答案不唯一） （3）三角形的面积是： 6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（cm2） 因为15＝5×3，可以画一个底为5cm，高为3cm的平行四边形，如图所示：    （平行四边形的画法不唯一） 培优精练 1．下图的平行四边形中，阴影部分和空白部分的面积相比（    ）。 A．空白部分面积大 B．一样大 C．阴影部分面积大 D．无法判断 【分析】三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半，这里空白部分的三个三角形高相等，底的和相加是平行四边形的底，所以三个空白三角形的面积和等于平行四边形面积的一半；阴影部分的两个三角形高相等，底的和相加是平行四边形的底，所以两个阴影三角形的面积和等于平行四边形面积的一半，那么阴影部分和空白部分的面积相等。 【详解】由分析可知：阴影部分和空白部分的面积都是平行四边形面积的一半，所以阴影部分和空白部分的面积一样大。 故答案为：B 2．如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【分析】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据S长方形＝ab，S圆＝πr2解答。 【详解】方法一表面积增加： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm2） 方法二表面积增加： 3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（dm2） 所以两种方法增加的表面积一样多。 故答案为：C 3．求涂色部分的面积。（单位：cm） 【分析】方法一：根据图意可知，涂色部分的面积＝梯形的面积－空白三角形的面积；已知梯形的上底是16cm，下底是7cm，高是8cm，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式计算出梯形的面积；空白三角形的底是16cm，高是8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，列式计算出空白三角形的面积；再用梯形的面积减三角形的面积； 方法二：可以把空白三角形在梯形下底上的顶点移动到下底右边的端点上（如图），右边涂色的三角形和转换到左边的三角形同底等高，面积相同，这样就把涂色部分转换到一起且面积不变；这时，涂色部分三角形的底是7cm，高是8cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，列式计算出涂色部分的面积。据此解答。 【详解】方法一： 梯形的面积： （16＋7）×8÷2 ＝23×8÷2 ＝184÷2 ＝92（cm2） 三角形的面积： 16×8÷2 ＝128÷2 ＝64（cm2） 涂色部分的面积：92－64＝28（cm2） 方法二： 7×8÷2 ＝56÷2 ＝28（cm2） 所以，涂色部分的面积是28cm2。 4．计算下面图形中阴影部分的面积。 【分析】（1）第一个图形，首先分析阴影部分组成：观察第一个图形可知，阴影部分是一个梯形。梯形的上底是4dm，下底是8dm，高是4dm。再运用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2计算阴影部分面积 （2）第二个图形，首先分析阴影部分与整体图形关系观察可知，整个图形是一个长方形，长为4.4dm，宽为2.2dm。根据长方形的面积＝长×宽算出长方形的面积；空白部分是一个直角三角形，其两条直角边分别为长方形的长和宽，根据三角形的面积＝底×高÷2算出三角形的面积。阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白三角形的面积。 【详解】（1）（4＋8）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝48÷2 ＝24（平方分米） （2）4.4×2.2－4.4×2.2÷2 ＝9.68－4.84 ＝4.84（平方分米） 5．如图体积是多少？ 【分析】可以把图形看作一个底面直径为2cm、高为（6＋7）cm的圆柱的一半，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出圆柱的体积，再除以2，即是这个图形的体积。 【详解】3.14×（2÷2）2×（6＋7）÷2 ＝3.14×12×13÷2 ＝3.14×1×13÷2 ＝20.41（cm3） 图形的体积是20.41cm3。 6．求下面图形的体积。（单位：厘米）（共8分） 【分析】（1），图形的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，把图中的数据代入公式计算； （2），，图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积，把图中的数据代入公式计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2072.4（立方厘米） 所以，该图形的体积是2072.4立方厘米。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝150.72（立方厘米） 所以，该图形的体积是150.72立方厘米。 7．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【分析】图形1：阴影部分的面积就是圆环的面积；根据圆环的面积公式：面积＝π×（大圆半径2－小圆半径2），代入数据，求出阴影部分面积。 图形2：阴影部分面积等于边长是4厘米正方形面积减去半径是（4÷2）厘米圆的面积，再除以4，据此根据正方形面积公式和圆的面积公式，即可解答。 图形3：阴影部分面积等于直径是10厘米半圆的面积－底是6厘米，高是8厘米三角形的面积，据此根据圆的面积公式和三角形面积公式，即可解答。 图形4：阴影部分面积＝直径是16厘米半圆的面积＋底是16厘米，高是（16÷2）厘米的三角形面积，据此根据圆的面积和三角形面积公式，即可解答。 【详解】图形1： 3.14×（122－62） ＝3.14×（144－36） ＝3.14×108 ＝339.12（平方厘米） 阴影部分面积是339.12平方厘米。 图形2： [4×4－3.14×（4÷2）2]÷4 ＝[4×4－3.14×22]÷4 ＝[16－3.14×4]÷4 ＝[16－12.56]÷4 ＝3.44÷4 ＝0.86（平方厘米） 阴影部分面积是0.86平方厘米。 图形3： 3.14×（10÷2）2÷2－6×8÷2 ＝3.14×52÷2－6×8÷2 ＝3.14×25÷2－48÷2 ＝78.5÷2－24 ＝39.25－24 ＝15.25（平方厘米） 阴影部分面积是15.25平方厘米。 图形4： 3.14×（16÷2）2÷2＋16×（16÷2）÷2 ＝3.14×82÷2＋16×8÷2 ＝3.14×64÷2＋128÷2 ＝200.96÷2＋64 ＝100.48＋64 ＝164.48（平方厘米） 阴影部分面积是164.48平方厘米。 8．求下面各图中涂色部分的面积。           【分析】（1）涂色部分是3个三角形，这3个三角形的底相加等于平行四边形的底，高都等于平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，可知等底等高的三角形的面积等于平行四边形面积的一半，据此求出涂色部分的面积。 （2）如下图，把上方的涂色部分移补到下方，可以看出涂色部分的面积等于大三角形面积的一半，大三角形的底为（10＋10）cm，高为10cm，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一大三角形的面积，再除以2，即是涂色部分的面积。 【详解】（1）20×13÷2 ＝260÷2 ＝130（cm2） （2）（10＋10）×10÷2÷2 ＝200÷2×2 ＝50（cm2） 9．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【分析】左图：观察图形可知，涂色部分的面积等于正方形的面积减去两个半圆的面积，而两个半圆正好可以组成一个完整的圆，所以用正方形面积减去圆的面积即可； 右图：观察发现，通过割补法，可将左边半圆内的涂色部分移到右边，此时涂色部分组合成一个三角形，三角形的底是右边竖线段的长度4厘米，高是圆的半径4÷2＝2（厘米），根据“三角形面积＝底×高÷2”算出面积即可。 【详解】左图：6×6＝36（平方厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×32＝28.26（平方厘米） 36－28.26＝7.74（平方厘米） 所以左图涂色部分面积是7.74平方厘米。 右图：4÷2＝2（厘米） 4×2÷2＝4（平方厘米） 所以右图涂色部分面积是4平方厘米。 10．计算下面各涂色部分的周长。（单位：厘米） 【分析】左侧图中：涂色部分周长＝直径为8厘米的大圆周长的一半＋两个白色小圆周长的各自一半，把图中的白色大半圆直径设为a厘米，白色小半圆直径设为b厘米，那么两个小圆周长的各自一半的和就是（aπ＋bπ）÷2，而a＋b＝8，所以左侧涂色部分的周长就相当于是一个直径是8厘米圆的周长。右侧图中：涂色部分周长是两个圆心角为90°的扇形弧长的和，也就是半径是4厘米的圆周长的一半，根据C＝πd计算解答。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 涂色部分周长是25.12厘米。 3.14×（2×4）÷2 ＝3.14×8÷2 ＝25.12÷2 ＝12.56（厘米） 涂色部分周长是12.56厘米。 11．看图回答问题。（图中每个小正方形的边长是1厘米） （1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（    ）；如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（     ）。 （2）线段AB绕点B逆时针旋转（    ）时，点A运动到点A＇（5，1），点A走了（    ）厘米。 【分析】（1）根据用数对表示物体位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点B的位置。 根据等腰直角三角形的特征可知，三角形ABC的两条腰相等，且有一个内角是直角；据此找出点C的位置，并用数对表示。 （2）点A要运动到点A＇（5，1），根据旋转的知识，线段AB绕点B逆时针旋转90°时，点A运动到点A＇，点A走的距离是一个半径为3厘米的圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】（1）图中点A的位置是（2，4），点B的位置是（5，4）； 如果再添一个点C，和A、B两点构成一个等腰直角三角形，那么点C的位置可以是（2，1）。（答案不唯一） （2）线段AB绕点B逆时针旋转90°时，点A运动到点A＇（5，1）。 2×3.14×3×＝4.71（厘米） 点A走了4.71厘米。 12．按要求作图并填空。 （1）画出图形①绕点A逆时针方向旋转180°后的图形②。 （2）如果点B的位置是（4，3）那么旋转后点B的对应点B′的位置是（    ）。 （3）如果把图形①按2∶1放大，请画出放大后的图形③。 （4）图形③和图形①的面积比是（    ）。 【分析】（1）根据题意，注意图形的形状和大小在旋转过程中保持不变，绕点A画出逆时针方向旋转180°的图形即可。 （2）将画出的图形点B′，在方格中读出其数对位置即可。第一个数字表示列，第二个数字表示行。 （3）按2∶1放大意味着将图形的每条边的长度都×2。在放大过程中，要注意保持图形的形状特征不变，角度不变，各部分之间的比例关系也不变。 （4）观察画好后的图形，按2∶1放大后的图形与原图形的面积比是4∶1。 【详解】（1）（3） （2）旋转后点B的对应点B′的位置是（8，5）； （4）（6×2÷2）∶（3×1÷2） ＝6∶1.5 ＝4∶1 图形③和图形①的面积比是4∶1。 13．按要求画图。 （1）图①平行四边形沿高分成了两部分，将阴影部分向（    ）平移（    ）格，平行四边形就转化成了长方形。 （2）画出图①按1∶2缩小后的图形。 （3）以虚线为对称轴，画出图②的另一半，使它成为一个轴对称图形。 【分析】（1）根据平移图形的特征，把阴影三角形向右平移4格，平行四边形就转化成了长方形； （2）根据图形缩小的方法，将平行四边形的底和高按1：2缩小到原来的，形状不变，画图即可。 （3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出图形的关键对称点，连接即可。 【详解】（1）图①平行四边形沿高分成了两部分，将阴影部分向右平移4格，平行四边形就转化成了长方形； （2）（3）作图如下： 14．根据图示回答下列问题。（每个小方格均为正方形） （1）画出三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后，再向右平移2个格后的图形。 （2）用数对表示出三角形ABC的各个顶点的位置。 （3）画出三角形ABC按2∶1扩大后的图形。 【分析】（1）根据旋转的特征，将三角形ABC绕C点顺时针旋转90°，点C位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可得到旋转后的图形；然后根据平移的特征，将旋转后的三角形的各顶点分别向右平移2格，依次连接即可。 （2）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示出三角形ABC的各个顶点的位置。 （3）图中三角形ABC的底是2，高是3，按2∶1扩大，则三角形ABC的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 【详解】（1）三角形ABC绕C点顺时针旋转90°后，再向右平移2个格后的图形，如下图。 （2）三角形ABC的各个顶点的位置：A（3，6）、B（1，3）、C（3，3）。 （3）扩大后三角形的底：2×2＝4 扩大后三角形的高：3×2＝6 画一个底为4、高为6的三角形，如下图。 15．填一填、画一画。 （1）以点A为观测点，点B在点A的（    ）偏（    ）约63.5°的方向上。 （2）三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3格，请你画出平移后的图形。 【分析】（1）根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以点A的位置为观测点即可确定点B的方向，所偏的度数已知。 （2）根据旋转的特征，三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，点C的位置不动，这个图形的各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；根据平移的特征，把旋转后三角形的各顶点分别向右平移3格，依次连接即可得到平移后的图形。 【详解】（1）以点A为观测点，点B在点A的南偏西约63.5°的方向上。 （2）根据题意画图如下： 16．下面是一个长方体容器，水深4分米，把一个铁块放入后，铁块全部浸没，这时从容器里溢出了4升水。这个铁块的体积是多少？ 【分析】水深4分米，容器总高度是6分米，那么没有水的部分高2分米。根据长方体体积＝底面积×高，求出没有水部分的体积。由于将铁块放入后，水溢出了4升，那么原来没有水部分的体积加上溢出的水的体积，就等于铁块的体积。 【详解】4升＝4立方分米 5×5×（6－4）＋4 ＝25×2＋4 ＝50＋4 ＝54（立方分米） 答：这个铁块的体积是54立方分米。 17．《齐民要术》记载了保存种子、果实的方法沙藏法。利用沙藏法保存板栗能有效地延长其保存时间，并保持其原有的口感和风味。李伯伯将今年收获的板栗放入长7米、宽5米的长方体土坑后盖上细沙，沙子刚好盖住板栗。等到售卖时取出板栗，沙子高度下降了7.6分米，则这些板栗的体积是多少立方米？ 【分析】分析题目，先根据1米＝10分米把7.6分米换算成以米为单位，板栗的体积等于一个长是7米宽是5米高是7.6分米的长方体的体积，据此结合长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。 【详解】7.6分米＝0.76米 7×5×0.76 ＝35×0.76 ＝26.6（立方米） 答：这些板栗的体积是26.6立方米。 18．已知瓶内药水的体积是19.8毫升（如图）。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶子的容积是多少毫升？ 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷h，据此可以求出瓶子的底面积，这个瓶子的容积计算以瓶子的底面为底面，高为（6＋2）厘米的圆柱的体积，把数据代入公式解答。 【详解】19.8毫升＝19.8立方厘米 19.8÷6×（6＋2） ＝3.3×8 ＝26.4（立方厘米） 26.4立方厘米＝26.4毫升 答：瓶子的容积是26.4毫升。 19．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【分析】已知圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 把圆内的正方形用一条对角线平均分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 那么阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×52－5×2×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：它的面积是28.5平方厘米。 20．一个长10厘米、宽6.5厘米的长方形，沿对角线对折后，得到如下图所示的几何图形。阴影部分的周长是多少厘米？ 【分析】因为沿对角线对折，则阴影部分的周长通过转化正好是这个长方形的周长。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2。 【详解】（10＋6.5）×2 ＝16.5×2 ＝33（厘米） 答：阴影部分的周长是33厘米。 21．探究题。 下面是小慧设计的测量玩具兔子体积的实验，仔细思考并回答问题。 第一步：用橡皮泥将玩具兔子完全裹住捏成一个长方体，并测量长方体的长、宽、高。 第二步：将玩具兔子从橡皮泥中取出。 第三步：将橡皮泥捏成一个正方体，并测量该正方体的棱长。 （1）推理：玩具兔子的体积＝________________________。 （2）经测量，裹有玩具兔子的长方体橡皮泥的长、宽、高分别为12厘米、9厘米、7厘米，取出玩具兔子后，橡皮泥捏成的正方体的棱长为7厘米，根据实验过程，在下表中填写相关数据。 长方体的体积/立方厘米 正方体的体积/立方厘米 玩具兔子的体积/立方厘米 （3）分析：实验可能存在误差，其原因是_____________。 【分析】（1）测量的长方体的体积包含了橡皮泥的体积和玩具兔的体积，正方体的体积就是橡皮泥的体积，所以玩具兔的体积可用长方体体积减正方体的体积。 （2）根据、正方体体积公式，分别代入数据计算，再用长方体体积减正方体的体积可得玩具兔的体积。 （3）在实验中可能还会存在误差，因橡皮泥可能在包裹玩具兔子时无法完全紧贴其表面、测量长、宽、高时不够准确等。 【详解】（1）推理：玩具兔子的体积＝长方体的体积－正方体的体积。 （2）（立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 长方体的体积/立方厘米 正方体的体积/立方厘米 玩具兔子的体积/立方厘米 756 343 413 （3）分析：实验可能存在误差，其原因是橡皮泥之间有空隙，无法与玩具兔子紧密贴合，测量长、宽、高时不够准确等。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$