【第三章 代数式 02讲 代数式的值】暑假小升初衔接2025－2026学年七年级数学上册（新版人教版专用）

第三章 代数式 02讲 代数式的值 目录 【知识点1. （求）代数式的值】…………………………………………………… 1 【题型1. 已知字母的值，求代数式的值】………………………………………… 2 【题型2. 已知式子的值，求代数式的值】………………………………………… 3 【题型3. 程序流程图与代数式求值】……………………………………………… 3 【题型4. 整体思想之配系数】……………………………………………………… 4 【题型5. 整体思想之奇次项为相反数】…………………………………………… 4 【题型6. 整体思想之赋值法】……………………………………………………… 5 【课后作业】…………………………………………………………………………… 7 知识清单 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果． 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 巩固基础 1．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．下图是一个计算机的运算程序，若开始输入的x为，则y为（   ） A． B． C． D． 4．摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中表示华氏度（），表示摄氏度（），那么将转换为华氏度为（   ） A． B． C． D． 5．若，则 ． 直击考点 题型1：已知字母的值，求代数式的值 例1．若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 例2．当时，代数式的值是 ． 变式1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．对于有理数，，若规定，则当，时， ． 变式3．为了便于计算，常把圆柱形钢管堆成等腰梯形状，下面的一层比上面一层多放一根，只要数出顶层的根数和层数，就可以计算这堆钢管的根数．当时，这堆钢管的总根数为 ；当时，这对钢管的总根数为 （用表示）． 题型2：已知式子的值，求代数式的值 例1．若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 例2．若，则 ． 变式1．已知整式，则的值为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 变式2．若，则 ． 题型3：程序流程图与代数式求值 例1．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 例2．按如图所示的运算程序，若输入，则输出结果为 ． 变式1．根据如图所示的程序计算关系式，若输入x的值是7，则输出y的值是；若输入x的值是，则输出y的值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．29 变式2．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 变式3．我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ） A． B． C． D． 变式4．如图，按图中的程序计算，当时，函数y的值为 ． 变式5．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 题型4：整体思想之配系数 例1．已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．如果，那么代数式的值是 ． 变式1．已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 变式2．已知，则的值是（   ） A．84 B．144 C．72 D．360 变式3．若，则 ． 题型5：整体思想之奇次项为相反数 例1．当时，整式，则当时，整式的值为（    ） A．2022 B．2019 C． D． 例2．当时．多项式的值为3．则当时，多项式的值为（   ） A．0 B． C． D． 变式1．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 变式2．当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．8 C．9 D． 变式3．已知时，代数式的值是4，那么当时，代数式的值等于（    ） A．9 B．1 C．5 D． 题型6：整体思想之赋值法 例1．若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 例2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 变式1．若：． （1）当时， ；（2） ． 变式2．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求：(1)的值； (2)的值； (3)的值． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）若，则代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B．5 C．或5 D．5或1 3．（24-25七年级上·重庆·期中）按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值是（   ） A．－1 B．1 C．－2024 D．2024 5．（24-25七年级上·广东潮州·期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．4 D．8 6．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 7．（24-25七年级上·河南信阳·期中）当时，整式的值为，则当时，整式的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 8．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（14-15七年级上·河北邢台·阶段练习）数学思想·整体思想  已知代数式的值是8，那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）定义新运算，例如，下列说法正确的有（　　） ①； ②； ③当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 12．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若，则 ． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，，则的值为 ． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数，求的值为 ． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）当时，，则当时， ． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知对于任意正整数，设，则的值为 ． 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）有一数值转换机如图所示，输入的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2025次输出的结果是 ． 18．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 19．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长度，有理数、、、所表示的点是这些点中的个，且在数轴上的位置如图所示，已知，则 ． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）阅读理解：十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“”和“— —”组成(如图)，分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则 ．    三、解答题 21．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是．” (1)求a，b，c的值． (2)求的值． 22．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为米，为米 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？（用、的代数式表示） (2)一扇这样的窗户需要铝合金多少米？（用、的代数式表示） (3)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了上表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 23．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 24．（24-25七年级上·广东珠海·期中）在一个小镇上，有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示．    (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求的值． 25．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）学校计划给每个班安装直饮水机，某商场的报价为每台元，已知该校共有个班级，当购买数量超过台时，商场给出如下两种优惠方案（学校选择其中一种方案进行购买）： 方案一：学校先交元定金后，每台元； 方案二：台免费，其余每台按报价打九折（九折即按报价的收费）． (1)用含的代数式分别表示按两种方案购买的费用； (2)若该校共有个班级，学校选择哪种方案购买直饮水机更省钱? 26．（24-25七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 27．（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制． 现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一． 我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作：； 七进制数，记作：． (1)请将以下两个数转化为十进制：______；______． (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式 02讲 代数式的值 知识清单 1、代数式的值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 求代数式的值的步骤：（1）代入数值；  （2）计算结果． 整体思想是一种重要的数学思想，它抓住了数学问题的本质，是直接思维和逻辑思维的和谐统一。有些数学问题在解题过程中，如果按照常规解法运算较繁，而且容易出错；如果我们从整体的高度观察、分析问题的整体形式、整体结构、整体与局部之间的关系、联想相关的知识，就能寻求捷径，从而准确、合理地解题。 巩固基础 1．当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是代数式的求值，把代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 故选：A． 2．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故选：C． 3．下图是一个计算机的运算程序，若开始输入的x为，则y为（   ） A． B． C． D． 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，不符合题意， ∴时， ∴，也不符合题意； ∴时， ∴，也不符合题意； ∴时， ∴，符合题意； 故选：C． 4．摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系满足方程，其中表示华氏度（），表示摄氏度（），那么将转换为华氏度为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查代数式求值，把代入求值即可．关键是理解题意． 【详解】解：当时，， 所以将转换为华氏度为 故选：A． 5．若，则 ． 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法进行计算求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：9． 直击考点 题型1：已知字母的值，求代数式的值 例1．若，则代数式的值为（   ） A．2 B． C．5 D． 【分析】此题主要考查了求代数式的值，在解答过程中要注意符号的变化． 将直接代入，进行有理数的运算即可． 【详解】解：，则代数式的值为， 故选：D． 例2．当时，代数式的值是 ． 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：当时，， 故答案为；． 变式1．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键，根据“见比设”的解法技巧，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 设，， ∴， 故选：D． 变式2．对于有理数，，若规定，则当，时， ． 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．根据规定列式计算即可． 【详解】解：当，时，， ， 故答案为：9． 变式3．为了便于计算，常把圆柱形钢管堆成等腰梯形状，下面的一层比上面一层多放一根，只要数出顶层的根数和层数，就可以计算这堆钢管的根数．当时，这堆钢管的总根数为 ；当时，这对钢管的总根数为 （用表示）． 【分析】本题主要考查列代数式、代数式求值，类比梯形面积的计算公式列出代数式是解题的关键． 首先求得底层根数为，再利用梯形的面积公式列出代数式，然后将、分别代入代数式求解即可． 【详解】解：由题意可得：底层根数为， 则堆钢管的总根数； 当时，钢管总数为； 当时，钢管总数为． 故答案为：35，． 题型2：已知式子的值，求代数式的值 例1．若和互为相反数，和互为倒数，是最大的负整数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】本题考查相反数，倒数，负整数．根据相反数、倒数、负整数的性质求出相关数据，代入所给代数式计算即可求解． 【详解】解：∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∴． 故选：A． 例2．若，则 ． 【分析】本题考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题的关键；将已知的等式变形为，然后整体代入所求式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 变式1．已知整式，则的值为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体代入法是解题关键．由已知得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：∵ ∴， ， 故选：D． 变式2．若，则 ． 【分析】本题考查求代数式的值，将已知化为，再将转化为，再整体代入计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 即． 故答案为：． 题型3：程序流程图与代数式求值 例1．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了与流程图有关的代数式求值，先把代入中，计算出结果，若结果小于，则把结果作为新数输入，重复上述过程，若大于，则输出，据此求解即可． 【详解】解：当输入2时，， 当输入时，， ∴输出的结果为， 故选：B． 例2．按如图所示的运算程序，若输入，则输出结果为 ． 【分析】此题考查了代数式的值与程序图，由题意可得即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 变式1．根据如图所示的程序计算关系式，若输入x的值是7，则输出y的值是；若输入x的值是，则输出y的值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．29 【分析】此题考查了求代数式的值，弄清程序中的运算关系是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值． 【详解】解：当时，可得， 可得：， 当时，可得：， 故选C． 变式2．如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了代数式的求值，通过输入输出的计算得到规律是解决本题的关键． 按运算程序先计算，通过计算结果找出规律，利用规律得结论． 【详解】解：输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是偶数， 输出， 输入， 是奇数， 输出； 依次类推，输出的结果分别为，，，，，循环， ， 故第次输出的结果是； 故选：D 变式3．我国古代数学名著《九章算术》里记载了程序框图的算法思路，如图所示，如果第一次输入的值是，这样下去第次计算输出的结果是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了程序流程图与代数式的值，由程序流程图可得每次输出的结果，，循环出现，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次输入的值是，输出的结果为； 第二次输入的值是时，输出的结果为； 第三次输入的值是时，输出的结果为； ， ∴每次输出的结果，，循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是， 故选：． 变式4．如图，按图中的程序计算，当时，函数y的值为 ． 【分析】本题考查的根据程序图求值，根据题目所给的x的值，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：11． 变式5．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时，则输出的结果为 ． 【分析】本题考查了代数式求值，根据运算程序，先列出代数式，将n的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴令， ∴， ∴输出结果30， 故答案为：30． 题型4：整体思想之配系数 例1．已知代数式的值为3，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】本题考查的是代数式求值．先把所求代数式化为的形式，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B． 例2．如果，那么代数式的值是 ． 【分析】本题考查了代数式求值．将代数式进行变形，再整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．已知，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了代数式求值，由已知得，再代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 变式2．已知，则的值是（   ） A．84 B．144 C．72 D．360 【分析】本题考查已知式子的值求代数式的值，由得，将作为整体代入即可． 【详解】解：， ， ， 故选B． 变式3．若，则 ． 【分析】本题考查的是求解代数式的值，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为： 题型5：整体思想之奇次项为相反数 例1．当时，整式，则当时，整式的值为（    ） A．2022 B．2019 C． D． 【分析】本题考查了代数式的求值，正确变形并整体代入是解题的关键．直接利用已知得出当时的值，再整体代入可求得解． 【详解】解：依题意得：当时，整式， ， 当时，整式． 故选：D． 例2．当时．多项式的值为3．则当时，多项式的值为（   ） A．0 B． C． D． 【分析】本题考查代数式求值，将代入，得到，进而得到． 【详解】解：将代入得：， ∴， 当时， ； 故选：C． 变式1．当时，代数式的值为2026，则当时，的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．将代入可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵当时，代数式的值为2026， ∴， ∴， ∴当时， ， 故选：B． 变式2．当时，代数式的值是8，则当时，这个代数式的值是（   ） A． B．8 C．9 D． 【分析】本题主要考查了代数式的求值．熟练掌握整体代入方法是解题关键． 将代数式中得：，再将代入中得：，之后整体代入计算即可． 【详解】∵当时，代数式的值是8， ∴， ∴．     当时， ． 故选：A． 变式3．已知时，代数式的值是4，那么当时，代数式的值等于（    ） A．9 B．1 C．5 D． 【分析】将代入，得，再将代入，变形后求值． 【详解】解：将代入，得， 因此当时， ． 故选B． 题型6：整体思想之赋值法 例1．若（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+c+e=　　． 【答案】528 分析：可以令x=±1，再把得到的两个式子相减，即可求值． 【解析】∵（3x+1）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f， 令x=﹣1，有﹣32=﹣a+b﹣c+d﹣e+f① 令x=1，有1024=a+b+c+d+e+f② 由②﹣①有：1056=2a+2c+2e，即：528=a+c+e． 点评：本题考查了代数式求值的知识，注意对于复杂的多项式可以给其特殊值，比如±1． 例2．赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式，当x取任意有理数时等式都成立，例如：当时，可求得．请再尝试给x赋其它的值，结合学过的知识，求的值． 【分析】本题主要考查了代数式求值，令，可求出，令，可求出，两式相加即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴， 当时，则， ∴， ∴得， ∴． 变式1．若：． （1）当时， ；（2） ． 【分析】（1）将代入，即可计算出的值； （2）将代入，即可计算出的值． 【详解】解：（1）将代入得： ，即，故答案为：； （2）将代入得： 即，故答案为：1 变式2．赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如： 已知：，则：（1）取时，直接可以得到； （2）取时，可得到； （3）取时，可以得到． （4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题： 已知， 求：(1)的值； (2)的值； (3)的值． 【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键． （1）观察等式可发现只要令，即可求出的值； （2）观察等式可发现只要令即可求出的值． （3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，可得； （3）解：当时，可得①， 由（2）得②； 得：， ， ． 课后作业 一、单选题 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）若，则代数式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】本题考查代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据已知条件，将其代数式变形为，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A； 2．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）已知，，且，则的值为（   ） A． B．5 C．或5 D．5或1 【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，代数式求值，掌握绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义得出，，再代入计算求值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ，， 的值为5或1， 故选：D． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 【分析】本题考查了代数式求值，理解题意掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据题意，再将代入中即可求解． 【详解】解：， 将代入中得： ， 故选：B． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则的值是（   ） A．－1 B．1 C．－2024 D．2024 【分析】本题考查的是非负数的性质：几个非负数的和为0时，每一项都等于0，先根据非负数的性质求出a，b的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·广东潮州·期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为5，第1次运算结果输出的是8，返回进行第二次运算输出的是4，…，则第2025次输出的结果是（） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】本题考查的是代数式求值，找出程序中的数值规律是解题的关键． 把代入程序中计算，依此类推得到循环规律，即可得出第2025次输出的结果． 【详解】解：把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， ∴从第2次开始，输出结果以4，2，1这三个数不断循环出现， ∵， ∴第2025次输出的结果是2． 故选：B． 6．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）如果、互为相反数，、互为倒数，，为立方等于本身的数的个数，求代数式的值是（    ） A．11 B．10 C．9 D．12 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数的定义，有理数的乘方计算，熟练掌握相反数和倒数及绝对值的性质是解题的关键． 互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，，，，再由立方等于本身的数有0和，得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵、互为相反数，、互为倒数，， ∴，，， ∵立方等于本身的数是0或，为立方等于本身的数的个数 ∴， ∴ ． 故选A． 7．（24-25七年级上·河南信阳·期中）当时，整式的值为，则当时，整式的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查代数式的值，把代入整式可得，则有，然后把代入整式即可求解． 【详解】解：把代入整式可得， ∴， ∴把代入整式可得：； 故选：C． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 9．（14-15七年级上·河北邢台·阶段练习）数学思想·整体思想  已知代数式的值是8，那么的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是熟练运用整体代入的思想解决问题． 根据的值为8，得，然后对代数式进行变形后整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B． 10．（23-24七年级上·重庆大渡口·期末）定义新运算，例如，下列说法正确的有（　　） ①； ②； ③当时，． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算、代数式求值，根据新定义逐项计算即可求解． 【详解】解：①∵， ∴， ， ， …， ， ∴ ，故①不正确； ②∵， ∴， ， ， …， ， ∴ ，故②正确； ③∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，故③不正确． 故选B． 二、填空题 11．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）若，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意得出，然后将原式变形为，整体代入计算即可得解，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若，则 ． 【分析】本题考查代数式求值．由得到、，求得，将和先后代入即可得到答案． 【详解】解：由得、， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知互为相反数，互为倒数，，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 故答案为：或3． 14．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段练习）已知是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数，求的值为 ． 【分析】本题主要考查了代数式求值，数轴上两点的距离，相反数，最大负整数，最小正整数等等，最小的正整数为1，最大的负整数为，相反数是它本身的数为0，到原点的距离为0的数为0，据此求解即可． 【详解】解；∵是最小的正整数，是最大的负整数，是相反数等于它本身的有理数，是到原点的距离为0的有理数， ∴， ∴， 故答案为：2． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）当时，，则当时， ． 【分析】本题主要考查代数求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．将代入求出，即，将代入即可得到答案． 【详解】解：将代入，， ， ， 将代入． 故答案为：． 16．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知对于任意正整数，设，则的值为 ． 【分析】本题考查了定义新运算、代数式求值，理解新定义是解题的关键．设，利用倒序相加法得出，根据新定义得到，再利用裂项求和即可解答． 【详解】解：设，则， ， ，即， ， ． 故答案为：． 17．（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）有一数值转换机如图所示，输入的值是3，第一次输出的结果是10，第二次输出的结果是5，…，则第2025次输出的结果是 ． 【分析】本题考查数字变化的规律，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题，能通过计算发现输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现是解题的关键． 【详解】解：由题知，当x为偶数时，输出，否则， 当输入x的值是3时，是奇数，第一次输出的结果是10； 第二次输入x的值是10，是偶数，第二次输出的结果是5； 第三次输入x的值是5，是奇数，第三次输出的结果是16； 第四次输入x的值是16，是偶数，第四次输出的结果是8； 第五次输出的结果是4； 第六次输出的结果是2； 第七次输出的结果是1； 第八次输出的结果是4； 第九次输出的结果是2； 第十次输出的结果是1； 第十一次输出的结果是4； …， 依次类推，输出的数从第五次开始按4，2，1循环出现， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果为2． 故答案为2． 18．（24-25七年级上·重庆秀山·期中）现定义一种新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，若，那么的值为 ． 【分析】本题主要考查了定义新运算，代数式求值，理解新运算是解题的关键． 根据，，得到，再将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ． 故答案为：9． 19．（24-25七年级上·山东德州·期中）如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长度，有理数、、、所表示的点是这些点中的个，且在数轴上的位置如图所示，已知，则 ． 【分析】本题考查了数轴，代数式求值，根据题意，则，，，结合，列式解答即可． 【详解】解：仔细观察图形，由数轴可知：． 每相邻两点之间的距离是个单位长， ，，． ， ， ， ，， ． 故答案为：． 20．（24-25七年级上·吉林·期末）阅读理解：十进制记数采用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：0，1，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的8种基本图形，由符号“”和“— —”组成(如图)，分别表示1和0．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则 ．   【分析】 本题考查了有理数的混合运算、求代数式的值，本题中首先根据符号“”和“— —”，分别表示和，再根据“风”表示的二进制数为和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的，分别把和所对应的二进制数表示出来，然后再转化为十进制数，再代入代数式进行计算即可． 【详解】 解：符号“”和“— —”，分别表示和， 从表中“风”表示的二进制数为和风所对应的符号可知，读的时候是由下向上读的， 所对应的二进制数为，转换为十进制数为， 所对应的二进制数为转换为十进制数为， 故答案为：． 三、解答题 21．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是．” (1)求a，b，c的值． (2)求的值． 【分析】此题考查了有理数的混合运算，代数式求值． （1）根据相反数、绝对值和加法即可求出答案； （2）根据（1）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵a的相反数是3，b的绝对值是7， ∴， ∵c与b的和是． ∴， 当时，， 当时，， ∴或； （2）解：当，时，； 当，时，． 22．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为米，为米 铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米） 甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米 乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送0.2米铝合金 (1)一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？（用、的代数式表示） (2)一扇这样的窗户需要铝合金多少米？（用、的代数式表示） (3)小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了上表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（取3） 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合运算的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式和周长公式． （1）根据圆的面积和周长公式，长方形的面积和周长公式进行求解即可； （2）根据圆的面积和周长公式，长方形的面积和周长公式进行求解即可； （3）先把，代入求出一扇这样的窗户需要玻璃和需要铝合金，然后分别求出两个品牌店需要的费用，然后再进行比较即可。 【详解】（1）解：一扇这样的窗户需要玻璃为：平方米； 答：一扇这样的窗户需要玻璃平方米； （2）解：需要铝合金：米； 答：一扇这样的窗户需要铝合金米； （3）解：把，代入得， 一扇这样的窗户需要玻璃为：（平方米）； 需要铝合金为：（米）； 买10扇这样的甲品牌窗户需要的费用为： （元）， 买10扇这样的乙品牌窗户需要的费用为： （元）， ∵， ∴小明家选择乙品牌购买窗户划算． 23．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解： ， ， 故答案为：； （3）解：，， ． 24．（24-25七年级上·广东珠海·期中）在一个小镇上，有一个社区公园，公园的一角有一个长方形的花坛．这个花坛被设计成不同的区域，用于种植各种植物．为了增加公园的美观性，公园管理员决定在花坛中创建一个阴影区域，这个区域将种植特殊的夜间开花植物．花坛的尺寸如图所示．    (1)根据图中尺寸大小，用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，，求的值． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图形列出代数式即可； （）把，，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：当，，时， ． 25．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）学校计划给每个班安装直饮水机，某商场的报价为每台元，已知该校共有个班级，当购买数量超过台时，商场给出如下两种优惠方案（学校选择其中一种方案进行购买）： 方案一：学校先交元定金后，每台元； 方案二：台免费，其余每台按报价打九折（九折即按报价的收费）． (1)用含的代数式分别表示按两种方案购买的费用； (2)若该校共有个班级，学校选择哪种方案购买直饮水机更省钱? 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）当时，分别计算方案一和方案二得费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：（1）方案一收费为元，                         方案二收费为：（元）； （2）解：当时， 选择方案一需要的费用为（元），   选择方案二需要的费用为（元）， 因为， 所以学校选择方案二购买直饮水机更省钱． 26．（24-25七年级上·北京·期中）同学遇到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中a和b的值不能单独求出来，于是他想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，则＝； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将所给代数式进行适当变形，利用整体思想代入是解题关键． （1）根据即可求解； （2）将化简可得，根据即可求解； （3）根据即可求解． 【详解】（1）解：（1）， ∵， ∴原式， 故答案为：； （2） ， ∵， ∴原式 ； （3）∵， ∵，， ∴， 故答案为：． 27．（24-25七年级上·北京·期中）阅读下列材料并解决问题 进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为，即可称进制． 现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字进行记数，特点是逢十进一． 对于任意一个用进制表示的数，通常使用个阿拉伯数字进行记数，特点是逢n进一． 我们可以通过以下方式把它转化为十进制： 例如：五进制数，记作：； 七进制数，记作：． (1)请将以下两个数转化为十进制：______；______． (2)若一个正数可以用七进制表示为，也可以用五进制表示为，请求出这个数并用十进制表示． 【分析】本题考查有理数乘方的应用．正确理解十进制和其它进制转化为十进制的方法是解题的关键． （1）根据进制的计算规则列式计算即可得； （2）由题意得出，即，结合，，，且a、b、c均为整数得出a、b、c的值，表示成十进制即可． 【详解】（1）解：由题意得：；； 故答案为：，； （2）解：∵ ， ， 根据题意，得：， 整理得：， ∵，，；且a、b、c均为整数， ∴满足关系的整数a、b、c共有两种情形 ，，，此数用十进制表示为：51； ，，，此数用十进制表示为：102． 28．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 【问题初探】先增大后减小 【问题解决】 【拓展应用】立方厘米或立方厘米或 【分析】本题考查代数式，乘方运算，熟练掌握求代数式的值是解题的关键； 【问题初探】根据题意，列代数式求解即可；当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； 【问题解决】把代入中，即可求解； 【拓展应用】当底面相邻边长分别为厘米和厘米时；当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时，分别讨论即可求解； 【详解】解：[问题初探]如图，边长为厘米的正方形剪下四个边长为厘米的小正方形，用剩余纸板拼成一个长和宽均为厘米、高为厘米的无盖长方体形收纳盒,此时其容积（长宽高）为立方厘米， 当，时， ； 故答案为： 当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； [问题解决]解：当时，收纳盒容积为立方厘米； [拓展应用]解：∵要将边长为厘米的正方形硬纸板按上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒， ∴其长和宽均为， ∴其容积为立方厘米， 当底面相邻边长分别为厘米和厘米时， 解得 ， ， 八该收纳盒容积为立方厘米； 当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时， 分两种情况：当，时 解得， ， ， ∴容积为立方厘米； 当，时， 解得： ， ， ∴容积为立方厘米 综上，若该容积最大的无盖长方体形收纳盒其中一面的相邻边长分别为厘米和之厘米，该收纳盒的容积为立方厘米或立方厘米或立方厘米； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$