2025年中考数学二轮复习特殊的平行四边形综合专题提升训练

2025年中考数学二轮复习 特殊的平行四边形综合专题提升训练 1．如图，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，点坐标为，直线沿轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图2所示．      (1)点的坐标为_____；点的坐标为_____； (2)求，的值； (3)在平移过程中，当直线扫过矩形部分的面积为4时，求的值． 2．在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形的“友好函数” (1)如图，矩形，轴，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”，求一次函数的解析式； (2)已知第一象限内矩形的两条边的长分别为2和4，轴，经过点D和点B的反比例函数是矩形的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标； (3)若是矩形的“友好函数”且经过A，C两点，点B的坐标为，点D的坐标为，轴． ①若的图象与矩形有且只有两个交点，求a的取值范围； ②点是图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值． 3．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，连接．    (1)如图1，平分交轴于点，交于点，直接写出点、、的坐标：（ ， ）（ ， ）（ ， ）； (2)如图1，在（1）的条件下，为的中点，求的值，并直接写出的值； (3)如图2，点从点出发沿射线运动，点从点出发沿运动，若、两点以相同的速度同时出发运动，当，时，试求出的最小值． 4．阅读理解． 如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中，，点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，过点B作交x轴于点E，连接交直线于点F，设运动时间为t秒． (1)当时，______，______； (2)当时，求运动时间t的值； (3)在运动过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 6．如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是，，，，，． (1)若以A，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______； (2)、分别是直线和上的点，若以A，，、为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为_______； (3)若直线经过点，且将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式为______． 7．如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． (1)求直线的表达式： (2)点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接． ①当时，求直线的函数表达式； ②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标． 9．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点． (1)求得____； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点是轴上方平面内的一点，以、、、为顶点的四边形为菱形时，请求出点的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点从点出发沿折线的方向运动到点停止，运动的速度为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．    (1)当点在上运动时，若点到的距离为个单位长度，求的值； (2)在点的运动过程中，用含的代数式表示点的坐标； (3)当点在线段上运动时，射线上一点（不与重合），射线上一点（不与重合），连接，，使得，求与的数量关系． 11．如图，在中，，P为边上一动点， 于点G，于点 H． (1)求证：四边形 是矩形； (2)在点P的运动过程中，的长是否存在最小值?若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图2，建立平面直角坐标系，和x轴重合，点C和坐标原点重合，若四边形是平行四边形，直接写出点D的坐标． 12．在平面直角坐标系中，矩形的边与x轴正半轴重合，点B的坐标为，且满足，与相交于点D，E为的中点，点P为线段上的一点，连接，点A关于直线的对称点为点，连接．    (1)请直接写出点B的坐标，并求出直线的解析式； (2)求线段长度的取值范围； (3)若直线与相交于点Q，在x轴负半轴有一动点，在y轴正半轴上有一动点，分别连接，且，请求出m与n之间的函数关系式． 13．如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为． (1)求点，，的坐标． (2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值． (3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围． 14．在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，且．点从点出发沿运动，点从点出发沿运动，点从点出发沿运动． (1)如图1，将沿折叠，点恰好落在点处，则点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)如图2，若，两点以相同的速度同时出发运动，使，求的值； (3)如图3，已知点为的中点，若，两点以相同的速度同时出发运动，连接，作于，直接写出的最大值． 15．如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若满足； (1)求点A的坐标； (2)取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长， 交x轴于点P． ①求的长； ②如图2，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．请你求出线段长度的最大值． 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，运动时间为（秒）． (1)直接写出点和点的坐标（______，______）、C（______，______）； (2)当点运动时，用含的式子表示线段的长，并写出的取值范围； (3)点，连接，在（2）条件下是否存在这样的值，使，若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移，矩形的性质，坐标与图形，函数解析式的确定等，理解题意，根据题意作出相应图象求解是解题关键． （1）根据的坐标即可求得的坐标，根据函数图象可知：当时，直线经过点，将平移个单位后得到，令，即可得出的坐标，进而求得的坐标，即可求解． （2）先求得的坐标为，则，即可得出，当直线经过点时，直线交轴于点，进而求得平移后的直线的解析式为，得出点的坐标为，即可得出 （3）过点作，过点作．得直线的解析式为，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵点坐标为，四边形是矩形，边在轴上， ∴，则， 由函数图象可知：当时，直线经过点， 沿轴的负方向平移个单位后与矩形相交于点， ∵沿x轴的负方向平移个单位后直线的解析式是：， ∴当时，， ∴点的坐标为． ∵， ∴； 故答案为：，． （2）解：令得：， 解得：， ∴点的坐标为． ∵点的坐标为． ∴， ∴当直线经过点时，； 如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点． ∵点的坐标为，点的坐标为． 设平移后的的解析式为， 将代入得：，解得． ∴平移后的直线的解析式为． 当时，得，解得． ∴点的坐标为． ∴； （3）∵矩形的面积； ∴当直线扫过矩形部分的面积为时，， 如图，过点作． 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， ∴， ∴直线的解析式为． 将代入得：，解得， ∴点的坐标为． ∴， ∴； 即， 解得：． 2．(1) (2)或 (3)a的取值范围为或； 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）分为，或，设点D的坐标为，表示点B的坐标，代入反比例函数求出x的值，即可解题； （3）①先得到点A和C的坐标，代入二次函数解析式得到顶点坐标为，然后分为和两种情况列不等式组解题即可； ②根据函数的增减性求出最大值和最小值，根据题意列方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：一次函数经过点和点， ．解得：． ； （2）解：①如图，当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D的坐标为，点B的坐标为． 矩形的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； ②如图当，时， 设点D的坐标为，则点B的坐标为． ． 解得：，（不合题意，舍去）． 点D的坐标为，点B的坐标为． 矩形ABCD的两条边的长分别为2和4， 点A的坐标为，点C的坐标为， 矩形距原点最近的顶点坐标A的坐标为； 综上，矩形距原点最近的顶点坐标为或． （3）解：①，，且轴， ，， 将A和C代入得， ，解得， 顶点坐标为， 当时，如图， 此时，解得； 当时，如图， 此时，解得， 综上，a的取值范围为或． ②由①知， ， ， 当时，最小， 当时，最大， 的最大值和最小值的差是3， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数的性质，理解“友好函数”的定义是解题的关键． 3．(1)0；；；；； (2)的值为，的值为 (3) 【分析】（1）利用矩形的性质得到，，，，得到，再利用角平分线的定义推出，得到，再利用平行线的性质得到，得到，即可解答； （2）过点作轴于点，并在的延长线上截取，过点作交的延长线于点，连接，由（1）中的结论证出和都是等腰直角三角形，结合为的中点，可得，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出点的坐标和的长，进而得出点的坐标和直线的解析式，则可得出点的坐标，再通过证明，得到，即可求解； （3）以为边向下作正方形，连接、，利用正方形的性质和勾股定理求出的长，再通过证明得到，最后利用即可求出的最小值． 【详解】（1）解：，， ，， 四边形为矩形， ，，，， ， 平分， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，，，． 故答案为：0；；；；；． （2）解：如图，过点作轴于点，并在的延长线上截取，过点作交的延长线于点，连接，    由（1）得，，， ， ，， 和都是等腰直角三角形， ，， 为的中点， ，， ，， 轴， ，轴， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，， 又， ， ， ，轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， 综上所述，的值为，的值为． （3）解：如图，以为边向下作正方形，连接、，   正方形， ，， ，， 在中，， 由题意得，， 在和中， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系、矩形的性质、等腰直角三角形的性质与判定、待定系数法求函数解析式、正方形的性质、勾股定理与最短路径问题，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，需要较强的数形结合和推理论证能力，适合有能力解决难题的学生． 4．(1)；3 (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、矩形的性质、一元二次方程，熟练掌握以上知识点，结合图形找到相似三角形是解题的关键． （1）通过证明和是等腰直角三角形，即可解答； （2）先证明，利用相似三角形的面积比是相似比的平方，可得，再证明，得到，代入数据求出的长，即可求出t的值； （3）由（2）得，可得，，根据以P、O、E为顶点的三角形与相似，且，需要分4种情况①点P在线段上，且；②点P在线段上，且；③点P在延长线上，且；④点P在延长线上，且；分别利用相似三角形对应边成比例列出方程，求出t的值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 在矩形中，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故答案为：；3． （2）解：， ， ， ，即， 又， ， 由（1）得，， ， ， 又 ， ，即， 解得：， ， 运动时间t的值为． （3）解：存在， 由题意得，， 由（2）得，， ，即， ， ， 以P、O、E为顶点的三角形与相似，且， 下面分4种情况讨论： ①当点P在线段上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； ②当点P在线段上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ③当点P在延长线上，且， 此时，即， 解得：，（负值舍去）， ， ； ④当点P在延长线上，且， 此时，即， 整理得：，无实数解，舍去； 综上所述，点P的坐标为或． 5．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点在点的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点在点的上方时，此种情况不存在；当点在点的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 6．(1)或或 (2)或或 (3) 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况分别根据平行四边形的定义求解即可； （2）设，分①当是平行四边形的边时，②当是平行四边形的对角线时，两种情况：分别求解即可； （3）如图：延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N．把将多边形分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形分割成面积相等的两部分．而M点正是矩形的中心，求得矩形的中心N的坐标，设,然后利用待定系数法求k,b即可． 【详解】（1）解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为，纵坐标为4，即； ②如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为4，即； ③如图所示，当四边形是平行四边形时，点F的横坐标为0，纵坐标为，即． 故答案为：或或． （2）解：∵P、Q分别是直线和上的点， ∴设， ①当是平行四边形的边时， ∵， ∴， ∴, ∴或， ∵或, ∴或， ∴点P的坐标为或； ②当是平行四边形的对角线时， ∵， ∴, ∴, ∴,解得， ∴点P的坐标为． 故答案为：或或． （3）解：如图，延长交x轴于点F；连接；连接，且相交于点N． ∵， ∴四边形是矩形， ∴点是的中点， ∴点M为矩形的中心，所以直线l把矩形分成面积相等的两部分． 又∵． ∴四边形是矩形，点是矩形的中心， ∴过点的直线把矩形分成面积相等的两部分． ∴直线即为所求的直线l. 设直线l的函数表达式为,则，解得， ∴所求直线l的函数表达式为． 故答案为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握平行四边形的性质、矩形的性质是解题的关键． 7．(1) (2)或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得点，点，用待定系数法可求直线AB表达式； （2）由三角形中位线定理可知是等腰三角形，分、和三种情况分别计算，即可求点E的坐标． 【详解】（1）解：由题可得点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为 （2）解：∵点、、分别是、、的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴是等腰三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴点E的坐标为或； 当时，如图，设长为a，则， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； 当时，如图，则， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的定义，一次函数的解析式，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 8．(1)，， (2)①；②点的坐标为或 【分析】（1）利用矩形的性质求出相应线段，利用点的坐标的意义解答即可； （2）①求出线段，利用等腰直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求得点的坐标，再利用待定系数法解答即可； ②利用分类讨论的思想方法分两种情况：一、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，二、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）点的坐标为， ． 矩形中， ； ． （2）①点， ． ， ． ． ， ． ． ． ． 解得：． 直线的函数表达式为：． ②设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图， 由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交． 以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切． 一、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时， 则． 设，则． ． ， ． ， 为梯形的中位线． ． ． 解得：． 经检验，是原方程的根， ； 二、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时， 则． ，，， ． ， 为梯形的中位线． ． ． 解得：． 经检验，是原方程的根， ． 综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质，待定系数法确定直线的解析式，点的坐标的特征及解直角三角形，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 9．(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质与菱形的判定与性质，矩形的性质，正确根据菱形的性质进行分类讨论求得的坐标是解决本题的关键． （1）根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图像与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， 点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点，将点代入得：， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，过点作轴于点， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 10．(1) (2)时，；时，；时， (3)或 【分析】（1）由非负数的性质得，，解得：，，由此即可解决问题； （2）分三种情形:①当时；②当时；③当时，分别表示即可； （3）结论: 或 ，分四种情形分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1），满足关系式， ，， 解得：，， ， ， 轴，垂足为， 当点到的距离为个单位长度时，， ； （2）①当时, 点在上, 此时； ②当时, 点在上, 此时，, 由于点在第四象限, 纵坐标小于, 则； ③当时, 点在上, 此时,， ； （3）当点在线段上时，分四种情况： ①如图中,, 理由如下:   轴， ， 轴， ， ， ， ； ②如图中，，理由如下:   轴， ， 轴， ， ， ， ； ③如图中, 结论: ， 理由如下：    连接， ，， ； ④如图中,结论: ，理由如下： 当在延长线上,在上, 设交于，   ，，， ， ， 综上所述，或 ． 【点睛】本题是三角形综合题，涉及图形与坐标、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 11．(1)见解析 (2)存在最小值，的最小值为 (3)D的坐标为或或 【分析】本题考查四边形综合应用，坐标与图形，勾股定理逆定理，矩形的判定与性质，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）用勾股定理的逆定理证明，根据三个角是直角的四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）连接，可得，故当最小时，最小，此时，用面积法可得答案； （3）过A作于K，求出点A的坐标，设，而，分三种情况：①若为对角线；②若为对角线；若为对角线，分别解方程组可得D的坐标为即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：在点P的运动过程中，的长存在最小值，理由如下： 连接，如图： 由（1）知，四边形是矩形， ， ∴当最小时，最小，此时， ∴， ， ∴的最小值为； （3）过A作于K，如图： 同（2）可知， ， ， 设，而， ①若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ②若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； ③若为对角线，则的中点重合， ，解得：， ； 综上所述，D的坐标为或或． 12．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的性质和绝对值非负性算出，从而得出，根据四边形为矩形，即可求出，根据待定系数法即可求出 ； （2）如图，连接，得出，勾股定理算出，根据对称可知，根据图象可得，当点P在点A 时，点在点A处，此时最大，最大为，即可求解； （3）联立解析式求出，根据，运用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵四边形为矩形， ， ， 设， ∴，解得：， ； （2）解：如图，连接，    ∵为中点， 则， ， 则对称可知， ， 当点P在点A 时，点在点A处， 此时最大，最大为， ； （3）解：如图，    联立 ，得， ， 令， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数与正比例函数交点，勾股定理，折叠的性质，矩形的性质以及绝对值的非负性等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出图象． 13．(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数解析式分别令求得的坐标，根据矩形的性质求得点的坐标； （2）根据轴对称的性质求线段和的最值，作关于轴的对称点，连接交轴于点，进而求得周长最小值为，进而勾股定理，即可求解； （3）根据题意，观察坐标系中符合题意的4个点的位置，进而根据临界位置求得的值． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为 当时，，当时， ∴，，即 ∵四边形是矩形， ∴ ∴ （2）解：如图所示， 作关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴，则的周长最小 ∵，是的交点， ∴， ∴的周长为 （3）解：如图所示， 设平移后的解析式为 当在上时， ∴， 解得：， ∵当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点 ∴ 当经过点时，，解得： 综上所述，的取值范围为 【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何图形，轴对称的性质，勾股定理求两点距离，一次函数的平移，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的非负性以及平方的非负性，即可得，，，由题意得：，．在中，，，，即可得，，即，设，则，利用勾股定理得，即可得，即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，证明得出，进而证明，，得出，，，设，则，根据勾股定理得出一元二次方程，解方程得出，进而即可求解． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，证明，可得，即点为矩形的中心，勾股定理求得，进而根据当点，，三点在一条直线上时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：， 又，， ，， ，； ，，． ，． 四边形为矩形， ，． 将沿折叠，点恰好落在点处， ，， ， ； ， 设，则， ， ， ． ． ． 故答案为：，； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作，使，连接，，如图， ，， ． 在和中， ， ， ． ， ． ，两点以相同的速度同时出发运动， ， 为等腰直角三角形， ， ， 和为等腰直角三角形， ，，， ，，为等腰直角三角形， ． 在和中， ， ， ，， ，， ． ， ， 设，则， ， ， ． 负数不合题意，舍去， ， ． （3）连接，交于点，连接，，取的中点，连接，，如图， ，两点以相同的速度同时出发运动， ． ， ． 在和中， ， ， ， 即点为矩形的中心， 点为的中点，为的中点， ． ，为的中点， ． ， 当点，，三点在一条直线上时，取得最大值， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，构造合理的辅助线，掌握矩形的性质，是解答本题的关键． 15．(1) (2)①；② 【分析】（1）由可得，，即可求解； （2）①证明，得到，可得，即可求解； ②取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【详解】（1）解：． ∴，， 解得，， 点的坐标为； （2）解：①与关于所在直线对称， ，，， 如图，连接，   ， ，， 设，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点为的中点， ； ②取的中点，连接，．   ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题主要考查算术平方根和绝对值的非负性、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、轴对称的性质及勾股定理、坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键； 16．(1)； (2)． (3)存在，秒和秒 【分析】本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质； （1）根据题意即可得到结论； （2）当点在线段上时，根据，，，得到，当点在线段上时，于是得到结论； （3）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，轴，轴 ∴，， （2）当点P在线段BA上时， 由，，可得：， ，， ； 当点在线段上时， 点走过的路程． （3）存在两个符合条件的t值， 当点在线段上时 ， ， 解得：， 当点在线段上时，    ， 解得：， 综上所述：当为秒和秒时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$