精品解析：2025届江苏省如皋市高三第三次适应性考试（三）数学试卷

2025高三适应性考试（三） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可. 【详解】，， 因为与共线，， 故选：A． 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】等比数列中，，， ，由于故，所以， 故选：D． 3. 已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，由方差公式即可求解. 【详解】由题意得，， 则新数据的方差 ， 故选：A． 4. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 5. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，结合条件可得是等边三角形，利用抛物线的性质即可求解. 【详解】因点A在C上，则，又，为正三角形， 如图，准线与轴交于点，在中，，所以， 即. 故选：B 6. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过构造平行截面展现空间想象能力，先由重心分割比例，来证明所分成的两个几何体中，有一部分是棱柱．然后利用台体体积和柱体体积公式来求解即可. 【详解】 根据，不妨设上底面边长为2，下底面边长为3， 则在正三棱台，可知上表面面积，下表面面积， 过O作分别交AB，BC于点E，F， O为的重心，， 且，则四边形为平行四边形， 且 ，同理可得且，为三棱柱， 设此正棱台高为， 则台体体积， 棱柱的体积，另一部分体积， 两部分体积之比为， 故选：B． 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象变换求出的解析式，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】因为 ， 所以， 因为与关于y轴对称，则，， ，得，， 所以的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，由复数的模长公式即可判断BC，举出反例即可判断D. 【详解】，如，，此时与无大小关系，A错． ，，，，，B对． ，，， 即， 则，，C对． 设，，此时但，D错， 故选：BC． 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过点作曲线的切线有三条 D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 【答案】AB 【解析】 【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确； 对于B中，因为函数为奇函数，关于对称， 所以函数关于中心对称，所以B正确； 对于C中，作出的大致图象，如图所示， 当时，为上凸函数，在拐点处的切线为， 它与恰交于； 当时，为上凹函数，， 过只能作的两条切线，所以C错误； 对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减； 要使有零点，则只需，解得， 当时，大致图象如下 可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误. 故选：AB． 10. 已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列具有性质 B. 若数列的前项和，则数列具有性质 C. 若数列具有性质，则常数 D. 若数列具有性质，则为等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据等差数列求和得，然后根据性质的概念判断；对于B，，然后根据性质的概念判断；对于C，性质的线性特征求得判断C；根据性质的概念得，通过构造递推式证明等差数列即可判断D. 【详解】对于C，若具有性质，则①， 交换i，j的位置②，①+②， ，C正确． 对于A，若，，对两两不等的正整数i，j，k 符合条件， 具有性质，A正确． 对于B，，取，，，， 不具有性质，B错． 对于D，令，，记为数列的前n项和，具有性质， ， ①， 时，②， ①-②， （且），而时，上式也成立 对恒成立，为等差数列，D正确. 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，母小题5分，共15分． 11. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】注意四棱台的对称性特征，利用上下底面中心连线建立方程． 【详解】上底正方形外接圆圆心，半径，下底正方形外接圆圆心，半径， 设球心O半径R， ，， 该四棱台外接球的表面积. 故答案为：. 12. 函数的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】分类讨论，去掉绝对值，利用导函数研究函数单调性和极值，进而求出最小值. 【详解】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，； 当时，，此时，此时在单调递减，且； 综上：函数的最小值为1. 故答案为：1 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用双曲线的定义结合勾股定理、余弦定理建立边长的等量关系式，整理得出的关系式，求出离心率. 【详解】 如图，由题意，令，则，，， 因为以为直径的圆过，则， 又为梯形，易知，所以， 则在中，由勾股定理可得，整理得， 因为，所以解得， 在中，由勾股定理可得， 且，则， 在中，由余弦定理可得， ， 解得，，整理得， ，即 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点． （1）求证：； （2）若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 因为，且为中点，所以， 又因为为中点，所以， 因为，所以 又因为，平面，平面， 所以面，因为面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得面，进而证得； （2）利用面面垂直的性质定理，证得面，得到为与平面所成角，得到，求得，以为中点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为面面，面面，，平面， 所以面，可得为PN与平面ABCD所成角，即， 在梯形中，由，且为中点， 可得，所以， 又因为，可得， 以为中点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 设面的一个法向量，则， 取，可得，所以， 又因为平面，所以平面的一个法向量， 则，所以二面角余弦值为 【点睛】 15. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． （1）求甲同学取球两次即终止的概率； （2）求随机变量X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ． 【解析】 【分析】（1）甲同学取球两次即终止即两次都取红球，结合题意由古典概率计算可得； （2）求出X的可能取值，由题意求出相应的概率，列出分布列，利用期望公式求解可得. 【小问1详解】 设甲同学取球两次即终止为事件A，． 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，4， ，； ， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 答：甲同学取球两次即终止的概率为，随机变量X的期望为． 16. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． （1）求证：； （2）求的取值范围． 【答案】（1）由得，即， 由余弦定理得：，即， 化简得：， 由正弦定理有：， 即，化简得：， 因为，，所以， 因为正弦函数在上单调递增，故，即. （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及两角和、差的正弦公式得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，根据为锐角三角形求出角的取值范围，即可得出的取值范围，然后利用二次函数的基本性质可求得的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，则，解得，则， 令，则目标式为，其中， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，，故， 故当时，. 因此，的取值范围是. 17. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． （1）求椭圆C的方程； （2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； （3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率和焦距列式求得，进而求得，即可得解. （2）利用两点式斜率公式得，令，则，然后利用基本不等式求解范围即可. （3）方法一：当l斜率不为0时，设直线，与椭圆方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标运算列式得，利用弦长公式求得，求出O到直线l的距离，进而求得，然后利用基本不等式求解最大值即可； 当l斜率为0时，设直线，与椭圆方程联立，利用求出，然后求出，即可得解； 方法二：由数量积的坐标运算得，即，然后设出点的极坐标，代入椭圆方程并化简得，则，结合利用对勾函数单调性求解面积的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，解得，所以， 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 由题意， 令，则， 当时，，当且仅当取等号； 当时，，当且仅当取等号； 所以或， 即的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：①当l斜率不为0时， 设直线，，，则，， ， ， ，， 所以，即， 所以，代入得， （*） ，O到直线l的距离， ， 当且仅当，即时取“=”． ②当l斜率为0时，设直线，联立， 则， 由得，解得， 所以， 综上：． 方法二：设，，，， 由， ，， 设，，其中，， 即，， ， ，而，， 当且仅当或2即，或，时，取最大值1． 18. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 【答案】（1）无极小值． （2）． （3）方法一：时，，， ，假设，，， 令，，， 在上单调递增，，对恒成立 时 ， 而，对恒成立 ． 方法二：，则， 设，， 因为，当时在单调递增，，故． 构造函数， 即在单调递增，则，故当时， 所以有，故 即． 所以，即； 故 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论函数单调性、极值即可； （2）设，，，故只需判断的符号即可； （3）由题意，证明得到，放缩即可得证. 【小问1详解】 ． 当时，在上单调递减，无极值； 当时，令易知在上单调递增；上单调递减， 无极小值． 【小问2详解】 方法一：设，不妨设， 由是其定义域上的＂等差偏移＂函数， ， 令， ，而时，，，， 即a的取值范围为． 方法二：设A，C两点的横坐标分别为，，则B点横坐标为， 由“等差偏移”函数定义知：，化简得： ， 即：，即， 令，函数，， 故，又因为，所以， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高三适应性考试（三） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 0 D. 1 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 36 B. C. D. 6 3. 已知9个数据：，，，，的均值为，方差为2，现将加入，则新数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 18 4. 已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 5. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，过A作l的垂线，垂足为．若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知正三棱台，，点O为底面，的重心，过点O，，的截面将该三棱台分成两个几何体，则这两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 8. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则下列说法正确的有（ ） A. 若则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 的对称中心为 C. 过点作曲线的切线有三条 D. 若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 10. 已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是（ ） A. 若，则数列具有性质 B. 若数列的前项和，则数列具有性质 C. 若数列具有性质，则常数 D. 若数列具有性质，则为等差数列 三、填空题：本题共3小题，母小题5分，共15分． 11. 已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为_______． 12. 函数的最小值为______． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，轴上方的两点分别在双曲线的左右两支上，梯形两底边满足，以为直径的圆过右焦点，则双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 如图，在四棱锥中，，，且，分别是的中点． （1）求证：； （2）若平面平面，直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 15. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． （1）求甲同学取球两次即终止的概率； （2）求随机变量X的分布列及期望． 16. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，面积为，满足． （1）求证：； （2）求的取值范围． 17. 已知O为坐标原点，椭圆的离心率，椭圆C的左、右焦点分别为，，焦距为．定义椭圆C上点的“和点”为． （1）求椭圆C的方程； （2）记OP，OQ的斜率分别为，，求的取值范围； （3）若直线l交椭圆C于A，B两点，点A，B的“和点”分别为，，且，求面积的最大值． 18. 定义：函数图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设． （1）讨论的极值； （2）若是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围； （3）当时，数列满足，，记前n项和为，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $