精品解析：辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与终边相同的一个角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的公式判断即可. 【详解】因为， 所以与终边相同的一个角为， 又因为都不能写成这种形式， 故选：A 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得到方程，解出即可. 【详解】因为，则，即，解得. 故选：D. 3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】由弧度制定义，该扇形的半径为， 所以该扇形的面积为. 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数值，即可判断选项. 【详解】若，则，， 若，，则， 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 5. 若向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量公式即可得解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 由，所以， 所以. 故选：C 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 7. 由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A. 12h B. 14h C. 16h D. 18h 【答案】C 【解析】 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m时长为小时． 故选：C 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设 ，，，， ， 则 ，，， ， 所以 ， ， 则 ， 故， 所以 ． 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量不能比较大小，即可判断A；根据向量相等即可判断BD；根据向量平行及零向量即可判断C． 【详解】对于A，因为向量不能比较大小，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，但与不一定平行，故C错误； 对于D，若，则，故D正确； 故选：BD． 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，准确化简、运算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B不正确； 对于C中，由，所以C不正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：AD. 11. 如图，函数部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，利用五点法作图求出，再结合正弦型函数图象与性质逐项分析判断. 【详解】对于A，观察图象，，的最小正周期，解得， 由，得，而，则， 所以，A正确； 对于B，将图象向右平移后得到函数，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确. 对于D，函数的图象对称轴为， 当与关于直线对称时，的最大值与最小值的差最小， 此时，，当为偶数时，，而， 当为奇数时，，而，最大值与最小值的差为1； 当或时， 函数在上单调，最大值与最小值的差最大， ，当或时均可取到等号， 所以最大值与最小值之差的取值范围为，D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案：． 13. 若函数的定义域为，则的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，所以的值域为， 故答案为： 14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】在中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足，且． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律即可求解； （2）根据平面向量夹角余弦的公式计算即可． 【小问1详解】 ，整理得． 【小问2详解】 ，， ． 16. （1）已知，求的值； （2）若函数，求函数的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量的集合. 【答案】（1）；（2），，. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后弦化切代入求值即可； （2）根据最小正周期公式可求解最小正周期，根据正弦型函数性质可求解函数最大值及取得最大值时自变量的集合. 【详解】（1）由题意知 ； （2）因为函数， 所以最小正周期为：， 当，即时，有最大值为， 所以函数的最大值为，此时自变量的集合为. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个的值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上的根，求的值. 【答案】（1）存在一个的值为. （2）（i）；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解（i），作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解（ii）. 【小问1详解】 存在正常数，使得是“伴随函数”. 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为. 小问2详解】 （i）由，得， 所以是周期为的函数. 由，得，所以为的一条对称轴， 当时，，所以. 所以当. （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，. 【点睛】方法点睛新定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息 — 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息 — 细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点 第三步：迁移转化 — 如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等） 第四步：计算，得结论 — 结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教B版必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 与终边相同一个角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 若向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ） A. 12h B. 14h C. 16h D. 18h 8. 已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．下列结果等于黄金分割率的值的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，函数的部分图象，则（ ） A. B. 将图象向右平移后得到函数的图象 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则_____． 13. 若函数的定义域为，则的值域为________． 14. 在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为________；若，则的值是________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足，且． （1）求； （2）求与的夹角的余弦值． 16. （1）已知，求的值； （2）若函数，求函数的最小正周期和最大值及取得最大值时自变量的集合. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）值． 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19. 我们将满足下列条件的函数称为“伴随函数”：存在一个正常数，对于任意的都有且. （1）是否存在正常数，使得是“伴随函数”？若存在，请求出一个值；若不是，请说明理由； （2）已知是“伴随函数”，且当时，. （i）求当时，的解析式； （ii）若为方程在上根，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$