精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025届高三下学期高考模拟数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题否定的规律，改变量词否定结论，找出结果. 【详解】易得全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”. 故选:C. 2. 已知集合，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算方法和复数除法的运算公式,求出复数,根据共轭复数概率和复数加减计算公式,求出模长即可. 【详解】由题意知，所以，故，故. 故选:C. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式化简已知式可求出，再由二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简即可得出答案. 【详解】由诱导公式可得，即. 所以， 故选:A. 4. 数学在生活中无处不在，如图所示，某建筑工人在施工时经常使用双面折叠人字梯，其每层的空心圆柱形梯杆宽度从上往下依次构成从小到大的等差数列，且该人字梯共有5层，第1层梯杆的宽度为37厘米，第5层梯杆的宽度为45厘米，则生产该双面折叠人字梯的所有梯杆所需同种直径原材料的总长度为（ ） A. 2米 B. 2.05米 C. 4米 D. 4.1米 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出等差数列的公差，利用求和公式计算即可. 【详解】设该等差数列，首项（厘米），，（厘米） ， 所以，计算解得厘米. 所以 （厘米）. 因为是双面折叠人字梯， 所以所需同种直径原材料的总长度为厘米米. 故选：D 5. 若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，列式求出 的范围，再利用数量积的坐标表示，结合二次函数求出范围. 【详解】依题意，，即，解得， 所以. 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过作差法比出的大小关系，在通过倒数求出与它们的大小关系即可做答. 【详解】根据换底公式,,则, 由基本不等式可知即， 因为，即， 则，可知， ，可知，所以. 综上可知. 故选：D. 7. 已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性、对称性、单调性、周期性求解即可. 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 8. 已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设椭圆：，双曲线：，由椭圆的定义、双曲线的定义可得，，再由，可得，设，利用函数的单调性可得答案. 【详解】不妨设椭圆：，双曲线：， 与的离心率分别为，， 由椭圆的定义，有：，由，故， 由双曲线的定义，有：，故， 因此，两边同时除以，有，故， 由于，故， 所以， 不妨令，， 所以原式等于，在时，单调递减，故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为巩固脱贫成果，某县引进一项种植新技术，为了了解推广新技术前后农民每亩地的净收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现推广新技术之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，推广新技术之后每年每亩地的收入Y服从正态分布，已知X的正态密度曲线的峰值高于Y，则（ ） A. B. C. D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性和两正态密度曲线的大致图象，数形结合对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，X服从正态分布，Y服从正态分布， 由正态分布的对称性可得，， 故，A正确； 对于B，X服从正态分布，Y服从正态分布， ，由A知，， 因为，故B错误； 对于C：由X的正态密度曲线的峰值高于Y， 根据正态密度曲线可知峰值越高对应方差越小，可得， 故，故C正确； 对于D：画出两正态密度曲线的大致图象，如下： 当n取较小的数时，，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（ ） A. 平面ABC B. 平面ABE C. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD D. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD 【答案】ACD 【解析】 【分析】应用线面平行的判定定理判断A；延长CD，BE交于点F，由线面垂直的性质有，而根据平面几何知识有即可判断B；取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角，判断是否存在为直角的情况，即可判断C；取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角，判断D. 【详解】由题设，平面沿翻转与平面形成一定夹角构成五面体ABCDE， 由题意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正确； 延长CD，BE交于点F，若平面ABE，平面ABE，则， 由平面几何知识易知，故CD不垂直于平面ABE，B错误； 取DE的中点G，BC的中点H，连接AG、GH、AH，则为平面ADE与平面BCD所成角的平面角， 由题意，点G可看作在平面AGH内以H为圆心，GH为半径的圆上的一点， 由于，必存在直线AG与该圆相切，存在， 显然为等腰三角形，则，都在平面内， 所以平面，平面，则平面平面BCD，故存在这样的五面体ABCDE，C正确； 取AF的中点I，连接BI、CI，则为平面ABE与平面ACD所成角的平面角， 当，即时，，即，又， 都在平面内，则平面，平面， 所以平面平面ACD，此时，故存在这样的五面体ABCDE，D正确． 故选：ACD 11. 如图，某人设计了一个实用的门把手，其造型可以看作曲线的一部分，则（ ） A. 点在C上 B. 将C在x轴上方的部分看作函数的图象，则是的极小值点 C. C在点处的切线与C的交点的横、纵坐标均为有理数 D. C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设将代入曲线方程可判断A的正误，通过的导数，然后求解的解，可判断B的正误，求出切线方程与曲线方程联立，可判断C的正误，设曲线上的点为，则到原点的距离可化简为，构造函数求出最小值与比较,可判断D的正误. 【详解】对于A，将点代入曲线方程中，得到，即，所以点在上，因此，选项A正确; 对于B，由于曲线在轴上方的部分是函数的曲线，则，当时，得到， 因此，不是的极小值点，所以，选项B是错误的； 对于C，由B中可知，， 则以为切点的切线方程为，即. 将切线方程代入曲线方程中，得到：，即， 显然是方程的根，，. 解得：或，因此，选项C正确； 对于D，设的解为，， . 当时，，单调递增， 当时，单调递减， ，， ，， 所以， 设曲线上的点为，设的解为， 则，则， 到原点的距离为， 由可得， 令， ，令，解得：， 因为，所以取， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， ， 所以当时，，,选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 【答案】67.1 【解析】 【分析】利用平均数的求解公式可得答案. 【详解】由分层抽样的平均数计算可得总样本1000名同学物理成绩的总平均分为分. 故答案为：67.1 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的通式,写出所有能得到目标项的可能,求出结果. 【详解】由题意可知,通式为 当时,求中系数即可, 则通式为当时, 可得项的系数为, 故答案为: . 14. 已知当时，，则正数a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】等价变形不等式，构造函数，利用单调性，等价于恒成立，再一次构造函数，求出最值即可得解. 【详解】因为，所以 又， 所以， 令，则 又，当时，，在上单调递增； 所以，两边同时取对数得：，即恒成立， 等价于， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求A； （2）求面积的最大值； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由余弦定理得. 即，当且仅当时取等号. 【解析】 【分析】（1）根据两角和与差的正弦公式以及二倍角公式化简求解即可； （2）由余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解即可； （3）由余弦定理结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以 ， 即. 又，则，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得. 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积. 即面积的最大值为. 【小问3详解】 略 16. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是正方形，，，，点M是棱CD的中点. （1）证明：； （2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值. 【答案】（1） 取AB的中点为N，连接MN，PN，则. 而，解得，故. ，平面PMN，平面PMN， 平面PMN，平面PMN. . （2）. 【解析】 【分析】（1）取AB的中点为N，连接MN，PN，易知、，再由线面垂直的判定及性质证明结论； （2）由（1）有平面平面ABCD，构建合适的空间直角坐标系，结合已知标注出相关点的坐标，求出对应直线、平面的方向向量和法向量，再应用向量法求目标线面角的正弦值，进而得到余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面ABCD及（1）知，平面平面ABCD， 以N为坐标原点，NB为x轴，NM为y轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，， ，，则. ，，. ，则，故. 又点P在平面内，且，故有. 则，，. 记平面PBM的法向量，则，即， 令，则，，即， 记直线PC与平面PBM所成角为. 所以，则. 即直线PC与平面PBM所成角的余弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. （1）求C的方程； （2）若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； （3）若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1） （2）0或 （3） 由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. 【小问2详解】 设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. 【小问3详解】 略 18. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）探究函数的零点个数； （3）证明：当时，；当时，. 【答案】（1） （2） 0 （3） 设函数则， 得， 设函数，可知为单调增函数，当时， 则在上，，，，单调递增，且， 所以在上，，， 则在上，，，，，单调递增， 所以在上，，，综上原命题得证. 【解析】 【分析】(1)根据函数导数的实际意义，求切线方程即可. (2)通过整体换元法，改变函数零点的求法，根据换元的范围求出方程的根，判断是否有零点. (3)构造函数，通过函数导数证明函数单调递增且过，即可证明原题. 【小问1详解】 因为，所以. 得，可得切线方程为. 【小问2详解】 由题意知，化简得 令，则，且， 所以无零点. 【小问3详解】 略 19. 设和是整数数列，若对于任意，都有，我们就称数列和为一组耦合数列. （1）若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； （2）若数列和为一组耦合数列，证明：； （3）若数列和为一组耦合数列，探究是否存在，使得对于某个，从，，…，中任取一个数，这个数是c的概率大于.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例. 【答案】（1） （2） 因为， 所以 . （3）存在，理由如下： 由（2）知，， 因为和是整数数列， 则，使得对于某个，，有， 此时 ， 所以，取此， 则， 令，则到中至少有个等于， 则从，，…，中任取一个数，这个数是的概率大于， 故存在. 【解析】 【分析】（1）由耦合数列的性质求解即可； （2）将变形为，再化简可证明； （3）由可知，令，求出从，，…，中任取一个数，这个数是的概率，即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以 ， 即或， 又因为，即，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 数学在生活中无处不在，如图所示，某建筑工人在施工时经常使用双面折叠人字梯，其每层的空心圆柱形梯杆宽度从上往下依次构成从小到大的等差数列，且该人字梯共有5层，第1层梯杆的宽度为37厘米，第5层梯杆的宽度为45厘米，则生产该双面折叠人字梯的所有梯杆所需同种直径原材料的总长度为（ ） A. 2米 B. 2.05米 C. 4米 D. 4.1米 5. 若对于向量，，满足，则称为的绝对增值向量，若为的绝对增值向量，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知椭圆Z和双曲线S的对称中心均为坐标原点，且有公共焦点，左、右焦点分别为，，Z与S在第一象限有交点A，若，则S与Z的离心率之差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为巩固脱贫成果，某县引进一项种植新技术，为了了解推广新技术前后农民每亩地的净收入（单位：万元）发生了怎样的变化，通过抽样调查后发现推广新技术之前农民每年每亩地的收入X服从正态分布，推广新技术之后每年每亩地的收入Y服从正态分布，已知X的正态密度曲线的峰值高于Y，则（ ） A. B. C. D. ， 10. 如图，在五面体ABCDE中，是边长为4的等边三角形，四边形BCDE是等腰梯形，，则（ ） A. 平面ABC B. 平面ABE C. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面BCD D. 存在这样的五面体ABCDE，满足平面平面ACD 11. 如图，某人设计了一个实用的门把手，其造型可以看作曲线的一部分，则（ ） A. 点在C上 B. 将C在x轴上方的部分看作函数的图象，则是的极小值点 C. C在点处的切线与C的交点的横、纵坐标均为有理数 D. C在y轴左边的部分到坐标原点O的距离均大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了更好地应对新高考改革以及调整日常教学，某地区教育局对该地区的三所高中的二年级学生进行了抽样调查，采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加物理学科的抽样质量测试，其中A校、B校、C校的学生人数分别为300人、500人、200人，考试结束后对这1000名同学的物理成绩进行统计，得知A，B，C三所学校的高二年级的物理平均分依次为60分、75分、58分，则这1000名同学物理成绩的总平均分为__________分. 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 14. 已知当时，，则正数a的取值范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且. （1）求A； （2）求面积的最大值； （3）证明：. 16. 如图，四棱锥中，四边形ABCD是正方形，，，，点M是棱CD的中点. （1）证明：； （2）求直线PC与平面PBM所成角的余弦值. 17. 已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. （1）求C的方程； （2）若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； （3）若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 18. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）探究函数的零点个数； （3）证明：当时，；当时，. 19. 设和是整数数列，若对于任意，都有，我们就称数列和为一组耦合数列. （1）若数列和为一组耦合数列，且，都有，且，求数列的通项公式； （2）若数列和为一组耦合数列，证明：； （3）若数列和为一组耦合数列，探究是否存在，使得对于某个，从，，…，中任取一个数，这个数是c的概率大于.若存在，请说明理由；若不存在，给出反例. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $