北京市大兴区第一中学2025届高三下学期高考适应性测试（三模）数学试题

2024-2025学年高考适应性测试（参考答案） 一、选择题 共 10小题，每小题 4分，共 40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C C C B B D A 二、填空题 共 5道小题，每小题 5分，共 25分. (11) 1 (12) 4 (13) 2  （答案不唯一） (14) 2 2 1 4 16 x y   (15) ① ② ④ 三、解答题 共 6道小题，共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 解：（1）因为 sin 2 3 sinb A a B ，由正弦定理得，sin sin 2 3sin sinB A A B ， 又  0,πB ，所以sin 0B  ，得到sin 2 3sinA A ， 又 sin 2 2sin cosA A A ，所以2sin cos 3sinA A A ， 又  0,πA ，所以sin 0A ，得到 3 cos 2 A  ，所以 π 6 A  . （2）选条件①： 2 7 sin 7 C  由（1）知， π 6 A  ，根据正弦定理知， 2 7 sin 4 77 1 1sin 7 2 c C a A     ，即c a ， 所以角C 有锐角或钝角两种情况， ABC存在，但不唯一，故不选此条件. 选条件②： 3 3 4 b c  因为 1 1 π 1 sin sin 3 3 2 2 6 4 ABCS bc A bc bc    ，所以 12 3bc  ， 又 3 3 4 b c  ，得到 3 3 4 b c ， 代入 12 3bc  ，得到 2 3 3 12 3 4 c  ，解得 4c  ，所以 3 3b  ， 由余弦定理得， 2 2 2 2 2 3 2 cos (3 3) 4 2 3 3 4 27 16 36 7 2 a b c bc A             ， 所以 7a  . 选条件③： 21 cos 7 C  因为 1 1 π 1 sin sin 3 3 2 2 6 4 ABCS bc A bc bc    ，所以 12 3bc  ， 由 21 cos 7 C  ，得到 2 21 2 7 sin 1 cos 1 49 7 C C     ， 又 sin sin(π ) sin( ) sin cos cos sinB A C A C A C A C       ，由(1)知 π 6 A  ， 所以 1 21 2 7 3 3 21 sin 2 7 7 2 14 B      又由正弦定理得， 3 21 sin 3 314 sin 42 7 7 b B c C    ，得到 3 3 4 b c ， 代入 12 3bc  ，得到 2 3 3 12 3 4 c  ，解得 4c  ，所以 3 3b  ， 由余弦定理得， 2 2 2 2 2 3 2 cos (3 3) 4 2 3 3 4 27 16 36 7 2 a b c bc A             ， 所以 7a  . (17) （本小题 14 分） 解：（Ⅰ）证明：因为 / /CD AB ， / /CF AE ，且 AB AE A 又因为 ,AB AE 平面 ABE， ,CD CF 平面CDF ，所以平面 / /ABE 平面CDF 又因为 DF 平面CDF ，所以 / /DF 平面CDF 因为 DF 平面 ADF ，平面 ADF 平面 ABE AG 所以 / /DF AG ，即 / /AG DF （Ⅱ）因为 AE 平面 ABCD ， ,AB AD平面 ABCD 所以 AE AB ， AE AB . 又 AB AD 如图，以 A为原点，分别以 AB ， AD ， AE 所在直 线为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A xyz ， 则 (0,0,0)A ， (1,0,0)B ， (2,1,0)C ， (0,1,0)D ， (0,0,1)E ， (2,1,1)F 所以 (0,0,1)CF  ， (0,1,0)AD  ， (2,0,1)DF  设平面 ADF 的一个法向量为 ( , , )x y zn ，则 0 0 AD DF       n n ，即 0 2 0 y x z     不妨令 1x  ，则 0y  ， 2z   ,所以 (1,0, 2) n 2 2 5 cos , 5| || | 5 CF CF CF        n n n 所以直线CF 与平面 ADF 夹角的正弦值 2 5 5 A B C D E F G x y z (18)（本小题 13 分） 解：（Ⅰ）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为 7 100 ， 用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的 人数为2000 × 7 100 = 140； （Ⅱ）①男教师认为“没有帮助”的概率为 2 20 = 1 10 ，记 0 分， “有一些帮助”的概率为 10 20 = 1 2 ，记 2 分， “很有帮助”的概率为 8 20 = 2 5 ，记 4 分 因为 8=4+4+0+0=4+2+2+0=2+2+2+2 所以𝑃 = 𝐶4 2( 1 10 )2( 2 5 )2 + 𝐶4 1 1 10 × 𝐶3 2( 1 2 )2 × 2 5 + ( 1 2 )4 = 1921 10000 ②𝜇0 = 7×0+45×2+48×4 100 = 2.82， 𝜇1 = 1×0+19×2+35×4 55 = 178 55 ， 𝜇2 = 6×0+26×2+13×4 45 = 104 45 ， 因为 178 55 > 2.82 > 104 45 ，所以𝜇1 > 𝜇0 > 𝜇2．（只写结论即可） (19) (本小题 15 分) 解：（Ⅰ）由题意 2a  ， 又因为经过点 3 (1, ) 2 ，所以 2 1 3 1 4 4b   ，所以 2 1b  所以椭圆M 的方程 2 2 1 4 x y  ，离心率 3 2 e  （Ⅱ）证明：设BC： 2 2y kx k   ， 1 1( , )B x y ， 2 2( , )C x y ， 由 2 2 2 2 4 4 y kx k x y       ，消去 y 可得， 2 2 2(1 4 ) 16 ( 1) 16 32 12 0k x k k x k k       则 3 0 8 k     ， 1 2 2 16 ( 1) 1 4 k k x x k      ， 2 1 2 2 16 32 12 1 4 k k x x k     ， 由 1 1 ( 2) 2 y y x x y x        得 1 1 1 2 2 M y x x y    . 同理， 2 2 2 2 2 N y x x y    则 M Nx x  1 1 1 2 2 y x y  2 2 2 2 2 y x y    1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 kx k kx k x kx k x kx k              1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 ( 2 2)( 2 ) ( 2 )( 2 2) 2 ( 2 )( 2 ) kx k x kx k x kx k kx k x kx k x kx k                上式分子部分 21 2 1 22 ( 1) (4 4 2)( ) 8 ( 1)k k x x k k x x k k        2 2 2 2 2 ( 1)(16 32 12) (4 4 2) 16 ( 1) 8 ( 1) 1 4 1 4 k k k k k k k k k k k k              2 2 2 2 4 8 3 2(4 4 2) 8 ( 1) 1 0 1 4 1 4 k k k k k k k k               故 0M Nx x  ，所以 OM ON . (20) (本小题 15 分) 解：（Ⅰ）函数 ( ) ex x t f x   的定义域为R ，求导得 1 ( ) ex x t f x      ， 当 1x t  时， ( ) 0f x  ；当 1x t  时， ( ) 0f x  ， 函数 ( )f x 在 ( ,1 )t  上单调递增，在 (1 , )t  上单调递减， 所以 max 1 1 ( ) (1 ) e t f x f t     ， 而函数 ( )f x 的最大值为 1 e ，则 1 1 e 1 et  ，解得 0t  ，所以 t 的值为 0. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， ( ) ex x f x  ， 1 ( ) ex x f x    ，则 1 ( ) em m f m    ， 于是切线 l的方程为 1 ( ) e em m m m y x m     ，即 21 e em m m m y x    ， 令 21 ( ) e e ex m m x m m g x x     ， xR ，求导得 1 1 ( ) e ex m x m g x      ， 令 1 1 ( ) ( ) e ex m x m h x g x      ，求导得 2 ( ) ex h x x    ， 当 2x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )g x 在 ( ,2) 上单调递减； x y N M C P O A B 当 2x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )g x 在 (2, ) 上单调递增， 由 2m  ，得 (2) ( ) 0g g m   ，而 1 (1) 0 em m g     ，函数 ( )g x 在R 上的图象不间断， 则存在 0 (1,2)x  ，使得 0 0( )g x  ， 且当 0x x 或 x m 时， ( ) 0g x  ，当 0x x m  时， ( ) 0g x  ， 函数 ( )g x 在 0( , )x 和 ( , )m  上单调递增，在 0( , )x m 上单调递减， 又 ( ) 0g m  ， 当 x m 时， ( ) ( ) 0g x g m  ，于是函数 ( )g x 在 ( , )m  上无零点， 0( 0)) (g g mx   ，而 2 0(0) em m g    ，函数 ( )g x 在R 上的图象不间断， 因此存在 0(0, ) ( , )n x m   ，使得 ( ) 0g n  ， 所以当 2m  时，切线 l与函数 ( )y f x 的图象有另一交点 ( , ( ))Q n f n ，且n m . (21) (本小题 15 分) 解：（Ⅰ）𝐴1是，因为 123，132，213，231，312，321 都𝐴1的子列；2 分 𝐴2不是，因为 312 不是𝐴2的子列. 2 分 （Ⅱ）𝐺(𝑘, 2) = 2𝑘 − 1，构造：1,2, ⋯ , 𝑘 − 1, 𝑘, 𝑘 − 1, ⋯ ,2,1. 2 分 证明：假设{𝑎𝑛}是(𝑘, 2) −数列，但{𝑎𝑛}的项数≤ 2𝑘 − 2， 由于{𝑎𝑛}的每一项都属于{1,2, ⋯ , 𝑘}， 所以1,2, ⋯ , 𝑘中一定存在一个数在{𝑎𝑛}中至多出现 1次. 根据条件②，1,2, ⋯ , 𝑘中每一个数在{𝑎𝑛}中都至少出现 1 次， 故不妨设 k 在{𝑎𝑛}中恰好出现 1次， 由于 k 的左边必须有1,2, ⋯ , 𝑘 − 1，k 的右边也必须有1,2, ⋯ , 𝑘 − 1， 所以{𝑎𝑛}的项数≥ 1 + 2(𝑘 − 1) = 2𝑘 − 1，矛盾. 3 分 （Ⅲ）用数学归纳法证明。容易验证𝐺(2,2) = 3满足不等式. 假设𝑘 = 𝑖(𝑖 ≥ 2)时不等式成立，即𝐺(𝑖, 𝑖) ≥ 𝑖2+3𝑖−4 2 ， 下证：当𝑘 = 𝑖 + 1时，𝐺(𝑖 + 1, 𝑖 + 1) ≥ (𝑖+1)2+3(𝑖+1)−4 2 = 𝑖2+5𝑖 2 . 事实上，任取一个(𝑖 + 1, 𝑖 + 1) − 数列，分为下列两种情形： （i）若存在某个数在数列中只出现一次，不妨设为1， 由于{1,2, ⋯ , 𝑖 + 1}的所有末位是1的排列， 去掉1之后，得到{2,3, ⋯ , 𝑖 + 1}的所有排列， 因此1之前的项数一定不小于𝐺(𝑖, 𝑖)， 同理，1之后的项数也不小于𝐺(𝑖, 𝑖). 故𝐺(𝑖 + 1, 𝑖 + 1) ≥ 2𝐺(𝑖, 𝑖) + 1 ≥ 𝑖2 + 3𝑖 − 3 ≥ 𝑖2+5𝑖 2 . 3 分 （ii）如果每个数都至少出现两次，考虑首次出现时对应项数不小于𝑖 + 1的数， （因为总共有𝑖 + 1个数，这样的数一定存在） 不妨设为1，则该项前面至少还有𝑖项，该项之后至少还有一项为1. 由于{1,2, ⋯ , 𝑖 + 1}的所有首位是1的排列， 去掉1之后，得到{2,3, ⋯ , 𝑖 + 1}的所有排列， 因此该项之后的项，除去等于1的项之后，项数不小于𝐺(𝑖, 𝑖)， 所以𝐺(𝑖 + 1, 𝑖 + 1) ≥ 𝐺(𝑖, 𝑖) + 𝑖 + 2 = 𝑖2+3𝑖−4 2 + 𝑖 + 2 = 𝑖2+5𝑖 2 . 综上，𝑘 = 𝑖 + 1时，不等式成立. 从而由数学归纳法可知，原不等式成立. 3 分 第 1页 （共 8页） 2024-2025学年高考适应性测试 一、选择题 共 10小题，每小题 4分，共 40分。 （1）已知集合 { |1 0}A x x   ， { 1,0,1,2,3}B   ，则 A B （ ） (A) { 1,0} (B) { 1,0,1} (C) {2,3} (D) {1,2,3} （2）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递减的是（ ） （A） 2logy x （B） 2 xy  （C） 1y x  （D） 3y x （3）设   20 1 21 n n nx a a x a x a x      ，若 2 3a a ，则n （ ） （A）5 (B)6 （C）7 （D）8 （4）已知 2 3a  ， 2log 5 b ，则 2 a b 的值为（ ） （A）15 （B） 5 3 （C） 3 5 （D） 2 （5）已知点 ( , )P x y 是准线为 l的抛物线 2 4x y 上一动点， PM l 于点M ，点 )0,22(Q ，则 PM PQ 的最小值是（ ） （A） 1 (B) 2 （C） 3 （D）4 （6）已知函数 2 2( ) cos sinf x x x  ，则函数 ( )f x 的最小正周期为（ ）. （A） 4  （B） 2  （C） （D） 2 （7）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的 AI算力需求 呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行 155 10 4  次运算，用它处理一段自然语言的翻 译，需要进行 1282 次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据： lg2 0.301 ， 0.43110 2.698 ）（ ） （A） 222.698 10 秒 （B） 232.698 10 秒 （C） 242.698 10 秒 （D） 252.698 10 秒 （8）已知数列{ }na 为 穷 等比数列， nS 为 前 n 为和和，“存在 1 0M 为，对于任意的 N*n 为， 第 2页 （共 8页） 1| |na M ”是“存在 2 0M ，对于任意的 N*n ， 2| |nS M ”的 （ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）已知 O的半径为 1，直线 PA与 O相切于点 A，直线 PB与 O交于 B，C两点，D 为 BC的中点，若 2PO  ，则 PA PD 的最大值为（ ） （A） 1 2 2 + （B） 1 2 2 2  （C）1 2 （D） 2 2 二、填空题 共 5道小题，每小题 5分，共 25分. (11) 若复数 i ( ) 1 i a a    R 是纯虚数，则a ________． (12) 过点 (1,1)的直线与圆 2 2( 2) ( 3) 9x y    相交于 ,A B两点，则 | |AB 的最小值为_____. (13) 已知函数 ( ) cos2f x x ，若 ( ) ( )f x a f x   对任意 xR都成立，则满足条件的一个实数 a的 值是________． (14) 设 1 2,F F 为双曲线 2 2 2 2 : 1( 0, 0) x y C a b a b     的左、右焦点，且直线 2y x 为双曲线 C 的一条 渐近线，点 P为C上一点，如果 1 2| | | | 4PF PF  ，那么双曲线C的方程为________． (15) 已知 na 是各和均为正数的穷 数列，前 n和和为 nS ，且   *1 1 1 n n n N a S    给出下列四个结论： ① 2 1a a ； ② na 各和中的最大值为 2； ③ *k N  ，使得 1ka  ； ④ *n N  ，都有 1.nS n  前中所有正确结论的序号是__________. 第 3页 （共 8页） 三、解答题 共 6道小题，共 85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (16) （本小题 13分）在 ABC△ 中， sin2 3 sinb A a B . （Ⅰ）求∠A； （Ⅱ）若 ABC△ 的面积为3 3，再从条件 ①、条件 ②、条件 ③这三个条件中选择一个作为 已知，使△ABC存在且唯一确定，求 a的值. 条件①： 2 7 sin 7 C ； 条件②： 3 3 4 b c ； 条件③： 21 cos 7 C . 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分． 第 4页 （共 8页） (17) （本小题 14分）如图，矩形 ACFE， 1AE  ，平面 ACFE 平面 ABCD， / /AB CD， 90BAD  ， 1AB  ， 2CD  ， 1AD  ,平面 ADF与棱 BE交于点G . （Ⅰ）求证： / /AG DF ； （Ⅱ）求直线CF与平面 ADF夹角的正弦值. A B C D E F G 第 5页 （共 8页） (18)（本小题 13分）某地区教育研究部门为了解当 本地区中小学教师在教育教学中运用 人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区 2000名中小学教师中随机抽取 100名 进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识， 得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． （Ⅰ）估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； （Ⅱ） 对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记 0分，“有一些 帮助”记 2分，“很有帮助”记 4分． ①从该地区男教师中抽取 4名教师，求这 4名教师得分总和为 8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这 100名教师得分的平均值记为𝜇0，前中年龄在 40岁以 下 （含 40岁）教师得分的平均值记为𝜇1 ，年龄在 40岁以上教师得分的平均值记为𝜇2 ， 请直接写出𝜇0, 𝜇1, 𝜇2 的大小关系．（结论不要求证明） 第 6页 （共 8页） (19) (本小题 15分) 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y M a b a b     经过点 3 (1, ) 2 ，且右顶点为  2,0A . （Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率； （Ⅱ）过点 ( 2,2)P  的直线与椭圆M 交于不同两点 ,B C（均不是椭圆顶点），直线 AB， AC分别与直线OP交于点M 、N ，求证： OM ON . 第 7页 （共 8页） (20) (本小题 15分) 已知函数 ( ) ( ) ex x t f x t   R 的最大值为 1 e ，设函数 ( )y f x 的图象在点 ( , ( ))P m f m 处的切线为 l． （Ⅰ）求 t的值； （Ⅱ）证明：当 2m  时，切线 l与函数 ( )y f x 的图象有另一交点 ( , ( ))Q n f n ，且n m . 第 8页 （共 8页） (21) (本小题 15分)给定正整数𝑘, 𝑚，前中2 ≤ 𝑚 ≤ 𝑘，如果有限数列{𝑎𝑛}同时满足下列两个条 件，则称{𝑎𝑛}为(𝑘, 𝑚) −数列. 记(𝑘, 𝑚) −数列的和数的最小值为𝐺(𝑘, 𝑚). 条件①：{𝑎𝑛}的每一和都属于集合{1,2, ⋯ , 𝑘}； 条件②：从集合{1,2, ⋯ , 𝑘}中任取𝑚个不同的数排成一列，得到的数列都是{𝑎𝑛}的子列. 注：从{𝑎𝑛}中选取第𝑖1项、第𝑖2项、…、第𝑖𝑠项(𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖𝑠)形成的新数列𝑎𝑖1，𝑎𝑖2，…， 𝑎𝑖𝑠称为{𝑎𝑛}的一个子列． （Ⅰ）分别判断下面两个数列，是否为(3,3) −数列，并说明理由； 数列𝐴1：1,2,3,1,2,3,1,2,3； 数列𝐴2：1,2,3,2,1,3,1. （Ⅱ）求𝐺(𝑘, 2)的值； （Ⅲ）求证：𝐺(𝑘, 𝑘) ≥ 𝑘2+3𝑘−4 2 .