第24章 圆 单元测试2025-2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上 第24章 圆 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在圆内接四边形中，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形对角互补，直接求出即可． 【解答】解：圆内接四边形中，， ． 故选：． 2．如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】利用圆周角定理以及三角形的外角的性质解决问题． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 3．如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置　　 A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 【分析】因为是的平分线，所以，所以，则，所以弧等于弧，所以．从而可得出答案． 【解答】解：连接，是的平分线， ， 又， ， ， ， 又， ， ， ． 点是线段垂直平分线和圆的交点， 当在上运动时，点不动． 故选：． 4．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质证得，在根据圆周角定理求出即可． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故选：． 5．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 6．如图，四边形是的内接四边形，在的延长线上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】设，则，再由圆内接四边形的性质得出的值，进而可得出结论． 【解答】解：， 设，则． ，即，解得， ， ，， ． 故选：． 7．如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为　　 A．3 B． C．5 D．4 【分析】根据圆周角定理求出，，等量代换求出，进而求出，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8．如图，△是的内接三角形，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由圆周角定理求出的度数，再由三角形内角定理和等腰三角形的性质求出的度数；根据平行线的性质得到的度数，最后根据计算的度数即可． 【解答】解：如图，连接． ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 9．如图，四边形内接于，，，垂足为．若，，则的长是　　 A． B． C． D． 【分析】过作于，根据等腰三角形的性质得到，，过作交的延长线于，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：过作于， ， ，， ， ， 过作交的延长线于， ， ， △△， ，， ， △△， ， ， 设，， ， ， ． 故选：． 10．如图，点是△的内心，的延长线和△的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中不一定正确的是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【解答】解：是△的内心， 平分， ， 故①正确； 如图1，连接，， 是△的内心， ， ， ， ， 故②正确； 如图2，设该圆的圆心为，连接，，，， ， ， ， 点为的中点， 一定在上， ， 故③正确； 平分， ， ， ， ， ， 若，则，显然不可能， 故④错误， 综上所述，不一定正确的是④． 故选：． 11．如图，在平行四边形中，以对角线为直径的圆分别交，于点，．若，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，根据圆周角定理可知是直角三角形，利用勾股定理即可求出的长；易证，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【解答】解：如图，连接，． ，， ， 是直径， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 12．如图，为的内接四边形，且平分，与相切．若，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据平分，由角平分线定理得，可得，根据与相切可得，证明，对应边成比例即可求出结论． 【解答】解：平分， 由角平分线定理可知：， ， 与相切 ， ， ， ， ． 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为　　． 【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，然后通过解直角三角形求得线段、的长度，最后将相关线段的长度代入． 【解答】解：如图，假设线段、交于点， 是的直径，弦， ， 又， ，， ，， ． 故答案为：． 14．如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是 　　． 【分析】根据圆周角定理可求出的大小，再根据切线的性质，可得出，最后利用三角形内角和定理即可求出的大小． 【解答】解：， ， 是切线， ，即， ． 故答案为：． 15．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 　　． 【分析】根据垂径定理求出，，则，解直角三角形求出，据此即可得解． 【解答】解：如图， ，是的直径， ，， ， 在中，，， ， ． 16．如图，直角三角板的锐角顶点落在上，其中，边、分别与交于、两点，连接，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留． 【分析】先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算即可． 【解答】解：连接，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：． 17．如图：已知的半径为6，是上一个动点，以为边按顺时针方向作正方形，是弧的中点，当在圆上移动时，的最小值是　　． 【分析】如图，连接，延长交于，连接，，．利用相似三角形的性质证明，再根据，解决问题即可． 【解答】解：如图，连接，延长交于，连接，，． 是弧的中点，是直径， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 18．如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，切半圆于点，于为点，与半圆交于点． （1）求证：平分． （2）若，，求圆的直径． 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得，则，所以，加上，从而得到； （2）连接交于，如图，利用圆周角定理得到，再证明四边形为矩形得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【解答】（1）证明：连接，如图， 为切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接交于，如图， 为直径， ， ， ， ， 易得四边形为矩形， ， ， 在中，， 即圆的直径为． 19．如图，的半径弦于，是上另一点，与相交于点，若，，． （1）求证：． （2）求长． 【分析】（1）根据垂径定理可得，可得，根据圆周角定理可得； （2）由题意可证，根据勾股定理可求，即可求的长，根据勾股定理可得的长． 【解答】证明：（1）如图，连接， ， ， ， ， （2） ，， ， ，， ， ， ， ， ， 20．如图，在中，点为直径延长线上一点，切于点、过点作，点为垂足，交于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求的直径的长． 【分析】（1）利用切线性质得，则可证明，利用平行线的性质得，加上，从而得到； （2）连接，如图，先证明为等边三角形得到，再利用平行线的性质得到，所以，然后判定为等边三角形，则，从而得到的直径的长． 【解答】（1）证明：切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接，如图， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 而， 为等边三角形， ， 的直径的长为4． 21．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 【分析】（1）由等边对等角，角平分线可证，则，进而结论得证； （2）设的半径为，则，，，由勾股定理得，，即，计算求解，然后作答即可． 【解答】（1）证明：， ， 是的平分线， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ， 的长为8． 22．如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，交于点， （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【分析】（1）连接，推出，推出，根据切线判定推出即可； （2）连接，过作于，根据，设，则，，．由勾股定理得：，证求出，得出，根据即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：过作于，连接、， 则， ， 设，则，，． 在中，由勾股定理得：， ，是直径， ， （角平分线定义）， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级上 第24章 圆 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．如图，在圆内接四边形中，，则　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，弦，相交于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．如图，为的直径，为上的一动点（不与、重合），于，的平分线交于，则当在上运动时，点的位置　　 A．随点的运动而变化 B．不变 C．在使的劣弧上 D．无法确定 4．如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，在的延长线上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．如图，四边形内接于，是的直径．若，，，则的长为　　 A．3 B． C．5 D．4 8．如图，△是的内接三角形，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 9．如图，四边形内接于，，，垂足为．若，，则的长是　　 A． B． C． D． 10．如图，点是△的内心，的延长线和△的外接圆相交于点，与相交于点．则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中不一定正确的是　　 A．① B．② C．③ D．④ 11．如图，在平行四边形中，以对角线为直径的圆分别交，于点，．若，，，则线段的长为　　 A． B． C． D． 12．如图，为的内接四边形，且平分，与相切．若，则　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为　　． 14．如图，是的直径，过上的点作的切线，交的延长线于点，若，则的度数是 　　． 15．如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 　　． 16．如图，直角三角板的锐角顶点落在上，其中，边、分别与交于、两点，连接，若的半径为1，则图中阴影部分的面积为 　　（结果保留． 17．如图：已知的半径为6，是上一个动点，以为边按顺时针方向作正方形，是弧的中点，当在圆上移动时，的最小值是　　． 三．解答题（共5小题） 18．如图，是半圆的直径，是半圆上的一点，切半圆于点，于为点，与半圆交于点． （1）求证：平分． （2）若，，求圆的直径． 19．如图，的半径弦于，是上另一点，与相交于点，若，，． （1）求证：． （2）求长． 20．如图，在中，点为直径延长线上一点，切于点、过点作，点为垂足，交于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求的直径的长． 21．如图，在中，，是的平分线，是上一点，以为半径的经过点，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求长． 22．如图，已知为直径，是的弦，的平分线交于，过点作交的延长线于点，交于点， （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$