精品解析：2025年河南省商丘市夏邑县九年级中考二模数学试题

夏邑县2025年中招第二次适应性测试 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体去掉，则下列说法正确的是（ ） A. 主视图会发生变化 B. 左视图会发生变化 C. 俯视图会发生变化 D. 三种视图都会发生变化 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. “约会哈尔滨冰雪暖世界”哈尔滨冰雪季系列主题活动开展的如火如荼．“冰雪大世界”由10万吨冰打造而成，占地面积81.67万平方米，建设规模创历史之最．其中10万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 7. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，两组数据的众数分别为、，方差分别为、，则（ ） 甲组 6 7 8 8 8 9 10 乙组 4 7 8 8 8 9 12 A. ， B. ， C ， D. ， 8. 如图所示，是的内接三角形．若则的度数等于（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是 _____． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 13. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是______． 14. 如图，热气球位于观测塔Р的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔Р的南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距____________km．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 15. 如图，在中，，，，点是中点，点是边上一动点，与关于所在直线对称，与相交于点（点不与点重合）．若为等腰三角形，则的长为_______． 三、解答题（8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 今年全市体育中考，我区体育测试抽到了跳绳这一项目．为了进一步了解某校初四学生的身体素质情况，体育老师对初四（1）班名学生进行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如图、表所示；请结合图、表完成下列问题： 组别 次数 频数（人数） 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 （1）表中的______； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这组样本数据的中位数落在第______组； （4）若初四学生一分钟跳绳次数（）达标要求是：不合格；为合格；为良；为优．根据以上信息，请你给学校或初四同学提一条合理化建议． 18. 如图，是的直径，点C在上，且，． （1）尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求扇形的面积． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，连接． （1）求反比例函数及一次函数表达式； （2）面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 20. 如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 21. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 22. 如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； （2）已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 23. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转α，得到线段，连接． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ， °； ②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明； （2）当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 夏邑县2025年中招第二次适应性测试 数学 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质先得出|-4|=4，再根据实数的大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：∵|-4|=4， ∴， ∴最小的数是-π． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负实数绝对值大的反而小． 2. 如图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体去掉，则下列说法正确的是（ ） A. 主视图会发生变化 B. 左视图会发生变化 C. 俯视图会发生变化 D. 三种视图都会发生变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据题意正确掌握三视图的观察角度是解题关键．利用组合体的形状，结合三视图可得出左视图没有发生变化． 【详解】解：将小正方体“A”去掉后，主视图的两列正方形个数依然是、，故主视图没有发生变化； 将小正方体“A”去掉后，左视图的三列正方形由、、变成、、，故左视图发生变化； 将小正方体“A”去掉后，俯视图的两列正方形个数依然是是、，故俯视图没有发生变化； 所以左视图会发生改变，主视图和俯视图不变． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项计算即可作答． 【详解】A项，，计算正确，故本项符合题意； B项，，原计算错误，故本项不符合题意； C项，，原计算错误，故本项不符合题意； D项，，原计算错误，故本项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的减法、积的乘方、同底数幂的乘法以及完全平方公式，掌握相应的运算法则及完全平方公式，是解答本题的关键． 4. “约会哈尔滨冰雪暖世界”哈尔滨冰雪季系列主题活动开展的如火如荼．“冰雪大世界”由10万吨冰打造而成，占地面积81.67万平方米，建设规模创历史之最．其中10万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：将10万用科学记数法表示为：． 故选：D． 5. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出．利用菱形性质、直角三角形边长公式求出，进而求出． 【详解】是菱形，E为AD的中点， ，． 是直角三角形，． ，， ，． ，即， ，． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形、直角三角形的性质的理解与应用能力．解题关键是得出并求得．求解本题时应恰当理解并运用菱形对角线互相垂直且平分、对角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质． 6. 对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 7. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，两组数据的众数分别为、，方差分别为、，则（ ） 甲组 6 7 8 8 8 9 10 乙组 4 7 8 8 8 9 12 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和方差，熟练掌握方差公式是解题关键．根据数据出现的次数，得到、，比较即可；再分别求出甲、乙两组的平均数和方差，即可即可． 【详解】解：甲组数据8出现了三次，次数最多， ， 乙组数据8出现了三次，次数最多， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D 8. 如图所示，是的内接三角形．若则的度数等于（ ） A. 70° B. 65° C. 60° D. 55° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定义，三角形的内角和性质，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象推出，再根据一次函数，反比例函数图象与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴y轴右侧，且与y轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数，二次函数和反比例函数图象的综合判断，熟知三个函数图象与其对应的系数关系是解题的关键． 10. 如图1，正方形的边长为4，为边的中点．动点从点出发沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，，，则当P与A，B重合时，最长，此时，而运动路程为0或4，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长为4，为边的中点， ∴，，， 当P与A，B重合时，最长， 此时， 运动路程为0或4， 结合函数图象可得， 故选C 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 不等式组的解集是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】解出每个不等式的解集，再找出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查解不等式组．解题的关键是求出每个不等式的解集，能找出不等式的公共解集． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 13. 在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．画树状图，共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设，，，分别代表交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全． 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有4种， 则两人恰好选中同一主题的概率为． 故答案为：． 14. 如图，热气球位于观测塔Р的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔Р的南偏西37°方向的B处，这时，B处与观测塔P相距____________km．（结果保留整数，参考数据：，，，，，） 【答案】128 【解析】 【分析】先在中，解直角三角形求出的长，再在中，解直角三角形即可得． 【详解】解：由题意得：，， 由两直线平行，内错角相等得：， 在中，， 在中，， 即处与观测塔相距， 故答案为：128． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 15. 如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，与关于所在直线对称，与相交于点（点不与点重合）．若为等腰三角形，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【详解】解：①当时，如解图①，作，垂足为，∵点为的中点，，∴为的中位线，∴，∵，，∴，∴；②当时，如解图②，作，垂足为，∵在中，，，∴，∵点为的中点，∴，在中，，，∵在中，，，∴；③当时，∵，∴，即点与点重合，舍去．综上所述，的长为或． 【点睛】 三、解答题（8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、整式的混合运算． （1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，再合并同类项得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 今年全市体育中考，我区体育测试抽到了跳绳这一项目．为了进一步了解某校初四学生的身体素质情况，体育老师对初四（1）班名学生进行一分钟跳绳测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，如图、表所示；请结合图、表完成下列问题： 组别 次数 频数（人数） 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 （1）表中的______； （2）请把频数分布直方图补充完整； （3）这组样本数据的中位数落在第______组； （4）若初四学生一分钟跳绳次数（）达标要求是：不合格；为合格；为良；为优．根据以上信息，请你给学校或初四同学提一条合理化建议． 【答案】（1） （2）见解析 （3）第组 （4）建议：加强跳绳训练，提高合格率和优秀率（合理即可） 【解析】 【分析】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图回去信息的能力． （1）用总人数分别减去各个小组的人数即可求出； （2）根据表格数据就可以补全频数分布直方图； （3）根据中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，解答即可； （4）根据数据的特点提出的建议合理即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，完整的频率分布直方图如图所示： 【小问3详解】 解：因为总人数为，所以由个数据而处于中间的是第和个数据的和的平均数所以应在第组， 故答案为：； 【小问4详解】 解：建议：加强跳绳训练，提高合格率和优秀率（合理即可）． 18. 如图，是的直径，点C在上，且，． （1）尺规作图：过点O作的垂线，交劣弧于点D，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，与圆的交点即为D，则即为的垂线，连接，如图即为所求； （2）连接，先判定出是等边三角形，可得，再根据，得到，根据扇形公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作的垂直平分线，交劣弧于点D，连接； 小问2详解】 如图，连接， 是的直径， ， 在中，且，， ， ， 又， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图—作垂直平分线，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，点是线段上一动点，过点作轴于点，连接． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设的坐标为，，则，再由，可得当时，． 【小问1详解】 一次函数与反比例函数的图象交于，两点， ， 反比例函数为， 把代入得，， 解得， ， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 存在， 依题意，设的坐标为，， 则的面积， ， 当时，． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，一艘测量船自西向东航行，且与海岸线平行，航线距海岸线海里．测量船在处测得海岛位于的北偏东的方向上，继续航行海里到达处，此时测得位于的北偏东的方向上，海岛在海岸线北边，不考虑其他因素，求海岛距海岸线的距离．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】约海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构建直角三角形，作航线于，设，根据三角函数求出、，得出的值，即可列出方程，解方程求出即可． 【详解】解：作航线于，设，如图： 可得：，， 则，， ， 即， 解得：， 故海岛距海岸线的距离约为海里． 21. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示： 品名 A B 进价（元/件） 45 60 售价（元/件） 66 90 （1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？ （2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元． ①请求出W与m的函数关系式； ②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】（1）2880元 （2）①；②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，购进恤衫件，购进恤衫件，列出方程组解出、值，最后求出获利数； （2）①根据条件，可列，整理即可； ②由①可知，，一次函数随的增大而减小，当时，取最大值计算出来和第一次获利比较即可． 【小问1详解】 解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，根据题意列出方程组为： ， 解得， 全部售完获利（元）． 【小问2详解】 ①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据题意，即， ， ②服装店第二次获利不能超过第一次获利，理由如下： 由①可知，， ，一次函数随的增大而减小， 当时，取最大值，（元）， ， 服装店第二次获利不能超过第一次获利． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意列出函数解析式是解本题的关键． 22. 如图，小明在距篮筐处跳起投篮，篮球的运动路径为抛物线，球在小明头顶上方处出手，在距离篮筐水平距离为处达到最大高度，并且球被投中．以小明起跳点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求球离地面的高度和距原点的水平距离之间的函数解析式； （2）已知小刚跳离地面时，最高能摸到，则当小明按照如图所示的起跳投篮出手时，小刚在小明的右边且与小明的距离在什么范围内能在空中截住球？ 【答案】（1） （2）小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）当代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在距离篮筐水平距离为处达到最大高度， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线的解析为，把代入得， ， 解得． ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得或， ∴小刚在小明的右边且与小明的距离在米之内能在空中截住球． 23. 如图，在中，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转α，得到线段，连接． （1）当点D落在线段上时， ①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是 ， °； ②如图2，当时，请判断线段与数量关系，并给出证明； （2）当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①；120，②，证明见解析 （2）或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①首先根据题意证明和是等边三角形，然后证明出，最后利用全等三角形的性质求解即可； ②首先证明出和是等腰直角三角形，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可； （2）分两种情况：当点D在线段上时，设，则，然后根据勾股定理求出，然后利用等面积法求出，进而求解；同理当点D在线段延长线上时求解即可． 【小问1详解】 解：①∵将绕点D逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②∵， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：如图3，当点D在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$