精品解析：2025年山东省临沂市沂南县中考二模数学试卷

2025年初中学业水平二轮模拟考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将115万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A. 60，30 B. 60，90 C. 90，60 D. 90，120 9. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 10. 开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请将正确的答案填在横线上． 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 12. 若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 13. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为_____． 14. 如图，在中，，D是上任意一点，连接，过C作于E，连接．若，，则的最小值为______． 15. 三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中 17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；③分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，作直线，分别交，于点． （1）判断四边形形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 18. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，标志着我国航天技术的又一次重大突破．为了激发同学们的爱国热情，某校组织了航天知识讲座，开展了航天知识竞赛，赛后随机抽取了部分八年级学生进行调查，把竞赛成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（A：；B：；C：；D：），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，完成下面的任务： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中m的值为____，等级A所在扇形的圆心角的度数为____． （3）若等级D中的12名同学的竞赛成绩如下表： 成绩/分 60 61 62 65 68 人数/名 1 1 2 3 5 求这12名同学的平均成绩． （4）小亮在这次竞赛中的成绩是79分，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断正确吗？请说明理由． 19. 某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 20. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 21. 如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点，连接、，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径，求的长． 22. 问题情境：如图1，在矩形中，，延长至点，使得、点是边上一点，且，连接，． 操作发现： （1）若，则的长为_____，的长为_____； 拓展探索： （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若分别与相交于点． ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上，请直接写出的长． 23. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平二轮模拟考试试题 数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质分别计算比较即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的数是． 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合． 结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，本选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 2025年1月17日，自然资源部中国地质调查局宣布，我国在云南省红河地区发现超大规模离子吸附型稀土矿，潜在资源达115万吨．此次发现的超大规模离子吸附型稀土矿有望成为中国最大的中重稀土矿床．将115万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：115万， 故选：A． 4. 如图所示，一个圆柱体和长方体按如图所示的方式摆放，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看到的图形，进行判断即可，注意存在看不见的线用虚线表示． 【详解】解：由图可知，主视图为： 故选B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算的知识，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式法则、积的乘方法则是解题的关键； 根据整式的运算的知识及法则，进行作答，逐项判断即可求解； 【详解】解：解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得，得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 7. 如图，“石头、剪刀、布”是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是列表法或画树状图求解随机事件的概率，先画树状图得到所有的都可能的结果数以及符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中双方出现相同手势的结果有3种，故所求概率是． 故选：B 8. 智能机器人技术迅猛发展，大大提升了生产效率．某工厂用，两种机器人来搬运货物，型机器人比型机器人每小时多搬运30千克，型机器人搬运900千克所用时间与型机器人搬运600千克所用时间相等．，两种机器人每小时分别搬运货物的重量为（单位：千克） A. 60，30 B. 60，90 C. 90，60 D. 90，120 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克，根据“A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克，则A型机器人每小时搬运千克， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A型机器人每小时搬运90千克， B型机器人每小时搬运60千克． 故选：C． 9. 如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，弦，弧之间的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据点B，找到十二等分点的第六个分点E，连接，则为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、，在证为等边三角形，根据刻度尺得出圆半径，根据圆周角定理得为直角三角形，根据勾股定理即可求出． 【详解】如图，在圆上取点E，连接，使得为圆上的直径，连接，取的中点O，连接、， C、D均为圆周上十二等分点， 占2个分点，， ， 为等边三角形， C点、D点分别与刻度1和4对齐， ，即， 由图可知：占4个分点，为直径， 占2个分点，，， ， ， 中 ， 故选：C． 10. 开学前，小强、小亮和小伟去文化用品商店购买笔和本，小强用17元买了1支笔和4个本，小亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，且本的数量不少于笔的数量，则小伟的购买方案共有（　　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元，根据小强和小亮所花费的钱数列出方程组，可求得笔和本的单价，然后设小伟购买了a支笔，b个本，接下来根据小伟的花费列出关于a、b的方程，最后求得方程的非负整数解即可． 【详解】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元． 根据题意得：． 解得：． 设小伟购买了a支笔，b个本． 根据题意得：5a+3b=48且b≥a． 当a=3时，b=11， 当a=6时，b=6． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，根据题意列出方程和方程组是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请将正确的答案填在横线上． 11. 使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________． 【答案】x≥且x≠1 【解析】 【详解】式子有意义， 则： 解得：且 故答案为且 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 12. 若x=3是一元二次方程x2﹣2x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根为_____． 【答案】x=﹣1 【解析】 【分析】由根与系数的关系，设另一个根为x，再根据两根之和为，代入计算即可． 【详解】由根与系数的关系，设另一个根为x， 则3+x=2， 解得：x=−1. 故答案为x=−1. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 13. 若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】先利用平方差公式：化简所求式子，再将已知式子的值代入求解即可． 【详解】 将代入得：原式 故答案为：20． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行化简求值，熟记公式是解题关键．另一个重要公式是完全平方公式：，这是常考知识点，需重点掌握． 14. 如图，在中，，D是上任意一点，连接，过C作于E，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，由知E在以为直径的的上（不含点C、可含点N），从而得最短时，即为连接与的交点（图中点点），长度的最小值． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴E在以为直径的的上（不含点C、可含点N）， ∴最短时，即为连接与的交点（图中点点）， 在中，，，则， ∵， ∴长度的最小值， 故答案为：． 15. 三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．找到一般规律即可解决问题．根据依次求出，，，，然后得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：当时， 第一次操作：最大数为1，操作后得到； 第二次操作：最大数为，操作后得到； 第三次操作：最大数为0，操作后得到； 第四次操作：最大数为0，操作后得到； 第五次操作：最大数为，操作后得到； 后续规律：操作进入循环，周期为3， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）先化简再求值：，其中 【答案】（1），（2）， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值和实数的混合运算； （1）先运算二次根式的乘法、负整数指数次幂、特殊角的三角函数值，然后合并计算解题； （2）先把括号内通分合并，然后把除法化为乘法，把分子、分母因式分解约分化为最简分式，再将m的值代入计算解题． 【详解】解：（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式． 17. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；③分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点，作直线，分别交，于点． （1）判断四边形形状，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 四边形是正方形，理由如下： 由作法得垂直平分平分， 垂直平分， ， ， 平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形是正方形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键； （1）先证明，从而证明四边形是菱形，进而证明结论； （2）先证明，设正方形的边长为，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ， 设正方形的边长为， ， ， 解得，即． 18. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，标志着我国航天技术的又一次重大突破．为了激发同学们的爱国热情，某校组织了航天知识讲座，开展了航天知识竞赛，赛后随机抽取了部分八年级学生进行调查，把竞赛成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（A：；B：；C：；D：），并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，完成下面的任务： （1）请补全条形统计图． （2）扇形统计图中m的值为____，等级A所在扇形的圆心角的度数为____． （3）若等级D中的12名同学的竞赛成绩如下表： 成绩/分 60 61 62 65 68 人数/名 1 1 2 3 5 求这12名同学的平均成绩． （4）小亮在这次竞赛中的成绩是79分，他认为自己的成绩应该属于中等偏上水平，你认为他的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1） 补全统计图如图： （2）10， （3）这12名同学的平均成绩为65分 （4）小亮的判断不正确 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，涉及平均数和中位数的定义，正确读懂题意，从统计图获取信息是解题的关键． （1）先根据等级D人数及占比求出总人数，再由总人数减去其余组的人数得到等级B人数，即可补全统计图； （2）由等级C人数除以总人数即可求出占比，用乘以等级A的占比即可求解； （3）由平均数的定义即可求解； （4）由中位数分析即可． 【小问1详解】 解：抽取人数为：人， 所以等级B人数为：人， 【小问2详解】 解：， ， 故答案为：10，； 【小问3详解】 解：平均成绩为：（分） 答：这12名同学的平均成绩为65分； 【小问4详解】 解：小亮成绩79分属于等级，总人数50人，等级有18人，等级有15人，共人成绩分，而中位数为第25、26 位数据的平均数，这两个位置均在分的范围内，因此，79分属于中等偏下，小亮的判断不正确． 19. 某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【答案】观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得到是等边三角形，得到的长，即观景台到雕塑的距离；在中，求出，的长，在中，利用勾股定理，求出的长，即可得到结果． 【详解】解：∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向 ∴ ∴是等边三角形， ∴； 如图，过点作于点 ∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ∴ 在中，， ∵ ∴ 在中， 答：观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 20. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，反比例函数的图象经过点C． （1）求此反比例函数的解析式； （2）在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数的图象上； （3）在（2）的条件下，连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）已知，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可； （3）首先得到点N，O，C三点共线，且，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图所示， ∵点C的坐标为，点N的坐标为， ∴点C和点N关于原点中心对称， ∴点N，O，C三点共线，且， ∴ 21. 如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点，连接、，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ⸪， ， 是的半径，且， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行四边形性质证明，再结合全等三角形性质，以及切线的判定定理，即可证明是的切线； （2）作于点，利用勾股定理求得，再结合三角形面积公式求出，利用勾股定理和等腰三角形性质进而得到，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，则，， 的半径， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形性质和判定，切线的判定定理，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 22. 问题情境：如图1，在矩形中，，延长至点，使得、点是边上一点，且，连接，． 操作发现： （1）若，则的长为_____，的长为_____； 拓展探索： （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若分别与相交于点． ①请判断和的数量关系，并说明理由； ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上，请直接写出的长． 【答案】（1）；； （2）①和的数量关系为，理由： 连接，如图， ∵将绕点D逆时针旋转，点C的对应点为G，使点F在矩形内部， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ②． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可； （2）①连接，利用旋转的性质，矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可； ②连接，过点作于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得，可得为等边三角形，于是；设，则，利用（1）的条件求得x值，进而求得． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：；； （2）①略 ②连接，过点M作于点H，如图， 由（2）①知：， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，则， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，添加适当的辅助线构造全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键． 23. 已知二次函数（是常数，且）的图象经过点和点． （1）若，求抛物线顶点坐标； （2）若存在实数，使得，且，求的取值范围； （3）当时，的值增大，的值先减小再增大，且的最大值与的最小值的差等于3，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）当时，把二次函数化为顶点式即可； （2）先计算，，用表示，进而可得，分别代入得出关于的不等式组，解不等式即可； （3）根据当时，的值增大，的值先减小再增大，可得点抛物线对称轴的左侧，点抛物线对称轴的右侧．当时，的最小值是．然后分两种情况讨论的最大值, 由该二次函数的最大值与最小值的差为3，列出方程求解． 【小问1详解】 解：若， ，顶点坐标； 【小问2详解】 把代入得： 把代入得：． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； 【小问3详解】 ∵二次函数的对称轴为， 当时，的值增大，的值先减小再增大， ∴点抛物线对称轴的左侧， 点抛物线对称轴的右侧． ∴当时，的最小值是． 若，即，的最大值是 ∴． 解得：（舍去）． 若，即，的最大值是， ∴． 综上，的值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $