精品解析：2025年四川省泸州市合江县九年级下学期学业水平第二次（5月）诊断性监测数学试题

合江县2025年春期初三学业水平第二次诊断性监测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. “辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个三棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 数据7，6，4，3，4，6的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 7. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（　　） A. B. C. 3 D. 6 8. 关于 的方程有实数根；则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是 的一部分，是的中点，连接，与弦交于点 ，连接 ， ．已知cm，碗深，则 的半径 为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 10. 已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 11. 在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线 的图象与线段有交点时，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，半径为2的 与x轴的正半轴交于点A，点B是 上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则 面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 15. 已知关于 的分式方程，若分式方程无解，则的值为__________． 16. 如图，是等边三角形的边上的动点，连接 ，将 绕点逆时针旋转，得到 ，连接 ，，若 ，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 18. 已知：如图，点， ，，在同一条直线上， ， ， ． 求证： ． 19. 化简： 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办 类主题活动．：阅读分享会； ：征文比赛； ：名家进校园；：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这 类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样共调查了__________名学生； （2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） （3）扇形统计图中“ ”所对应的圆心角的度数等于__________； （4）该校共有名学生，请你估计该校想参加“知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数． 21. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． （1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部 处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面 处后发生折射落到底部处．已知 ，直线为法线，，求 ，两点之间的距离．（结果精确到 ；参考数据：，，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 轴交于点，与 轴交于点，与双曲线的图象交于点 ，，连接 并延长与双曲线交于点，连接， ． （1）求一次函数的解析式； （2）若，求 的值． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图，是的直径， ，为圆上两点，且 ，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接 ，使得，连接，，． （1）求证： 为 的切线； （2）若点为 的中点，，，求的长． 25. 如图，抛物线 经过点，，交 轴于点 ，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得 是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2025年春期初三学业水平第二次诊断性监测 九年级 数学试卷 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：A． 2. “辽宁号”航母是中国海军航空母舰的首舰，满载排水量67500吨，数据67500用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法就是把绝对值大于10或者小于1的数表示成的形式,所以首先可以把要表示成科学记数法的数缩写到a的形式，然后乘以缩小的倍数即可． 【详解】把67500缩小到6.75缩小了10000（即）倍，所以67500用科学记数法表示为：6.75×，选项D正确． 故选D． 【点睛】本题考查科学记数法，把绝对值大于10或者小于1的数表示成的形式是解题关键． 3. 如图是一个三棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图．根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体是特征即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：它的俯视图是： ． 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用同底数幂的运算法则，合并同类项则，幂的乘方与积的乘方运算法计得到结果，即可出判断． 【详解】解：A、与 不是同类项，不能合并，故A不正确，不符合题意； B、，故B不正确，不符合题意； C、，故C不正确，不符合题意； D、，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算法则，合并同类项，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方；合并同类项，字母和相同字母是指数不变，只把系数相加减． 5. 如图，直线，将含有角的三角形板的直角顶点C放在直线m上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，过B作，则，进而，，利用求解即可． 【详解】解：过B作，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 6. 数据7，6，4，3，4，6的中位数是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大依次排序，其中位数为第三与第四个数的平均数，计算求解即可． 【详解】解：将数据从小到大依次排序为：3、4、4、6、6、7， ∴中位数为第三与第四个数的平均数， 故选B． 【点睛】本题考查了中位数．解题的关键在于熟练掌握中位数的求解． 7. 已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较长的对角线长是（　　） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个内角为60°可以判断较短的对角线与两邻边构成等边三角形，求出较长的对角线的一半，再乘以2即可得解． 【详解】解：如图，菱形ABCD，∠ABC=60°， ∴AB=BC，AC⊥BD，OB=OD， ∴△ABC是等边三角形， 菱形的边长为6， ∴AC＝6， ∴AO＝AC＝3， 在Rt△AOB中，BO＝＝＝3， ∴菱形较长的对角线长BD是：2×3＝6． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定，解题关键是熟练运用菱形的性质和等边三角形的判定求出对角线长． 8. 关于的方程有实数根；则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，求出的范围，由根与系数关系得：，将的范围代入求解即可． 【详解】解： 方程有两个实数根， ， ， 解得：， ， ， ， ． 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，熟记公式是解题关键． 9. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是 的一部分， 是的中点，连接，与弦交于点 ，连接 ， ．已知cm，碗深，则 的半径 为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出 ，，再设 的半径 为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出 即可． 【详解】解： 是 的一部分， 是的中点， ， ，． 设 的半径 为，则． 在中，， ， ， ， 即 的半径 为 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设 的半径 为，列出关于 的方程是解题的关键． 10. 已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件；正确； ②根据题意，得，整理，得， 解得，每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ，故每星期的最大利润为6125元．判断即可． 利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】设降价x元，则售价为元，每件的盈利元，每天可售出件， ①当降价为3元时，每星期可卖件； 正确； ②根据题意，得， 整理，得， 解得， 每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元； 错误； ③设每星期的利润为y元，根据题意，得 ， 故每星期的最大利润为6125元．错误． 故选C． 11. 在抛物线中，有．已知点，是平面上两点，连接，若抛物线 的图象与线段有交点时，则的取值范围是（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，涉及用参数表示函数表达式、根据函数与线段的位置关系列不等式求解参数范围．解题关键在于根据抛物线开口方向分情况讨论，通过将线段端点横坐标代入抛物线表达式，结合函数与线段有交点的条件列出不等式求解．本题可先根据已知条件，用表示出和，从而得到抛物线的表达式．然后将线段两端点的横坐标代入抛物线表达式，结合抛物线与线段有交点这一条件，分 和 两种情况讨论，列出不等式求解的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，， ∴抛物线的表达式为 ∴抛物线的对称轴为， 当 时： 抛物线开口向上，要使抛物线与线段有交点， 当时，；当时， 把代入得：， ∴， ∴，即， ∴，结合 ，此条件满足． 把代入得：， ∴， ∴，即， ∴ 当 时： 抛物线开口向下，要使抛物线与线段有交点， 当时，；当时， 把代入得， ∴， ∴，即， ∴ 把代入得， ∴， ∴，即， ∴，结合 ，此条件满足． 综上，的取值范围是或 故选：D 12. 如图，半径为2的 与x轴的正半轴交于点A，点B是 上一动点，点C为弦的中点，直线与x轴、y轴分别交于点D、E，则 面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】连接 ，取 的中点，连接，过点作于，先证明点 的运动轨迹是以点为圆心，1为半径的，设交于点，解得直线 与坐标轴的交点，即可解得的长，再由勾股定理解得 的长，证明解得的长，最后当点 与点重合时， 此时 面积的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ,取 的中点，连接，过点作于， ， ， 的运动轨迹是以点为圆心、半径为1的圆，设交于点， 直线 的解析式为， 令，得， ， 令，得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点 与点重合时， 此时 面积的最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的综合题，涉及一次函数与坐标轴的交点、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 二．填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 函数中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴ ， 故答案为 ． 14. 在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，∴能让灯泡L1发光的概率为：=．故答案为． 点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比 15. 已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为__________． 【答案】或 ##1或 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，把原方程去分母并化简后得到，根据原方程无解可得 或当时，原方程有增根，据此讨论求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当 ，即时，此时满足原方程无解； 当，即时，解得， ∵原方程无解， ∴是原方程的增根， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或 ． 16. 如图， 是等边三角形的边 上的动点，连接 ，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，连接 ，，若 ，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】延长 到 ，使，根据等边三角形的性质和旋转的性质得出，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例可得 ，，推得，，根据如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应角相等得出，得出点在的边 上运动，根据三角形的外角性质和等边对等角得出，求得，，作点 关于 的对称点，连接，根据轴对称的性质得出，，根据垂线段最短和两点之间，线段最短得出满足，，三点共线，且时，的值最小，根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形是矩形，根据矩形的对边相等和勾股定理求出的值，即可求解． 【详解】解：延长 到 ，使．如图： ∵为等边三角形， 绕点 逆时针旋转得到 ， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， 由可得， ∴， ∴， ∴点在的边 上运动， ∵，， ∴， 故，， 作点 关于 的对称点，连接， 则，， 故， 当，，三点共线时，， 当时，的值最小， 故满足，，三点共线，且时，的值最小， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 故最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的外角性质，等边对等角，轴对称的性质，垂线段最短，两点之间，线段最短，矩形的判定和性质，勾股定理等．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 已知：如图，点， ， ，在同一条直线上， ， ， ． 求证： ． 【答案】 证明：∵AF=EC， ∴AC+FC=EF+FC， 即AC=EF， ∵AB=ED，BC=DF，AC=EF， ∴△ABC≌△EDF（SSS）， ∴∠A=∠E， ∴AB∥ED． 【解析】 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△EDF，可得∠A=∠E，可证AB∥ED． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABC≌△EDF是本题的关键． 19. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 20. 为迎接第个世界读书日，营造爱读书、读好书、善读书的浓厚学习氛围，某校组织开展“书香校园阅读周”系列活动，拟举办 类主题活动．：阅读分享会； ：征文比赛； ：名家进校园； ：知识竞赛；∶经典诵读表演．为了解同学们参与这 类活动的意向，现采用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行调查（每名学生仅选一项），并将调查结果绘制成下面两幅统计图： 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这次抽样共调查了__________名学生； （2）请把这幅频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据） （3）扇形统计图中“ ”所对应的圆心角的度数等于__________； （4）该校共有名学生，请你估计该校想参加“ 知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数． 【答案】（1） （2） 补全条形统计图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、 条形统计图、求扇形统计图中圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用 的人数和所占的比例计算即可得出答案； （2）先求出 的人数，再补全统计图即可； （3）用 所占的比例乘以即可得出答案； （4）用乘以参加 和活动的学生人数所占的比例即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的学生人数：， 故答案为：； 【小问2详解】 参加 ：知识竞赛的人数有：； 【小问3详解】 “ ”所对应的圆心角的度数：， 故答案为：； 【小问4详解】 想参加“ 知识竞赛和经典诵读表演”活动的学生总人数： （人）． 21. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该校从商店购买了 A 种品牌的足球 50 个， B 种品牌的足球 25 个，共花费 4500 元，已知 B 种品牌足球的单价比 A 种品牌足球的单价高30 元． （1）求 A、 B 两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进 A、 B 两种品牌的足球 50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动， A 种品牌的足球单价优惠 4 元， B 种品牌的足球单价打 8 折．如果此次学校购买 A、 B 两种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买 B 种品牌的足球不少于 23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 （2）共有3种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球；总费用为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意，得， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为元． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 22. 如图，将高度 为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部 处．向水槽注水，水面上升到 的中点处时停止注水，光线射到水面 处后发生折射落到底部 处．已知 ，直线为法线，，求 ， 两点之间的距离．（结果精确到 ；参考数据：，，） 【答案】 ， 两点之间的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．易得、 为等腰直角三角形，四边形为矩形，分别求得及 的长度，进而求得的长度，由即可得到B，D两点之间的距离． 【详解】解：是 的中点， 为， ， 由题意可知，在中， ， ， ， ， 由题意可知，在 中， ， ， ， ， 由题可知 ，，， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 答： ， 两点之间的距离约为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点 ， ，连接 并延长与双曲线交于点，连接， ． （1）求一次函数的解析式； （2）若，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）联立反比例函数和一次函数解析式，可得，，在利用勾股定理可得值，即可求得 坐标，代入反比例函数，即可求出 值． 【小问1详解】 解：把，代入， 可得， 解得； 一次函数的解析式为 【小问2详解】 解：联立， 整理得， 直线与双曲线交于点 ， ， 点 ， 的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入， 可得， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 把代入反比例函数， 可得， 六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 24. 如图， 是的直径， ， 为圆上两点，且 ， 位于 两侧，连接交 于，点 为延长线上一点，连接 ，使得，连接， ，． （1）求证： 为 的切线； （2）若点 为 的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ． 是直径， ， ， ，， ， ， ， 半径于点， 为 的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，根据 是直径以及，可得 ，从而得到，即可求证； （2）过点 作于，设，则根据，可得，再由勾股定理可得，结合直角三角形的性质可得到，从而得到，进而得到，，，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点 作于． 是直径， ， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 点 为 的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25. 如图，抛物线 经过点，，交轴于点 ，点 是直线 上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线 于点 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在抛物线上是否存在点 ，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． （3）点 是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点 使得 是直角三角形，若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在， （3）存在，点 坐标为，，， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交 于点，作轴交 的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据 是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【小问1详解】 解：将点，代入 得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：存在点 使，理由如下： 假设存在点 使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得 ，（不合题意舍去）， 则 坐标为， ，， ， ， 存在点 使； 【小问3详解】 解：如图作轴交 于点，作轴交 的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点 的坐标为， 设，，， 当 是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点 坐标为，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $