精品解析：山东省淄博市高青县2025年九年级第二次练兵考试数学试题

2025年学业水平第二次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的计算；根据正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：； 故选：C． 2. 在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图．根据正方体、圆锥、圆柱、三棱柱的俯视图的形状进行判断即可． 【详解】解：A、正方体的俯视图是正方形，因此本选项符合题意； B、圆锥的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意； C、三棱柱的俯视图是三角形，不是正方形，因此本选项不符合题意； D、圆柱的俯视图是圆形，不是正方形，因此本选项不符合题意． 故选：A． 3. 已知，，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆用同底数幂的除法以及幂的乘方运算进行求解即可 【详解】解：∵，， ∴ 故选B 【点睛】本题考查了逆用同底数幂的除法以及幂的乘方运算，掌握同底数幂的除法以及幂的乘方运算是解题的关键． 4. 如图，在矩形 中，对角线，相交于点 ，，且，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则 ，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 小豪和小伟积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据 次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法合理的是（ ） A. 与小豪相比，小伟 次成绩的方差大 B. 与小豪相比，小伟 次成绩的极差大 C. 与小豪相比，小伟的成绩比较稳定 D. 小豪的极差为 分 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出小伟和小豪的平均数、方差、极差后进行判断． 【详解】解：∵小伟 次的平均成绩为：（分）， 极差为：（分）， 方差为：， 小豪 次的平均成绩为：（分）， 极差：（分）， 方差为：， ∴由此可知，与小豪相比，小伟 次成绩的方差小，故 不符合题意； 与小豪相比，小伟 次成绩的极差小，故 不符合题意； 与小豪相比，小伟 次成绩的方差小，所以小伟的成绩稳定，故符合题意； 小豪的极差为分，故不符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了折线统计图、极差、方差，掌握极差、方差的计算方法是解题的关键． 6. 如图，在中，，若用科学计算器求 的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，用计算器计算三角函数值，先解直角三角形得到，再根据科学计算器的计算方法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴用科学计算器求 的长的按键顺序为： ； 故选D． 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可． 【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺， 由题意得，， 故选：A． 8. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案． 由点，的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，再根据，的特点和函数的性质，可知在对称轴左侧y随x的增大而增大，由此得出答案． 【详解】解： ，， ∴点C与点B关于y轴对称； 由于A、C的图象关于原点对称，因此选项A、C错误； ， 由，可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于二次函数只有 时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 选项不正确， 故选：B． 9. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：如图所示， ∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°， ∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5， ∴∠5＝42°， 由折叠的性质可知，∠2＝∠3， ∵∠2＋∠3＋∠5＝180°， ∴∠2＝69°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形 的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点 作轴于点，过点 作于点．证明，得到，，设，则，构建方程组求解即可． 【详解】解：如图，过点 作轴于点，过点 作于点． 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， 设，则， ， 在反比例函数上， ， 解得，， ， 正方形的面积为5． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，勾股定理，反比例函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 与最接近的整数是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法求出的范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与最接近的整数是． 故答案为：2． 12. 如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则______°． 【答案】150 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质∶旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了角的和差． 根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变即可解答． 【详解】解∶以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到， 旋转前后，角的大小没有变化， 即，， ， 故答案为：． 13. 写出满足不等式组的一个整数解______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键； 先求出不等式组的解集，再确定其解集中的一个整数解即可． 【详解】解：解不等式组，得， 所以原不等式组的整数解可以是0，1，2； 故答案为：0（答案不唯一）． 14. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交于点D，若，，则的面积是______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了作图基本作图，角平分线的性质，作于 ，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：作于 ， ∵， ∴， 由作图步骤可得 为的平分线， ∵， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：5． 15. 在数轴上，点 表示原点，现将点 从 点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点 向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 【答案】1013 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第 次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点 向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第 次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 三、解答题（共8小题，共90分.请写出必要的解答过程.） 16. （1）计算：； （2）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为 的值代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减和分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再选取使分式有意义的a的值代入求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵，，且a为整数， ∴， ∴原式． 17. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度 的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 ； （2）测量教学楼顶点 视线 与地面夹角； （3）测的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部 视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度 的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 答：教学楼高度 为． 18. 在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： （1）任务一：图2所表示的方程组为_____． （2）任务二：请解你所列的方程组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图1规律，列出图2关于x，y的二元一次方程组，即可得出结论． （2）利用加减消元法，即消去x，再求出y即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得； 故答案为. 【小问2详解】 ， 得：； 把代入①得：， 解得： ， 故方程组的解为：． 19. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为 ， ， ， 四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是 级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据： ________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： （2），，； （3）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，平均数、中位数与众数、用样本估计总体，从统计图中获取数据求出中位数和众数是解题的关键． 根据乙学校测试班级有人的成绩是 级，占总人数的，可以求出乙校参加测试的总人数人，从而可知甲校参加测试的总人数为人，用减去获得 、 、 等于级的人数，可得获得 级的人数，根据获得 级的人数补全统计图； 根据平均数、中位数、众数的定义分别求出 、 、 的值即可； 利用样本估计总体，用甲校参加测试的同学中 级及以上同学占测试总人数的百分比代表全年级同学中 级及以上人数占全年级人数的百分比计算即可． 【小问1详解】 解：乙学校测试班级有人的成绩是 级， 从乙校测试班级成绩统计图中可以看出乙学校成绩是 级的占总人数的， 乙校参加测试的学生的总人数为(人)， 甲校参加测试的学生总数也是人， 甲校成绩为 级的人数为(人)， 补全甲校测试班级成绩统计图如下： ： 【小问2详解】 解：甲校参加测试的共有人，按照成绩从高到低排列第名学生应在 级， 甲校测试班级的中位数是分， 即， 乙校测试成绩获得 组的人数为(人)，获得 级的有(人)， 获得 级的有(人)，获得 级的有(人)， 乙校测试成绩的平均数为：， 乙校测试成绩中获得 级的人数最多， 乙校测试成绩的众数是， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：甲校测试成绩为 级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为 级的人数占测试总人数的， 甲校测试成绩为 级及以上的人数占测试总人数的， 利用样本估计总体，可得：甲校测试成绩达到 级及以上的人数为(人)， 答：估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有人． 20. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点， 轴于点 ，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A， 的坐标以及的面积； （3）当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）设一次函数 的图象与 轴的交点为 ，然后可得点 的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标，最后根据割补法可求解面积； （3）由（2）及函数图象可进行求解 【小问1详解】 解：∵ 轴于点 ，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 ； 【小问2详解】 解：设一次函数 的图象与 轴的交点为 ， 令 ，得， ∴点 的坐标为， 由，解得，或， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点 在对角线 上，过 点分别作 和 的垂线，垂足为 ， ，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点 为直线 上异于 ， 的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】问题发现：； 拓展探究：仍然成立．理由如下： 图1中，，， ∴， ∴， 图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 解决问题：或 【解析】 【分析】问题发现：先证，推出，利用等比的性质可得； 拓展探究：由旋转的性质可得，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 解决问题：分“点 在线段 上”和“点 在线段 延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】问题发现 解：矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， , 故答案为：； 拓展探究：略 解决问题 解：①如图3，当点 在线段 上时，连接 、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图4，当点 在线段 延长线上时，连接 、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 22. 已知：抛物线与 轴交于 、 两点(点 在点 左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为 ，与 轴的交点为 ，点 、 都在直线上， 为抛物线上第二象限内一动点且不与点 重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图，直线与相交于点 ，若以 、 、 为顶点的三角形与 相似，请求出点 的横坐标； （3）过点 的直线 与抛物线交于点 ，若，直线 是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点 的横坐标为或； （3）直线 过定点． 【解析】 【分析】（1）先求出点 坐标，再求出点 坐标，设抛物线解析式为顶点式，再代入点，解得，从而可得抛物线解析式； （2）先求出抛物线与 轴交点，，直线 的解析式为，直线的解析式为，接下来分两种情况讨论以 、 、 为顶点的三角形与相似，即①和②，再分别求解即可； （3）由，可设直线解析式为，直线解析式为，令直线与抛物线联立可得，由根与系数的关系可得，即，从而可得；同理可得，根据待定系数法可得直线 的表达式，再构造一线三垂直模型，如图所示，则，，，，易证，由相似三角形性质推得，把代入中，即，故直线 过定点． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为 ，与 轴的交点为 ，点 、 都在直线上， 当 ，则 ，， ，则，， 设抛物线解析式为顶点式， 代入点，可得， 解得， 故该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令， 可解得 或， 即，， 由待定系数法可得直线 的解析式为，直线的解析式为， ， 可能存在两种情况： ①， ， ，，， ，是等腰直角三角形， 可得，， 作轴于点 ，如图所示， ，进而可得， 则直线的解析式为， 联立与，整理得 ， 解得， 又为抛物线上第二象限内点， ； ②， 此时， 则直线的解析式为， 联立和，整理得， 解得（正值舍去）， 则． 综上，点 的横坐标为或． 【小问3详解】 解：直线 过定点，理由如下： ，设直线解析式为， 直线解析式为， 令直线与抛物线联立可得， 由根与系数的关系可得，即， 从而可得， 令直线与抛物线联立，同理可得，即， 从而可得， 根据待定系数法可得直线 的表达式为， 过点 作轴，于，于， 如图所示， 则，， ，， ， ， ， ， ， ，即， 整理可得， 把代入中， 即， 令，即，此时 ， 故直线 过定点． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的待定系数法求解析式，二次函数与一次函数的交点问题、求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程、根与系数的关系，解题关键是分类讨论及构造一线三等角模型帮助解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年学业水平第二次模拟测试题 九年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列几何体中，俯视图为正方形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 4. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，，且，则为（ ） A. B. C. D. 5. 小豪和小伟积极参加学校组织的科普大赛，如图是根据次预赛成绩绘制的折线统计图，以下说法合理的是（ ） A. 与小豪相比，小伟次成绩的方差大 B. 与小豪相比，小伟次成绩的极差大 C. 与小豪相比，小伟的成绩比较稳定 D. 小豪的极差为 分 6. 如图，在 中，，若用科学计算器求 的长，则下列按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，三点在同一函数图像上，则该函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 9. 将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ） A. 48° B. 58° C. 60° D. 69° 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形 的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 与最接近的整数是__________． 12. 如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则______°． 13. 写出满足不等式组的一个整数解______． 14. 如图，在 中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线 交 于点D，若，，则的面积是______． 15. 在数轴上，点 表示原点，现将点 从 点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点 向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第 次移动到点，当时，点与原点的距离是______个单位． 三、解答题（共8小题，共90分.请写出必要的解答过程.） 16. （1）计算：； （2）先化简：，然后从中选一个合适的整数作为 的值代入求值． 17. 八年级数学兴趣小组开展了测量学校教学楼高度 的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量学校教学楼高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）在教学楼外，选定一点 ； （2）测量教学楼顶点 视线 与地面夹角； （3）测 的长度； （4）放置一根与 长度相同的标杆，垂直于地面； （5）测量标杆顶部 视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算教学楼高度 的值． 18. 在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，已知图1所示的算筹图表示的方程组为，请认真观察思考并完成如下任务： （1）任务一：图2所表示的方程组为_____． （2）任务二：请解你所列的方程组． 19. 为了解八年级学生英语口语情况，某测试中心从甲、乙两校各随机抽取1个班级进行测试，两班人数恰好相同．测试成绩分为 ， ， ， 四个等级，其中相应等级的得分依次记为分、分、分、分，测试中心将甲、乙两所学校测试班级的成绩整理并绘制成如下统计图，已知乙学校测试班级有人的成绩是 级． 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）直接将甲校测试班级的成绩统计图补充完整． （2）补全下面的表格中的数据： ________，________，________． 学校 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲校测试班级 乙校测试班级 （3）若甲校八年级有学生人，根据以上信息，估计甲校八年级学生中测试成绩为 级及以上的学生有多少人？ 20. 如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点， 轴于点 ，且． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求一次函数与反比例函数图象的两个交点A， 的坐标以及的面积； （3）当 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 21. 综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点 在对角线 上，过 点分别作 和 的垂线，垂足为 ， ，则四边形为矩形．请问线段 与 的数量关系为______； 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点 逆时针旋转，记旋转角为 ，当时，连接 ， ，在旋转的过程中， 与 的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点 为直线 上异于 ， 的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 22. 已知：抛物线与 轴交于 、 两点(点 在点 左侧)，对称轴为直线，抛物线的顶点为 ，与 轴的交点为 ，点 、 都在直线上， 为抛物线上第二象限内一动点且不与点 重合． （1）求该抛物线的关系式； （2）如图 ，直线与 相交于点 ，若以 、 、 为顶点的三角形与 相似，请求出点 的横坐标； （3）过点 的直线 与抛物线交于点 ，若，直线 是否过一定点？若过定点，请直接写出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $