精品解析：2025年安徽省合肥市肥东县石塘学校第三次中考模拟数学试卷

2025年中考第三次模拟数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小”将所给数据按大小排序，即可求解． 【详解】解：，， 可知，，0，，其中比小的数是， 故选A． 2. 一个长方体被挖去一个几何体后的三视图如图所示，则被挖去的几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟练掌握三视图的意义是解题的关键，根据三视图可得被挖去的几何体为正方体，即可求解． 【详解】根据三视图可得被挖去的几何体的主视图，左视图和俯视图都是正方形，则被挖去的几何体为正方体， 故选：A 3. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，即的形式，，为整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 先将万变形为，再根据科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：万， 万用科学记数法表示为． 故选：A． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、幂的乘方运算以及单项式乘法，较容易，熟练掌握积的乘方以及幂的乘方运算法则是顺利解题的关键． 根据相关运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数． 【详解】∵直角三角板的直角顶点在直线上， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 6. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键；因此此题可根据列举法求解概率． 【详解】解：由题意得： 小乐随机抽取两张邮票的情况有：（惊蛰、夏至），（惊蛰、秋分），（惊蛰、冬至），（夏至、秋分），（夏至、冬至），（秋分、冬至）共6种可能，其中抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票就1种可能，所以小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是； 故选A． 7. 如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想是解题的关键． 设点A的坐标为，根据题意可得点B的坐标为，从而得到，然后根据的面积为8，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵双曲线与直线交于、两点， ∴点A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为， ∵过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， ∴． 故选：B 8. 如图，在中，，利用尺规以点为圆心，以任意长为半径画弧分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，作角平分线；由题意知，平分，结合已知可证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由作图知，平分， ； ， ， ； ， ， ， ∵， 即， 解得或（舍去）． 故选：B． 9. 实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式或不等式的运算．分别对各选项进行计算，即可判断． 【详解】若，则，，即A正确； 由得，，若，则，，即B正确； 若，则，，即C正确； 若，则，，，，即D错误． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ） A. B. 无论点E在何位置，总有 C. 若，则线段的最小值为 D. 若，的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据矩形的性质，勾股定理可得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；如图1，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理可判定B选项；根据题意，可得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据圆的基础知识，勾股定理即可判定C选项；根据题意作图，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动，当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵点E在矩形内部， ∴点E不与点A、点C重合，即，故A正确； 如图，过点E分别向矩形各边作垂线段，垂足分别为， 设，，，， ∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，故B正确； 如图， ∵， ∴， ∴E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为8．故C正确； 如图3， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至F，使， ∴，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，则点F在优弧上运动， ∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．故选项D错误． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的运用，线段最短的理解与计算，圆的基础知识的综合运用，掌握矩形的性质，最短路径的计算方法，合理作出辅助线是解题的关键． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂和立方根，原式先计算，，再计算减法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，准确列出不等式进行求解是解题的关键． 一元二次方程有两个不相等的实数根，则，把系数代入计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故答案为：． 13. 如图，在半径为3的中，点C是优弧的中点，是的直径，若，则劣弧的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，利用圆周角定理求出，的度数，进而求出的度数，证明，得出，从而可求，的度数，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，，， ， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C是优弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式等知识，求出的度数是解题的关键． 14. 如图，在矩形纸片中，，，点E是边上一点（不与点C、D重合），且的长是整数，将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点处，折痕交于点P，沿直线再折叠纸片，点C落在处，且、、P三点共线． （1）的度数__________；（2）线段的长为__________； 【答案】 ①. ##度 ②. 1或3##3或1 【解析】 【分析】设，，则，根据翻折的性质证明，可得，所以，整理得：，由题意可知，该方程有实数根，所以，解得，因为，且k为整数，，然后把代入方程即可解决问题． 【详解】解：设， 则， 由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 由题意可知，该方程有实数根， ∴，解得， ∵，且k为整数， ∴， ∴， 解得， 则线段的长是1或3． 故答案为：；1或3． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤即可解题． 【详解】解： 方程两边同乘，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 检验：当时，， 原分式方程的根为． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． （1）以点C为中心，将在网格上放大到原来的2倍，得到．点A，B对应点分别是，画出； （2）以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，画出线段； （3）填空： °． 【答案】（1） 根据位似比为2，画图如下： （2） 根据旋转的性质，画图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）根据位似比为2，画图即可． （2）根据旋转的全等性，注意旋转方向，画图即可． （3）连接，证明四边形是正方形即可． 【小问1详解】 根据位似比为2，画图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 根据旋转的性质，画图如下： 则即为所求． 【小问3详解】 如图，连接， 根据题意，得，且， ∴四边形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似比作图，旋转作图，勾股定理，正方形的判定和性质，熟练掌握位似作图，勾股定理，正方形的判定和性质是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． （1）请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? （2）为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】（1）甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 （2）甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； 【小问2详解】 解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 18. 如图： （1）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （2）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． （3）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 【答案】（1）15，5 （2）15， （3） 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解； （3）根据题意，列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， 第个图案中“★”的个数可表示为， ∴第个图案中“★”的个数是， 第个图案与第个图案中“★”的个数之差为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， 第个图案中有个◎， ∴第个图案中“◎”的个数是， 第个图案中“◎”的个数是， 故答案为：，； 【小问3详解】 由题意可得，， 整理得，， 解得：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 【答案】宝塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作垂直于点，则，则四边形是矩形，解，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作垂直于点，则 ∴四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 答：宝塔的高度约为 20. 已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． （1）如图1，若 ，求证：； （2）如图2，若，，求的半径． 【答案】（1）证明：为直径， ， ， ， ， 在和中， ， （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、圆与三角形的综合、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）利用先证得，进而可得，，设，，利用勾股定理得，，再结合，即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平分， ， 由（1）得：， 在和中， ， ， ， ，， 设，， 由勾股定理得：，， ，， ，即：， 解得：， 为直径， 的半径为。 六、（本题满分12分) 21. 某校课后延时服务开设多种特色课程，九年级开设的课程有：A、播音，B、无人机表演，C、象棋，D、羽毛球，每名同学只能选择一种课程开学初，班主任对九年级（1）班学生选课情况做了全面调查，根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）求该班学生共有多少名？ （2）求扇形统计图中表示“D课程”的扇形圆心角度数，并补全条形统计图； （3）已知“A课程”中有2名男同学和3名女同学，学校打算从他们当中选择两名同学担任毕业典礼的主持人，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选择一男一女的概率． 【答案】（1）50名 （2） ， 补全条形统计图如图； （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息综合问题，求扇形统计图圆心角度数，画树状图求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）用“A课程”的人数除以它所占的百分比即可得到全班人数； （2）用D组的所占百分比乘以360．即可得到在扇形统计图中D对应扇形的圆心角的度数，然后补全条形统计图； （3） 先画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解： （名）： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 树状图如下：（a表示男生，b表示女生） 一共有20种等可能的情况，其中一男一女的有12种， 选中的两名同学是一男一女的概率为 七、（本题满分12分) 22. 已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，抛物线（a，b为常数，）的对称轴与直线交点的纵坐标为2． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线经过点这四个点中的两个，求该二次函数的最大值或最小值； （3）P为线段上一动点，过点P作平行于x轴的直线，若该直线与抛物线交于点M，N，且点P始终在线段上，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入求出，求得，把代入，解方程即可得到结论； （2）先求出，得到，推出抛物线不经过点，得到抛物线不可能同时经过点A，D，抛物线经过点A，B或点B，D．然后排除经过点A，B的情况，于是得到该抛物线经过点B，D，将点代入，即可得到结论； （3）由（2）知，①当时，二次函数的最小值为4，于是得到过点P作平行于x轴的直线与抛物线没有交点，此时不成立；②当时，若要满足点P始终在线段上，得出求解即可． 【小问1详解】 将点代入， 得， 解得， ． 当时，， 解得， 抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 当时，， ． 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 抛物线不经过点． ∵， ∴抛物线不可能同时经过点A，D， 抛物线经过点A，B或点B，D． 若抛物线经过点，则， 解得， ． 当时，，即抛物线不经过点B． 该抛物线经过点． 将点代入， 解得， ， ∴该二次函数有最大值，最大值为4； 【小问3详解】 由（2）知， ①当时，二次函数的最小值为4， 故过点P作平行于x轴的直线与抛物线没有交点，此时不成立； ②当时，若要满足点P始终在线段上， 则有 解得， 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，解方程组，解不等式组，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 八、（本题满分14分) 23. 已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点． （1）如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE； （2）如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E的长； （3）如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，直接写出DE的值. 【答案】（1） 证明：作于，， 由题意可得， ，，， ， ， ， ， （2） （3）存在，或32或16. 【解析】 【分析】（1）作于，利用一线三垂直模型可证得； （2）作于，作于，由，从而设，，表示出，然后由，列出比例式求得结果； （3）设，表示出、和，分为，和，各列出方程，求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2， 作于，作于， ， 由（1）得：， 设， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图3， 作于，于， 设，则， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 或（舍去）， 当时， ， ， 当时， ， ， 综上所述：或32或16． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和分类，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解决问题的关键是较强的计算能力以及作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年中考第三次模拟数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回． 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的) 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 一个长方体被挖去一个几何体后的三视图如图所示，则被挖去的几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年2月，DeepSeek的日活跃用户数增长至万，突破万大关．这一数字约为ChatGPT日活跃用户数的，并成功超越了豆包的万．“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知双曲线与直线交于、两点（点在点的左侧），过点作轴垂线，过点作轴垂线，两条垂线交于点，若的面积为8，则的值为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 如图，在中，，利用尺规以点为圆心，以任意长为半径画弧分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 4 9. 实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（ ） A. B. 无论点E在何位置，总有 C. 若，则线段的最小值为 D. 若，的最大值为 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分) 11. 计算：_____． 12. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为______． 13. 如图，在半径为3的中，点C是优弧的中点，是的直径，若，则劣弧的长为__________． 14. 如图，在矩形纸片中，，，点E是边上一点（不与点C、D重合），且的长是整数，将纸片沿过点A的一条直线折叠，点B落在点处，折痕交于点P，沿直线再折叠纸片，点C落在处，且、、P三点共线． （1）的度数__________；（2）线段的长为__________； 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15. 解分式方程：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的13×12的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的． （1）以点C为中心，将在网格上放大到原来的2倍，得到．点A，B对应点分别是，画出； （2）以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段，画出线段； （3）填空： °． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17. 某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． （1）请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? （2）为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 18. 如图： （1）第个图案中“★”的个数是 ；第个图案与第个图案中“★”的个数之差为 ． （2）第个图案中“◎”的个数是 ；第个图案中“◎”的个数是 （用含的式子表示）． （3）已知第个图案与第个图案中“★”的个数之差比第个图案中“◎”的个数少，求正整数． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19. 如图，为测量公园内宝塔的高度，在距离宝塔中心处（）的一个斜坡上进行测量．已知斜坡与地面的夹角为，斜坡长，垂直于地面，在点处竖直放置测角仪，测得宝塔顶部的仰角为，量得测角仪的高为，点，，，，，在同一平面内．求宝塔的高度．（结果精确到，参考数据；，，，） 20. 已知，四边形 内接于为直径 ，与的延长线相交于点E，平分，与相交于点 F． （1）如图1，若 ，求证：； （2）如图2，若，，求的半径． 六、（本题满分12分) 21. 某校课后延时服务开设多种特色课程，九年级开设的课程有：A、播音，B、无人机表演，C、象棋，D、羽毛球，每名同学只能选择一种课程开学初，班主任对九年级（1）班学生选课情况做了全面调查，根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）求该班学生共有多少名？ （2）求扇形统计图中表示“D课程”的扇形圆心角度数，并补全条形统计图； （3）已知“A课程”中有2名男同学和3名女同学，学校打算从他们当中选择两名同学担任毕业典礼的主持人，请你用列表或画树状图的方法，求出正好选择一男一女的概率． 七、（本题满分12分) 22. 已知在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，抛物线（a，b为常数，）的对称轴与直线交点的纵坐标为2． （1）求抛物线的对称轴； （2）若该抛物线经过点这四个点中的两个，求该二次函数的最大值或最小值； （3）P为线段上一动点，过点P作平行于x轴的直线，若该直线与抛物线交于点M，N，且点P始终在线段上，求a的取值范围． 八、（本题满分14分) 23. 已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点． （1）如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE； （2）如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E的长； （3）如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，直接写出DE的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $