第十七章 勾股定理 本章小结-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

本章小结 考点1勾股定理及其应用 5.数学活动课上，将底边长为12的等腰三角 1.如图，在勾股定理的学习过程中，我们已经 形（如图①）剪成如图②所示的三个直角三 学会了运用这些图形验证著名的勾股定理. 角形，这三个直角三角形按如图③所示的方 这种根据图形直观推论或验证数学规律和 式进行拼搭.若B,C,M,H四点处在同一直 公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它 线上，且点C与点H重合，点A与点F重 也可用于验证数与代数、图形与几何等领域 合，点D恰好在AC与GM交点处，则AB 中的许多数学公式和规律，它体现的数学思 的长是 想是 1()E A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想 C BM C( 围② 图③ 第5题园 6.(2024南昌西湖区期中)将两个 直角三角板按如图所示的方式 第1题围 第2题图 摆放，点C在EF上，AC经过 2.(2024驻马店确山期末)如图，在平面直角坐 点D.已知∠A=∠EDF=90°， 标系中，点A的坐标为(6,4)，以点O为圆 AC=DE=6.∠E=30°，∠B=第6题图 心，OA的长为半径画弧，交x轴的正半轴于 45.若点C在线段EF上运动（不与点E,F 点B,则点B的横坐标介于 重合)，在运动的过程中，AC始终经过点D, A.5和6之间 B.7和8之间 当CD的长为整数时，B,D之间的距离为 C.10和11之间 D.8和9之间 3.直角三角形的两边长m,n满足m2十 7.如下图，一辆小汽车在一条城市街道上匀速 √2n一8一6m=一9，则第三条边长是( 直行，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正 A.5 B.5或7 前方30m的点C处，过了2s后，小汽车行 C.4或7 D.4 驶至点B处，此时小汽车与观测点间的距离 4.已知两边和其中一边的对 AB为50m.若规定行驶速度不得超过 角对应相等的两个三角形 70km/h,则这辆小汽车是否超速？ 不一定全等.如已知在 小汽 小汽车 △ABC中，∠A=30°，AC 第4题图 =3,∠A所对的边的长为√3，满足已知条件 观澜点 的三角形有两个（我们发现其中如图所示的 △ABC是一个直角三角形)，则满足已知条 件的三角形的第三条边长为 ( A.23 B.23-3 C.2√3或3 D.23或23-3 数学八年级RJ版 8.如右图，有人在岸上点C处用 (2)若台风中心移动的速度为20km/h,求 绳子拉船靠岸，开始时，绳长 台风影响该海港持续的时间 、B CB=20m,CA⊥AB且CA= 12m,拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶 到点D后，绳长CD=122m (1)试判定△ACD的形状，并说明理由： (2)求船体移动距离BD的长度. 考点2勾股定理的逆定理及其应用 考点3命题 9.(2024河池凤山期末)如图，A 11.下列四个命题中，是假命题的是() 在四边形ABCD中，若AB= A.在△ABC中，如果满足AB+BC= 3,BC=4,CD 1,AD=B 第9题国 AC,那么∠C=90 26,∠B=90°，则四边形 B.在Rt△ABC中，如果两直角边长分别为 ABCD的面积为 6和8，那么斜边长为10 10.台风是一种自然灾害， ↑北 C.在△ABC中，如果∠A:∠B:∠C=1: 它以台风中心为圆心 5:6,那么△ABC是直角三角形 在周围上千米的范围 D.在△ABC中，如果a:b:c=1:√3：2， 内形成极端气候，有极强的破坏力.如上 那么△ABC是直角三角形 图，有一台风中心沿东西方向由点A向点 12.命题“直角三角形中的两个锐角互余”的逆 B移动，已知点C为一海港，点C与A,B 命题是 两点的距离分别为300km和400km,且 ,这个逆命题是 命 AB=500km,以台风中心为圆心，周围 题（填“真”或“假”） 250km以内为受影响区域. (1)请通过计算说明海港C受台风影响的 理由： 下册第十七有10.解;(1)如图,出发3s时,CC.-12m,BB-9m. “.AM-2.MN-4.BN-2/3. .AC-40m.AB-30 m.'AC -28m.AB -21m $AM+BN-2+(23 -4+12-16,MN-4-16 $BC-AC+AB -28+21=35(m 'AM+BN-MN. .35 25.·出发3s时,遥控信号不会产生相互干扰 '.以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形, '.M.N是线段AB的“勾股分割点”. (2)设BN-r(x>0). .AB-12.AM-5. 两, *MN-AB-AM-BN-12-5-r-7-. .M,N是线段AB的“勾股分割点”,且AM为直角边. (2)设出发1s时,两赛车距点A的距离之和为35m. ·分以下两种情况讨论: 根据题意,得40-41+30-31-35,解得1-5. ①若MN为斜边,则AM+BN*-MN. .40-41-20,30-31-15. 解得-2 即5+r”-(7-x). 此时两赛车之间的距离为v20+15-25(m). 故当两赛车距点A的距离之和为35m时,遥控信号会产生 相互干扰. ②若BN为斜边,则AM+MN?-BN. 第3课时 勾股定理的作图与计算 即5+(7-r)-r. 1.B 2.B 3.-2 4.D 5.25 6.A 7.D 8.3v② 综上所述,BN的长为12)或{}. 9.C10. 1114 本章小结 12.解:(1)如图①所示,△ABC即为所求. 1.C 2.B3.B4.C 5. (2)如图②所示,△DEF即为所求(答案不唯一). 6.35或210或37 (3)如图③所示,正方形PQRS即为所求. 7.解:由勾股定理,得BC=AB-AC=50-30-4$ (m). 40m-0 04km,2 s-1800h:0. 04 1.800-72(km/b). .*7270...这辆小汽车超速了. ③ 图① 图② 8.解:(1)入ACD是等腰直角三角形,理由如下: 13.解;在Rt△PFH中,FH-PF+PH-8+6-10$$ 由题意,得AC-12m,CD-122m. CAD-90。 'BC-BF+FH+CH-PF+FH+PH=8+10+6-24. *.AD-CD-AC-12m...AD-AC.故△ACD是等腰 直角三角形. 10 (2):AC-12m.BC-20m. CAB-90. *Scn-24×4.8-115.2. $AB=BC-AC=16m,则B$D=AB-AD-16- 2 14.解:(1)AC+CE-V(8-r)+25+V+1. 4(m). (2)当A.C.E三点共线时,AC十CE的值最小. 故船体移动距离BD的长度为4m. (3)v+4+(12-x)+9的最小值为13. 9.6+V 勾股定理的逆定理 17.2 10.解:(1)如图,过点C作CD)AB于点D. 1.C 2. B 3. D 4. D 5.24 6.C 7.D 8.96 ·AC-300 km,BC-400 km.AB-500 km. 9.证明:在△ABC中,ABBC,根据勾股定理,得AC一AB ..AC+BC*-AB. +BC-1+2-5. ..△ABC是直角三角形,且 ACB一90{。 “在△ACD中,AC+CD-5+4-9.AD-9. .'S= AC·BC-AB·CD. .AC+CD=AD. '.根据勾股定理的逆定理,AACD为直角三角形,且/ACD $.CD-AC·BC300×400_240(km). AB -90. 500 .ACICD. ·250240...海港C受台风影响. 10.D 11.A 12.13 13.(1.0)或(3.1)或(2,3) 北 14.解:该推车符合设计要求,理由如下: . ADB-9o*,AD-16dm,AB-18 dm. 'BD=AB-AD-18-16-217(dm). .BC-2dm.CD-8dm. (2)如图,设台风中心在点E,F处时正好影响海港C,即EC ..BC+CD-68-BD. -FC-250 km. .△BCD是直角三角形,且BCD-90*. 在Rt△CED中,由勾股定理,得ED一EC一CD- .BC1CD...该推车符合设计要求. 250-240-70(km). 15.解;(1)M,N是线段AB的“勾股分割点”,理由如下; *EF-2ED-140 km 数学年级RJ版 ·台风中心移动的速度为20km/h; .△AOECOF(ASA). '140+20-7(h). .AF-CF. 故台风影响该海港持续的时间为7h. 5.C 6.C 11.A 12.两个锐角互余的三角形是直角三角形 真 7.解:在ABCD中,AD-8,AB-10 平行四边形 第十八章 :BDAD. 平行四边形 18.1 $B$D-AB-AD-10-8-6 $ 18.1.1 平行四边形的性质 ·四边形ABCD是平行四边形: 第1课时 平行四边形的边、角特征 0 $OB-BD-3.S-M-AD·BD-8$6-48 1.C 2.A 3.C 4.证明:·'四边形ABCD是平行四边形, 8.C 9. B 10.C 11.123 12.8 ..AB//CD.AB-CD. 13.证明;(1)·四边形ABCD是平行四边形, '. BAE- DCF. *AO=CO.BO-DO. [AB-CD. .AE BD.CF 1BD. 在△ABE和△CDF中,BAE一DCF, '. AFO-CFO-90”。 AE-CF. 又:AOE-乙COF. '.△ABE△CDF(SAS)..'BE-DF '.△AEO2△CFO(AAS). 5.A. (2)△AEO△CFO.'OE=OF. 6.(1)PAB 同底等高的两个三角形的面积相等 ·BO=DO.'$BO-OE-DO-OF,即BE-DF$ (2)PAC与\PBC,OAC与OBP 14.解:(1)蔬菜地和药材地的面积一样大。 7. B 8.D 9.5 10.10 11.20 cm或22cm 理由:过点O作OH1AD于点H,延长HO交BC于点G. 12.解:(1)·四边形ABCD是平行四边形, 如图①. '.AD//BC...AEB= CBE. .四边形ABCD是平行四边形, :BE平分乙ABC. ..AD/BC.AD-BC. .ABE- CBE. :GHAD...GHIBC. ' ABE- AEB.$AB-AE-10. $$+S=AD·OH+BC· G-AD·GH$$ (2)·四边形ABCD是平行四边形, .CD-AB-10. 在△CED中,CD-10.DE-6.CE-8. 'ED+CF-CD. 同理可得 Sax SAoSsa '.△CED为直角三角形且乙CED-90{, $.Sxn+Son=S+Soo. .CEIAD. *S-AD.CE-(10+6)X8-128. 心.藏菜地和药材地的面积一样大. #_17#分## 13.解:(1)90'-。 (2)证明:①·四边形ABFE为平行四边形, $.AB/DE..EDC-乙ABC-a. 由(1)可知,乙ADE-90*-; 图 围② '. ADC= ADE+ EDC=90*-a+a=90 (2)(答案不唯一)如图②,作出平行四边形ABCD的两条对 即AD|BC. 角线,过对角线的交点和点O的直线能将该平行四边形的 又.AB-AC...BD-CD 面积平分,此时可使得蔬菜地和药材地的面积一样大,且共 ②:AB-AC.ABC-. 用这口井 ' ACB- ABC=a, BAC-180*-2a 18.1.2 平行四边形的判定 ·四边形ABFE为平行四边形, 第1课时 平行四边形的判定(1) 'AE//BC,AE-BF.' EAC= ACB-. 1.D 又:DAE+BAC-180”..DAE-2 [1-2. '. DAC=DAE- EAC-, 2.证明:在△ACD和△CAB中,D一乙B, '. DAC= ACB.AD=CD. AC-CA. ·AD-AE,AE-BF..BF-CD. .'.△ACD△CAB(AAS). '.BF-DF=CD-DF,即 BD-CF '.AB-CD,AD-BC. 第2课时 平行四边形对角线的性质 ·.四边形ABCD是平行四边形. 1.B 2.D 3.11 3.B 4.证明:.ABCD的对角线AC,BD交于点O. 4.证明:.四边形ABCD是平行四边形, .AO=CO.AD/BC.:. EAO=FCO. .DAB- BCD.AD//BC. (乙EAO-FCO. .AE.CF分别平分DAB.BCD. {AO-CO. 在△AOE和△COF中. $. FAF-DAB, ECF-BCD, 乙AOE-COF, 下册 参考答案