17.1 勾股定理-【支点·同步系列】2024-2025学年八年级下册数学（人教版）

∴购买地砖需要花费6×(56后-12)=(336√6-72)元 .∠BAC=∠EBD 16.解：(1)原式=-3×（一3十7）-1=-13. :∠C=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠ABC+∠EBD= (2)示例：对于任意实数a,b.都有a*b=ab十2024. 90,.∠ABE=90° (3-2√2)(3+22)=(3-22)×(3+2√2)+2024=3 Sa+SamE+SawE=S年eNE, -(22)2+2024=9-8+2024=2025 ∴a6+6+=a+b, 本章小结 ∴2ab+2=a2+2ab+形，∴.a2+=c2 1.A2.C3.D4.C5.C6.A7.9(答案不唯一)8.1 7.C8.C9.4810.611.14或4 9.解：原式=√(x+4)-2√(x-1)=lx十4-2x-1. 12.解：，CDLAB,.∠ADC=∠BDC=90°. :-4<x<1, 在R1△BCD中，BD=VBC-CD=6. .x+4>0,x-1<0, 设AC=AB=x,则AD=x一6. .原式=x+4+2r-2=3x+2. 在Rt△ACD中，AC”=AD+CD, 10.D1A12A13.2 14.D 即=一6护+8，解得x-号AC-号 15.解：(1D原式=(26-5√2)÷2-23 13.解：(1)：DE垂直平分AB, =23-5-2√3 AD=AB=2.∠ADP=90 =-5. ,AP平分∠BAC, (2)原式=[(W3-1)-(w3+2)] =(3-1-√3-2) ∠PAD=号∠BAC=45 =(-3)9 ∠APD=∠PAD=45..PD=AD=2 =9. (2)如图，过点P作PF⊥AC于点F, (3)原式-[(W②+-5)+(w2-5+√5)][（√2+3 :AP平分∠BAC,PD⊥AB,PF ⊥AC, 5)-(w2-3+5)] ∴PF=PD=2,∠PAC=45, =(2+5-5+2-5+5)(w2+5-5-V2+5 ∠APF=∠PAF=45, 5) AF=PF=2...FC=AC-AF=1. =2VZ×(25-25) 在R△PFC中，PC=√PF+FC=√5. =4V6-4√10. 第2课时勾股定理的应用 16.解：(1)2√2 1.D2.A3.D (2)2+√与4+√3H是关于2的“共轭二次根式”， 4.解：在R△ABC中，AC=√AB一BC=2.4m. .(2+√3)(4+3m)=2, EC=BC+BE=1.5 m.DE=AB=2.5 m. 2 2(2-3) .在R1△DEC中，DC=√DE-EC=√2.5-1.5= 64+v8m2+52+3)24-2w8. 2(m),.AD=AC-DC=0.4m. n=一2. 故梯子的顶端沿墙下滑了0.4m 17.解：(1)原式=√49+2×49×1+1=(49+1)F=49+1 5.D =50. 6.解：如图所示，将木块展开，AB,的长等 (2)√m+2n+I=√(n+1)F=n十1. 于AB的长加上两个正方形的边长， ,AB=8+2×1=10(m),BC=AD= (3)由题意可知，题图②大正方形的面积为5+（√石） 12m, 5+11, .最短路径AC=√/AB+B,C ∴.题图②大正方形的边长为√6+11=√/⑤+2X5×1+1 10+12=2√61(m). =/(5+1)F=5+1=6, 7.B8.1.5 即大正方形的边长为6. 9.解：(1)170+30+120+70+100+20=510(m). 第十七章勾股定理 故改造前原有管道的长度是510m, 17.1勾股定理 (2)如图，过点B作BC⊥AM 100m 第1课时勾股定理 于点C. 120m 70m B 1.B2.A3.6 由图可知，AC=170-(120- 4.解：(1)∠B=90°，a=5,b=13, 100)=170-20=150(m),BC 120m .c2=6-a2=132-52=144..c=12. =30+(70-20)=30+50=80A 30m (2)∠B=90°，a=8,e=15, 170m (m), .7=a2十2=82十153=289，.b=17 ,'.AB=√/AC+BC=V150+80=170(m), 5.3 510-170=340(m). 6.证明：AC=BD.CB=DE.AB=BE 故改造后A,B之间的管道减少的长度为340m ,.△ACB≌△BDE(SSS), 下册参考答案 163 10.解：(1)如图，出发3s时，CC=12m,BB=9m. AM=2,MN=4,BN=2√5 :AC=40m,AB=30m..AC1=28m.AB.=21m, ∴.AMF+BNe=2+(23)=4+12=16,MN=4=16, .B,C=AC2+AB=V28+21F=35(m). ..AM+BN=MN, ,35>25,.出发3s时，遥控信号不会产生相互干扰 ∴以AM,MN,NB为边的三角形是直角三角形， ∴M,N是线段AB的“勾股分割点” (2)设BN=x(x>0). .AB=12.AM=5, B .MN-AB-AM-BN-12-5-x=7-c. B ,M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边， (2)设出发1s时，两赛车距点A的距离之和为35m 分以下两种情况讨论： 根据题意，得40一41十30一31=35，解得1=5， ①若MN为斜边，则AP+BN2=MN2, .40-41=20.30-31=15, 即52十x2=(7-x)2, 此时两赛车之间的距离为√20十15=25(m) 解得x=号 故当两赛车距点A的距离之和为35m时，遥控信号会产生 相互干扰. ②若BN为斜边，则AF+MN=BN, 第3课时勾股定理的作图与计算 即5+(7-x)2=r2, 1.B2B3-反4.D5.256.A7.D8.32 解得=平。 9.c10vg1.号 综上所述，BN的长为号或积。 12.解：(1)如图①所示，△ABC即为所求。 本章小结 (2)如图②所示，△DEF即为所求（答案不唯一）， 1.C2B3B4.C5号 6.35或21而或√37 (3)如图③所示，正方形PQRS即为所求. 7.解：由勾股定理，得BC=√AB一AC区=√50一30=40 (m). 40m-0.04km.2s-1aha.04÷-72ckmM. 72>70,.这辆小汽车超速了. 图① 图② 国③ 8.解：(1)△ACD是等腰直角三角形.理由如下： 13.解：在Rt△PFH中，FH=√VPF+PF=√8+6=10， 由题意，得AC=12m,CD=12√2m,∠CAD=90°， ..BC=BF+FH+CH=PF+FH+PH=8+10+6=24. ∴.AD=√CD-AC=12m,.AD=AC.故△ACD是等腰 设△PFH的边FH上的高为h,则为-6X8-4.8, 直角三角形. 10 (2),AC=12m.BC=20m,∠CAB=90°， .Sk左ED=24×4.8=115.2. ∴.AB=/BC-AC=16m.则BD=AB-AD=16-12 14.解：(1)AC+CE=√(8一x)+25+√/x+1. 4(m). (2)当A,C,E三点共线时，AC十CE的值最小. 故船体移动距离BD的长度为4m, (3)√P+4+√12-x)+9的最小值为13. 9.6+√6 17.2勾股定理的逆定理 10.解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. 1.C2.B3.D4.D5.246.C7.D8.96 .'AC=300 km.BC=400 km.AB=500 km. 9.证明：在△ABC中，AB⊥BC,根据勾股定理，得AC=AB ∴.AC+B=AB, +BC°=1+2=5. ∴.△ABC是直角三角形，且∠ACB=90 .在△ACD中.AC+CD=5+4=9.AD=9, .AC十CD=AD, S-AC BC-AB CD. ,根据勾股定理的逆定理，△ACD为直角三角形，且∠ACD ÷CD=AC:BC_300X40-240(km. AB 500 =90°， ,250>240,.海港C受台风影响. ..ACLCD. 10.D11.A12.1313.(1,0)或(3,1)或(2,3) 14.解：该推车符合设计要求.理由如下： 'ZADB=90,AD=16 dm.AB=18 dm. .BD=/AB-AD=18-16=217(dm). .BC=2 dm.CD=8 dm. (2)如图，设台风中心在点E,F处时正好影响海港C,即E℃ .BC十CD=68=BD, =FC=250km. .△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°， 在Rt△CED中，由勾股定理，得ED=√EC-CD ,BC⊥CD,.该推车符合设计要求. √250-2403=70(km), 15.解：(1)M,N是线段AB的“勾股分制点”.理由如下： ,.EF=2ED=140km. 164 数学八年级RJ版第十七章 勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 要点提示 1,勾股定理：真角三角形两直角边的平方和等于针边的平方。 如右图，a十=c2→a=c2-6,b=c2-a, 2,勾股定理的险证：通常运用拼图的方法验证勾股定理，关键是利用两种不同的方法表示可一个图 形的面积，得到一个关于a,b,心的恒等式，经化简整理得到：十=， O1固基础 知识点1①勾股定理 1.有一个直角三角形的两直角边分别是a,b, 斜边是c,用一把最大刻度是10cm的直尺， 知识点2勾股定理的验证 可以一次直接测得c的长度，则a,b的长度 5.(2024新余期中)勾股定理是人类早期发现 可能是 并证明的重要数学定理之一，也是历史上第 A.a=5 cm,b=12 cm 一个把数与形联系起来的定理，其证明是论 B.a=6 cm,6=8 cm 证几何的发端.下面四幅图中，能证明勾股 C.a=4 cm,b=10 cm 定理的有 个 D.a=3 cm,6=11 cm 2.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°.若AB=15,则正方形 ADEC和正方形BCFG的面 图① 图② 图③ 图④ 第5题图 积和为 ( 第2题图 6.如右图，在Rt△ABC和Rt△BDEC A.225 B.200 中，∠C=∠D=90°，AC=BD C.150 D.无法计算 a,CB=DE=b,AB=BE=c,且 3.古代数学文化(2024南昌青云谱区期末)勾 B,C,D三点在同一条直线上.试D门 股定理在《九章算术》中的表述是“勾股各 利用图形证明勾股定理。 自乘，并而开方除之，即弦”，即c=a十厅 (a为“勾”，b为“股”，c为“弦”).若“勾”为 3,“股”为5，则“弦”最接近的整数是 4.(教材变式)在Rt△ABC中，AB=c,BC=a, AC=b,∠B=90° (1)已知a=5,b-13,求c: (2)已知a=8,c=15,求b. 数学八年级RJ版 ◆易错点对斜边、直角边分类不清致错 11.(2024上饶余干期末)在△ABC中，AB= 7.已知一个直角三角形的两条边长分别为 15,AC=12,高AD=12,则BC的长 3和5，则第三条边长为 A.4 B.2或34 12.如右图，在△ABC中，AB AC,CD⊥AB,垂足为D.已知 C.4或34 D.2或26 BC=10,CD=8,求AC的长. 02提能力之 8.如图，在△ABC中，AB=AC =5,BC=8,D是线段BC上 的动点（不与点B,C重合）. 第8题阁 若线段AD的长是正整数，则点D的个数是 ( A.5 B.4 C.3 D.2 ,。。。。。 O3拓思维】念 9.(2024大庆)如图①，直角三角形的两个锐角 的度数分别是40°和50°，其三边上分别有一 13.几何直观如右图，在 Rt△ABC中，∠BAC= 个正方形.执行下面的操作：由两个小正方 90°，AB=4,AC=3,DE 形向外分别作锐角度数为40°和50°的直角 垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E, 三角形，再分别以所得到的直角三角形的直 AP平分∠BAC,与DE的延长线交于 角边为边长作正方形.图②是1次操作后的 点P 图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的 (1)求PD的长度； 图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图 (2)连接PC,求PC的长度. ①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作 后图形中所有正方形的面积和为 图① 图② 第9题图 10.如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以各边 为直径作半圆，图中阴影部 第10题图 分在数学史上称为“希波克拉底月牙”.当 AC=3,BC=4时，阴影部分的面积为 下册第十七有 第2课时勾股定理的应用 要点提示 1,勾股定理的实际应用：将实际问题建立直角三角形模型，通过勾股定理解决实际问题， 2.最短路径的应用：将相关的主体图形展开后得到平而图形，再构造直角三角形解决问题 4。。。。。 O1固基础● 知识点1勾股定理的实际应用 1.如图，一辆货车车厢底部离地面的高度AB 为1.5m,为了方便卸货，常用一块木板AC 搭成一个斜面.已知BC的距离为2m,则木 板AC的长为 B· 第1题困 知识点2实际问题中的最短路径 A.2 m B.2.2mC.3m D.2.5m 5.如图所示，在正三棱柱ABC 2.(2024上饶万年月考)图①是中央红军长征 AB,C中，已知AB=BC=CA 集结出发地的新地标集结大桥，它是单塔双 2,AA=4,一只蚂蚁从点A出发 索面斜拉景观大桥.图②是其截面示意图.已 绕三棱柱侧面两圈到达点A,则 B: 蚂蚁爬行的最短距离为( 第5题图 知AB⊥CD,AB=90m,BC=BD=120m,则 拉索AC的长是 A.213 B.2+2√10 C.413 D.410 6.（2024济宁兖州区月 考)如右图，在一张长 图① 图2 第2题圈 方形纸板ABCD上放A A.150mB.160mC.180m D.200m 着一根长方体木块.已知AD=12m,AB 3.小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树 8m,该木块的长与AD平行，横截面是边长 上，他想知道风筝距地面的高度，于是他先 为1m的正方形，求一只蚂蚁从点A爬过木 拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出 块到达点C需要走的最短路程. 1m,然后把风筝线沿直线向后拉开5m,发 现风筝线末端刚好接触地面.风筝距离地面 的高度为 A.6m B.8 m C.10m D.12m 4.(教材变式)如右图，一架2.5m长 D 的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC 上，这时BC为0.7m.如果梯子底 E B C 端向外移0.8m,那么梯子的顶端 沿墙下滑了多少米？ 6 数学八年级RJ版 之02提能力) …… (2)求改造后A,B之间的管道减少的长度. 7.(2024宜春宜丰期中)如图，一支铅笔放在圆 柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9cm,内壁高为12cm.若铅笔的长为20cm, 则这只铅笔露在笔筒外面的长度！的取值范 围是 () A.9cm≤l≤12cm B.5cm≤l≤8cm C.5 cm</<9 cm D.12cm≤l≤20cm 感应器14 …… O3拓思维)心… 10.应用意识小王与小林进行遥控赛车游戏， 第7题图 第8题图 终点为点A,小王的赛车从点C出发，以 8.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个 4m/s的速度由西向东行驶，同时小林的赛 感应器，感应器离地面的距离AB=2.5m, 车从点B出发，以3m/s的速度由南向北 当人进入感应器的感应范围内时，感应门就 行驶（如下图），已知赛车之间的距离小于 会自动打开.一个身高1.6m的学生CD正 或等于25m时，遥控信号会产生相互干 对门，缓慢走到离门1.2m的地方(BC= 扰，AC=40m,AB=30m. 1.2m)时，感应门自动打开，则AD一 (1)出发3s时，遥控信号是否会产生相互 m. 干扰？ 9.(2024南昌期末)入冬前，某区对部分旧城区 (2)当两赛车距点A的距离之和为35m 暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地 时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决 北 ,东 定进行改造.管道A→B改造方案如下图所 示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线 均平行或垂直) B (1)求改造前原 100m 20m 有管道的长度： 70m 120m 30m 170m 下册第十七有 第3课时勾股定理的作图与计算 要点提示 利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点， O1固基础≈ 5.(2024南昌校级月考)如图，在6×6的正方 形网格中，每个小正方形的边长都为1， 知识点1勾股定理与数轴 △ABC的三个顶点均在格点（小正方形的 1.如图，在数轴上O为原点，数轴上的点A表 示的数是2，过点A作AB⊥OA于点A,使 顶点)上，则AB边上的高为 AB=1.以点O为圆心，OB的长为半径作 知识点3勾股定理与图形变换 弧，交数轴正半轴于点P,那么点P表示的 6.如图，有一张直角三角形纸片ABC,∠ACB 数是 =90°，AC=4cm,BC=3cm.将三角形纸片 A.2.2 B.5 C.1+2D.6 沿AD翻折，使点B落在直角边AC延长线 上的点E处，则CE的长为 () A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm -1012 3 第1题围 第2避图 2.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为 (一2,3)，以点O为圆心，OP的长为半径画 弧，交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐 C D 标在 ( 第6题图 第7题图 A.3与4之间 B.-4与-3之间 7.如图，小明将一张长为20cm、宽为15cm的 C.-5与-4之间 D.4与5之间 长方形纸(AE>DE)剪去了一角，量得AB 3.如图，在正方形ODBC中，OC=1,OA =3cm,CD=4cm,则剪去的直角三角形的 斜边长为 () OB,则数轴上点A表示的数是 D A.5 cm B.12 em C.16 cm D.20 cm 8.如图，在长方形ABCD中，AD=3.将长方形 0 -2A-10 ABCD绕点A按逆时针方向旋转，得到长方 第3题围 形AEFG,点B的对应点E落在CD上，且 知识点2勾股定理与网格 4.如图所示的是一个围棋棋盘的局部.若棋盘 DE=EF,则AB的长为 是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、 白两棋子的距离为 A.2 B.3 C.23 D.25 B 第8题图 第9题图 ...02提能力之 第4题图 第5期图 9.如图，边长为1的4个小正方形拼成了1个大 数学八年级RJ版 正方形，连接其中三个格点（正方形的顶点）可 13.如下图，把长方形纸条ABCD沿EF,GH 得△ABC,则AC边上的高是 ( 同时折叠，B,C两点恰好落在AD边的点 A.32 2 k福c5 D P处.若∠FPH=90°，PF=8,PH=6,求 长方形ABCD的面积. 10.(2024商丘梁园区期中)图①是第七届国际 数学教育大会(ICME)的会徽，在其主体图 案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能 够组合得到如图②所示的四边形OABC. 若OC=√5，BC=1,∠AOB=30°，则OA的 值为 。。。。。 ICME-7 O3拓思维)心 图① 图2 第10题图 14.应用意识如右图，C为线 11.如图，在Rt△ABC中 段BD上一动点，分别过点 ∠BAC=90°，以点A为圆 B,D作AB⊥BD,ED⊥ B C 心，AB的长为半径作弧交 B BD,连接AC,EC.已知AB=5,DE=1, CB于点D,再分别以点B, BD=8,设CD=x. 第11题图 D为圆心，大于号BD的长为半径作孤，两 (1)用含x的代数式表示AC+CE的长； (2)当点C满足什么条件时，AC+CE的值 弧交于点P,作射线AP交BC于点E.若 最小？ AB=6,AC=8,则CD= (3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式 12.(2024沧州期末)如图，正方形网格中的每 √x+4+V(12-x)十9的最小值. 个小正方形边长都是1，小正方形的顶点叫 做格点，以格点为顶点分别按下列要求 画图 (1)在图①中，画一个三角形，使它的三边 长都是有理数： (2)在图②中，画一个直角三角形，使它们 的三边长都是无理数： (3)在图③中，画一个正方形，使它的面积 是10. 图① 图2 图③ 下册第十七章