精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威十七、十二中中考三模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级三模数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. x的相反数是2，，则（ ） A. 或1 B. 5或 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值的知识，涉及了相反数及绝对值的知识，属于基础题，注意本题有两个解，不要遗漏． 先根据相反数及绝对值的知识求出和，然后代入求解即可． 【详解】解：∵的相反数是， ， 故或． 故选：A． 2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解法解一元二次方程，解一元二次方程得或，根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，即可求出m的值． 【详解】解：解方程， 得或， ∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ， ． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由抛物线可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵点在抛物线上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故选：C． 4. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据题意，结合等边三角形的性质求出的长度，利用旋转的性质得到 的长度和的度数，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求出和的长度，再利用点在第二象限求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 点， ，， . 是等边三角形， ． 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ． 在第二象限， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 5. 如图，中，E为直径上一点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理．延长交圆于M，连接，由对顶角的性质得到，因此，由圆的对称性得到，由等腰三角形的性质推出直径，由垂径定理得到，由圆周角定理推出，据此求解即可． 【详解】解：延长交圆于M，连接， ∵，， ∴， ∵E为直径上一点， ∴由圆的对称性得到：， ∵， ∴直径， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 一个不透明的口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求概率的方法，熟知概率公式是解题关键． 根据题意可得共有18个小球，即可得出任意摸出一个小球，共有18种等可能结果，其中恰好是黑球的有3种结果，即可求出概率． 【详解】解：由题意得，袋中装有红球6个，白球9个，黑球3个，任意摸出一个球，恰好是黑球的概率是． 故选：D． 7. 若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的坐标性质，关键通过代入法计算横坐标后比较大小，注意负数的大小比较易错点．根据反比例函数的图象和性质，通过坐标代入计算各点横坐标的值，再比较大小关系． 【详解】解：点、、三点在反比例函数的图象上， 代入点，得，解得； 代入点，得，解得； 代入点，得，解得． 可知大小关系为，即． 故选：A． 8. 如图，在中，于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形判定和性质，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选C． 9. 如图，菱形的对角线交于点，，过点O作于点E．若，则菱形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、菱形的性质等知识，确定的值是解题关键．首先根据菱形的性质可得，，在和中，利用三角函数解得的值，易得，，然后计算菱形的面积即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，，， ∴在中，， ∴在中，， ∴，， ∴菱形面积． 故选：D． 10. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，仔细观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：2，1． 左视图如下：， 故选：B． 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 已知是方程的两根，则的值为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式等知识点，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：24． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，利用“k型全等”求得B点的坐标，代入即可求解，构造全等三角形解题是关键． 【详解】解：过B作轴于E，过A作轴于D， 在等腰直角三角形中，，则， ∵A、B两点的横坐标分别为1和， ∴，， ∵点A、B在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理， 解得：或（舍去）， ∴b的值为2， 故答案为：2． 14. 如图， 正方形中，， 点E为正方形外一点， 且 将绕点A 逆时针方向旋转得到， 的延长线交 于点 H． 若 ， 则的长为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由正方形的性质可得，则由勾股定理可得，由旋转的性质可得，则可证明四边形是矩形，得到，据此根据勾股定理可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∵绕点A 逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17 ． 15. 如图，的弦与直径交于点，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用. 连接，利用切线的性质得出的度数，然后利用等腰三角的性质及三角形外角定理得出和的度数， 最后利用角的和差即可求解. 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：. 16. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点C，D在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，正确表示平行四边形的面积是求解本题的关键．先求平行四边形面积，再求． 【详解】解：如图：作轴于，则四边形是矩形， 由反比例函数性质知，， ∵， ， ∴． 故答案为：． 17. 如图，，，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的定义、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 由矩形的性质以及中点的定义可得，即，进而得到；再根据正切的定义可得 、，再运用勾股定理得到；如图：过G作垂直于I，则，易得，设，则，再证，运用相似三角形的性质列比例式可得，即，则，易得、；在和中运用勾股定理可得①；同理可得：②；最后联立即可解答． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴，， ∵点F为边BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴ 如图：过G作垂直于I，则 ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 如图：连接， 设，则， 在中，， 在中，， ∴①； 同理可得：②； ①②联立可得：，（已舍弃负值）． 故答案为：． 三、解答题（共9题，共66分） 19. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点坐标； （2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标线中图形的变换，图形与坐标，矩形的性质等知识，掌握平面直角坐标系的特点，矩形的性质是关键． （1）根据中心对称图形的性质作图，图形与坐标的关系写出点坐标即可； （2）运用格点，矩形的性质作图即可． 小问1详解】 解：如图所示，即为所求，其中点的坐标为： 【小问2详解】 解：如图所示，根据格点，取矩形，连接对角线交于点， ∴中线即为所求． 20. （1）计算：； （2）解下列分式方程·： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，计算负整数指数幂；再合并即可； （2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可. 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边乘， 得． 解得． 检验：将．代入，可知， 所以经检验，是原分式方程的根. 21. 某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价百分率一致．求每次降价的百分率． 【答案】每次降价的百分率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键．设每次降价的百分率，根据题意列出一元二次方程，求解并选取符合实际的值即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意可得： 解得：（不合题意，舍去） 答：每次降价的百分率为． 22. 如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解； （2）根据全等三角形的面积相等，将所求面积转化为等腰直角的面积，进而利用直角三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：由旋转性质得，，又， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的面积为． 23. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 证明： ． ， ． 即 ． 又∵为半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在中，． ． 又是直径 的半径长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得， 点． 把代入，得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，得点． 把代入，得，解得， 点，． 设点，由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 25. 如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，连接，相交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质、直径所对的圆周角为以及余角的性质得出，然后根据同弧所对的圆周角相等得出，则，根据余角的性质得出，根据等角对等边得出，最后根据三线合一的性质即可得证； （2）连接，证明，可得出．设，则，解得，（舍），则，，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据勾股定理求出，则可得为等边三角形，得出，根据等边对等角和三角形外角的性质可求出，根据圆周角定理求出，最根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的切线， ． 又∵是的直径， ， ． ∵D为的中点， ， ， ， 又， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ， ， ． 设，则 解得，（舍）， ，， ， 中，， ， 为等边三角形， ， ， ， 又， ． ， 的长为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点． 26. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度． （精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形． 根据题意得到，然后根据三角函数的定义，计算即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 答：该建筑物的高度约为． 27. 如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的横坐标为，求与的面积比； （3）若动点横坐标记为，的面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 【答案】（1） （2）25 （3）当时，S有最大值 【解析】 【分析】（1），代入求出b，c的值，即得； （2）求出，得，得，即得； （3）写出，得， 得，， 得，即得当时，S有最大值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象交，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵的横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵直线的解析式为，二次函数解析式为，点横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，三角形面积比，三角形面积差，割补法求三角形面积，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级三模数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. x的相反数是2，，则（ ） A. 或1 B. 5或 C. 1 D. 2. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，E为直径上一点，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 一个不透明口袋中，装有红球6个，白球9个，黑球3个，这些球除颜色不同外没有任何区别，现从中任意摸出一个球，恰好是黑球的概率为（ ） A B. C. D. 7. 若、、三点都在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点，若，则的长为（ ） A. 9 B. C. 13 D. 12 9. 如图，菱形的对角线交于点，，过点O作于点E．若，则菱形的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 10. 如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 已知是方程的两根，则的值为_______． 13. 如图，在等腰直角三角形中，，点A、B在抛物线上，点C在y轴上，A、B两点的横坐标分别为1和，b的值为____． 14. 如图， 正方形中，， 点E为正方形外一点， 且 将绕点A 逆时针方向旋转得到， 的延长线交 于点 H． 若 ， 则的长为________． 15. 如图，的弦与直径交于点，过点的切线与的延长线交于点，连接，若，，则的度数是__________． 16. 如图，平行四边形的顶点在反比例函数图象上，点在轴上，点C，D在轴上，与轴交于点，连接，若，则的值为______． 17. 如图，，，，则的长为______． 18. 如图，在矩形中，点为边的中点，点在边上，连接，，两线段交于点，过点作交于点，若，，，则的长为________． 三、解答题（共9题，共66分） 19. 在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点坐标； （2）请用无刻度直尺作出中边上的中线，并保留作图痕迹． 20 （1）计算：； （2）解下列分式方程·： 21. 某地区举办青少年科技创新大赛，其中机器人项目备受瞩目．某商家为此次大赛供应比赛器材，赛事结束后，剩余30套器材待零售处理．为快速清空库存回笼资金，商家决定实施降价策略．起初每套器材售价为120元，历经两次降价后，每套器材售价降至97.2元，且两次降价的百分率一致．求每次降价的百分率． 22. 如图，在中，，，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 23. 如图，在中，直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 25. 如图，是的直径，C为上一点，D为的中点，连接，相交于点E，过点A作的切线交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求长． 26. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点在同一直线上，求该建筑物的高度． （精确到．参考数据：，，，） 27. 如图，已知二次函数的图象与轴交于A和两点，与轴交于，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当的横坐标为，求与的面积比； （3）若动点横坐标记为，面积记为，的面积记为，且，写出与的函数关系，并判断是否有最大值，若有请求出；若没有请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$