精品解析：2025年河南省南阳市中考二模数学　

2025年初中毕业班第二次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据“正负数是具有相反意义的两个量，规定哪一个为正，则和它意义相反的量记为负”进行求解即可． 【详解】解：∵盈利50元，记作：元， ∴亏损30元，记作：元， 故选：C． 2. 如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可求得的度数，然后由两直线平行，同位角相等，求得的度数． 【详解】解：如图， ∵把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质．注意运用：两直线平行，同位角相等． 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 4. 如题图，“斗”是古代粮食度量用具．它不仅是古代的计量单位，而且在中国文化中承载了丰富的象征意义．从“才高八斗”到“斗转星移”，这些典故展现了“斗”在语言和文化中的深远影响．题图是它的示意图，下列图形是“斗”的左视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了左视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案，掌握三视图的特征是解题的关键． 【详解】解：图形是“斗”的左视图的是， 故选：． 5. 计算：（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 6. 已知n是正整数，若，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则来进行计算得到，列出一元一次方程求解． 【详解】解：∵，， ∴ 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则和一元一次方程的解法，利用底数幂的运算法则，幂的乘方的运算法则求出是解答关键． 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点，， ； 故选：A． 8. 南阳，一个值得“三顾”的地方．甲、乙两人相约来南阳旅游，两人分别从武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择“武侯祠”景点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 根据画树状图法求概率即可． 【详解】解：将武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点命为A、B、C景点， 画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点A的情况有1种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故选：D． 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案． 【详解】解：∵抛物线开口向上 ∴＞0 ∵抛物线对称轴＞0 ∴b＜0 ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上 ∴c＞0 ∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限； 当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质． 10. 如图，扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，当恰好经过的中点，时，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求扇形面积，平移的性质，熟练掌握勾股定理和求扇形面积是解题的关键． 先求出，再推出，求解即可． 【详解】解：连接， ∵经过的中点， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 则， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个大于的无理数______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据题意写出一个大于的无理数，即可求解． 【详解】解：一个大于的无理数可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______棵． 【答案】1800 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，频率估计概率，根据图形可以发现，频率在0.9附近波动，从而可以估计这种树苗移植成活的概率，再根据成活概率估算总体数量即可． 【详解】解：由图可得这种树苗成活的频率约为0.9， ∴这种树苗成活的概率为0.9， ∵移植这种树苗2000棵， ∴成活的大约有：（棵）， 故答案为：1800． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 【答案】n≥0 【解析】 【分析】根据平方的非负性可得结果． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， 而， ∴n≥0， 故答案为：n≥0． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别方法是解题的关键． 14. 某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为______，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为______m．（结果精确到） 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 根据图1得到观测视线与水平线的夹角为，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由图1知，观测视线与水平线的夹角为， 在中，，，， ， 答：长约为， 故答案为：60；． 15. 如图1，矩形，将射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．设线段的长为，与旋转角的函数关系图象如图2所示，已知图象的最低点的坐标是，则图2中的值是______，最高点的坐标是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、动点问题的函数图象、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动．结合图象可得当点运动到对角线上时，取得最小值，当时，射线与射线重合，此时，得到；当点运动到的延长线上时，最大，最大值为，此时，得到点的坐标为． 【详解】解：矩形， ， 连接，由轴对称的性质，可知，即点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动， 如图，当点运动到对角线上时，取得最小值， 函数图象的最低点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当时，射线与射线重合，点关于对角线对称， 此时，， ； 如图，当点在的延长线上时，最大，最大值为， 此时，， ， ， 点的坐标为； 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理数化，二次根式的加减计算，整式的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解；原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）______，______，______． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由（写出一条即可）． 【答案】（1）85；80；70 （2） 解：七年级学生掌握春节文化知识较好． 理由：①七年级和八年级的平均数接近，但七年级的中位数大于八年级的中位数，所以七年级学生掌握春节文化知识较好． ②七年级的方差小于八年级的方差，所以七年级学生掌握春节文化知识较好． 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差，以及借助平均数，中位数，方差进行分析，解决此题的关键是正确理解相关概念． （1）根据平均数、中位数、方差的计算方法进行计算即可； （2）根据平均数、中位数、方差进行综合分析即可； 【小问1详解】 解：， 由图可知，， ， 故答案为：85；80；70． 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求； 【小问2详解】 证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 19. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． （1）直接写出点、的坐标； （2）若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 【答案】（1）， （2）的值为，此时的值为9或45 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，菱形的性质，求出菱形各点的坐标是解题的关键． （1）连接交于点，则轴，推出，，求得，根据菱形的对称性质求解即可； （2）根据平移的性质求得，，，，分两种情况讨论，当，两点和，两点同时落在反比例函数图象上时，利用反比例函数的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：连接交于点， ∵菱形，且轴， ∴轴， ∵点、的坐标分别为、， ∴，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵点，，，， ∴将菱形向下平移个单位长度后对应点的坐标依次为，，，， ∵轴，轴， ∴，或，不能同时落在反比例函数图象上． 当，两点同时落在反比例函数图象上时，， ∴， ∴， ∴； 当，两点同时落在反比例函数图象上时，． ∴， ∴， ∴． 故的值为，此时的值为9或45． 20. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 【答案】（1）该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元 （2）购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元，根据两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个建立方程求解即可； （2）设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为，根据购买资金不超过1080万元列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每个款人形机器人在网上的售价是万元，则每个款人形机器人在网上的售价是万元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：该公司、两款人形机器人在网上每个的售价分别是15万元、12万元； 【小问2详解】 解：设购进款人形机器人个，则购进款人形机器人个，总利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，利润最大，（万元）． 答：购进款人形机器人40个，购进款人形机器人60个，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是240万元． 21. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足． （1）这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ （3）球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 【答案】（1），4 （2）他应该后退或前进才能接到球 （3）篮球会出界 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键． （1）令，求出的值，即为出手高度，根据解析式得到顶点坐标，即可得出结果； （2）令，求出值，进行判断，再令，求出的值，进行作答即可； （3）求出时，的值，进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵，当时，， ∴这次传球的出手高度是； ∵的顶点坐标为：， ∴当篮球飞行的水平距离为时，达到最大高度，最大高度是； 故答案为：，4； 【小问2详解】 解：当时，， ∴他在原地不能接到球； 当时，， 解得：，， ∵，， ∴他应该后退或前进才能接到球； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，（舍去）； ∵， ∴篮球会出界． 22. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可； （2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解； （3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，， ∵点P是的中点， ∴，， ∵， ∴、、共线， 设所在圆的半径为， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴所在圆的半径为． （2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置， 过点作于点， ∵， ∴ 又 ∴， 即点P上升的高度为cm； （3）∵， ∴，， ∴， ∴点M经过的路径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线性质、三角函数的相关计算、扇形的弧长公式，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 23. 【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使，连接，．探究线段与的关系． 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系； “孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）【推理论证】 请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； （2）【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长． 【答案】 （1），，理由如下： 证法1：如图1，延长至，使，连接，延长交的延长线于点， ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，点A、H、B、C共圆， ∴， ∴， ∴； 证法2：如图2，延长至，使，连接，延长交于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）的长为8或15 【解析】 【分析】（1）勤学小组的解法：将线段借助平行线进行平移，过点B作平行交的延长线于点G，这样可以将证明和的关系转化为和的关系，即可得证；“善思小组”的解法：结合F为的中点构造三角形的中位线，过点B作平行交延长线于点H，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系，即可得证． （2）当点在内部时，可证得C、D、F共线，根据可求得，进而得出结果；同样求得当点在外部时的结果． 【详解】解：（1）略 （2）设， 如图3，当点在内部时， 由（1）知，，， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴C、D、F三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，(舍去)， ∴； 如图4，当点在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 综上所述：的长为8或15． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，勾股定理等知识，解决问题的关键是根据题意画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中毕业班第二次调研测试 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题：（每小题3分，共30分．）（下列各小题只有一个答案是正确的．） 1. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作元，那么亏损30元，记作（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 如图，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么为（ ） A. B. C. D. 3. 2025年3月，中国科研团队突破性研制全球最薄二维金属材料，材料的厚度仅为，是头发丝的二十万分之一，开创了二维金属研究新领域．将0.00000000058用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如题图，“斗”是古代粮食度量用具．它不仅是古代的计量单位，而且在中国文化中承载了丰富的象征意义．从“才高八斗”到“斗转星移”，这些典故展现了“斗”在语言和文化中的深远影响．题图是它的示意图，下列图形是“斗”的左视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算：（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知n是正整数，若，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 7. 如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 南阳，一个值得“三顾”的地方．甲、乙两人相约来南阳旅游，两人分别从武侯祠、医圣祠、南阳府衙三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择“武侯祠”景点的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　　) A. B. C. D. 10. 如图，扇形中，，将扇形沿方向平移得到扇形，当恰好经过的中点，时，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个大于的无理数______（写出一个即可）． 12. “良种壮苗”是造林的基本措施之一．某林业局为测试一种树苗的成活率，将这种树苗移植成活的情况绘制成如图折线统计图，由该图可估计移植这种树苗2000棵，成活的大约有______棵． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则n的取值范围是__________． 14. 某小组同学为测楼高自制了仰角测量仪，观测者的观测视线与水平线夹角如图1所示，此时观测视线与水平线的夹角为______，若观测者与楼的距离为（如图2），则可测算长为______m．（结果精确到） 15. 如图1，矩形，将射线绕点顺时针旋转得到射线，点是点关于直线的对称点．设线段的长为，与旋转角的函数关系图象如图2所示，已知图象的最低点的坐标是，则图2中的值是______，最高点的坐标是______． 三、解答题（共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）化简：． 17. 随着春节成功列入世界非物质文化遗产名录，全球范围内对春节文化的关注度日益提升．某校为了评估学生对春节文化知识的掌握程度，举行春节文化知识竞赛，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成七年级代表队和八年级代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩，制作了统计图和数据分析表． 平均数 中位数 众数 方差 七年级 a 85 85 c 八年级 86 b 100 160 根据以上信息，解答下面的问题： （1）______，______，______． （2）分析以上数据，你认为该校七、八年级代表队中哪个年级学生掌握春节文化知识较好？请说明理由（写出一条即可）． 18. 如图，在中，，是的角平分线． （1）尺规作图：求作的高线； （2）在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 19. 如图，菱形在平面直角坐标系的第一象限内，轴，点、的坐标分别为、． （1）直接写出点、的坐标； （2）若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点同时落在反比例函数的图象上，求及此时的值． 20. 宇树人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某公司推出了、两款人形机器人在网上进行预约销售，每个款人形机器人的售价比每个款人形机器人的售价少，当两款人形机器人的预约销售额都为600万元时，款人形机器人比款人形机器人多售出10个． （1）求该公司、两款人形机器人在网上每个的售价各是多少万元？ （2）已知款人形机器人每个的成本是12万元，款人形机器人每个的成本是10万元．根据网上预约情况，公司计划再用不超过1080万元的总费用购进这两款人形机器人共100个进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少万元？ 21. 在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度与飞出的水平距离满足． （1）这次传球的出手高度是______m，篮球飞行的最大高度是______m； （2）队员乙在篮球飞行方向上距甲处，他的最大摸高是，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ （3）球场界线在甲的传球方向前方处，如未能成功传球，篮球是否会出界？ 22. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 23. 【问题提出】 在微专题复习课上，王老师引导同学们以“直角三角板的旋转”为主题开展探究活动：将一大一小两个等腰直角三角板和按图1放置，，点在内，连接并延长到点，使，连接，．探究线段与的关系． 【思路探究】 “诸葛小组”的解题思路：将线段借助平行线进行平移，如图2，过点作交的延长线于点，这样可以将和的关系转化为和的关系； “孔明小组”的解题思路：结合为的中点构造三角形的中位线，如图3，过点作平行交延长线于点，从而借助三角形中位线性质，将和的关系转化为和的关系． （1）【推理论证】 请你写出线段与的关系并证明（可以用不同于前面的思路）； （2）【能力提升】 “创新小组”在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接，将绕点在平面内旋转，当，，时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $