精品解析：2025年浙江省嘉兴市南湖区中考二模数学试卷

2025年初中学业水平考试适应性练习（二）数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题．答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）． 珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰 以上四个地点中海拔高度最低的是（ ） A. 珠穆朗玛峰 B. 马里亚纳海沟 C. 吐鲁番艾丁湖 D. 阿尔卑斯山勃朗峰 2. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 3. 截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 某篮球队名队员的身高（单位：厘米）分别为，，，，．现用一名身高为厘米的队员换下身高为厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 6. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，，由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论：①函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点在该函数图象上；④直线与坐标轴围成的三角形的面积为9．其中错误的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 9. 已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在，，中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是______． 12. 计算：______． 13. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为______． 14. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 15. 已知，若，则的取值范围是______． 16. 如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边和上，顶点F，H在菱形的对角线上，若，且，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线，）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑． 17. 计算：． 18. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 19. 如图，在中，，点分别在边上，且，连接． （1）当时，求的度数． （2）若，求的度数． 20. 民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下： 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数（人） 1 3 a b 1 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？ （2）求a，b的值． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 21. 小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题： 如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上． 小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小嘉：小兴，你的作法有问题． 小兴：哦……我明白了！ （1）给出小嘉作法中的证明． （2）指出小兴作法中存在的问题． 22. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 23. 已知二次函数（为常数）的图象交轴于点，，，且其对称轴是直线． （1）求的值． （2）若，求二次函数（为常数）的最小值． （3）若，求的取值范围． 24. 如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． （1）如图，求证：； （2）如图，当经过点时，求证：点是的中点； （3）当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性练习（二）数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题．答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下表记录了四个地点的海拔高度（单位：米）． 珠穆朗玛峰 马里亚纳海沟 吐鲁番艾丁湖 阿尔卑斯山勃朗峰 以上四个地点中海拔高度最低的是（ ） A. 珠穆朗玛峰 B. 马里亚纳海沟 C. 吐鲁番艾丁湖 D. 阿尔卑斯山勃朗峰 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴以上四个地点中海拔高度最低的是马里亚纳海沟， 故选：． 2. 如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的三视图，可判断出几何体. 【详解】解：∵主视图和左视图是等腰三角形 ∴此几何体是锥体 ∵俯视图是圆形 ∴这个几何体是圆锥 故选B. 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，关键是利用主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 3. 截至2025年4月26日，国产电影《哪吒之魔童闹海》的票房已突破元．数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，把原数变为a时，小数点向右移动位数的相反数是n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：D ． 4. 如图，线段，交于点，连接，．若，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，对顶角相等，由，，则，所以，然后代入求值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 5. 某篮球队名队员的身高（单位：厘米）分别为，，，，．现用一名身高为厘米的队员换下身高为厘米的队员，与换人前相比，场上队员身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，先计算没换之前平均身高和方差，换下身高厘米队员后的平均身高和方差，然后比较即可，掌握平均数和方差的公式是解题的关键． 【详解】解：由没换之前平均身高为：，方差为：， 换下身高厘米队员后的平均身高为：，方差为：， ∵，， ∴平均数变小，方差变小， 故选：． 6. 下列运算结果是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，点A，B，C在上．若的半径为1，，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，由圆周角定理得到，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点，，由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论：①函数表达式为；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大；③点在该函数图象上；④直线与坐标轴围成的三角形的面积为9．其中错误的结论是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数关系式，一次函数的性质，一次函数图象的点的坐标特征，以及依据关系式求出函数图象与坐标轴的交点坐标，求出三角形的面积等知识点． ①采用待定系数法求出关系式即可； ②根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当，随的增大而增大即可判断； ③把点代入解析式中，其坐标满足，即可判断；④根据函数图象与轴、轴的交点坐标，进而可以求出直线与坐标轴围成的三角形的面积即可． 【详解】解：设一次函数表达式为，将，代入 得 解得： ∴关系式为：； 故结论①是正确的； 由于， ∴y随x的增大而增大，故结论②也是正确的； 点，其坐标满足， 因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确的； 直线与x，y轴的交点分别，， 因此与坐标轴围成的三角形的面积为：，故结论④是不正确的； 因此，不正确的结论是④； 也可以用排除法，①②③均正确，则④为不正确． 故选：D． 9. 已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点的坐标和函数的性质，根据函数图象上点的坐标得到，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，然后逐项判断解答即可． 【详解】根据题意可得，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大， 故符合要求的函数图像为D选项， 故选：D． 10. 如图，点是等腰中斜边上的一个动点（不与重合）．若已知的长，则一定能求出值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 绕点A逆时针旋转至，连接，利用旋转的性质得出相等的角和边，然后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，绕点A逆时针旋转至，连接， 则， ， 根据勾股定理得， 即， 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 在，，中随机取一个数字作为的值，使得二次根式有意义的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，二次根式有意义的条件，先由，得，在，，中符合条件的只有，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴在，，中符合条件的只有， ∴使得二次根式有意义的概率是， 故答案为：． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤． 利用分式化简的步骤和平方差公式进行化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为______． 【答案】##82度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 故答案为：． 14. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：“有人合伙购物，如果每人出8钱，会多3钱；如果每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数和物价分别为人，钱，则可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设人数和物价分别为人，钱，根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱”即可得出关于，的方程组． 【详解】解：设人数和物价分别为人，钱， 根据题意，得：， 故答案为：． 15. 已知，若，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用反比例函数求未知数的取值范围，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 利用反比例函数进行求解即可． 【详解】解：由得 ，可看作关于的反比例函数， 根据反比例函数的性质可得， 当时，则的取值范围是或， 故答案为：或． 16. 如图，矩形的顶点E，G分别在菱形的边和上，顶点F，H在菱形的对角线上，若，且，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．连接，分别交、、于点、、，设，则，证明和，求得，，再证明，利用相似三角形的性质列式计算求得，据此代入计算即可求解． 【详解】解：连接，分别交、、于点、、， ∵矩形，菱形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，则， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线，）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．根据负整数指数幂，求一个数的算术平方根进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 小李与小王两位同学解方程的过程如下框： 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出正确的解答过程． 【答案】 ×；× 解： ，． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】略 19. 如图，在中，，点分别在边上，且，连接． （1）当时，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，求出； （2）根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出． 【小问1详解】 解：，， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 20. 民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表如下： 七年级10名学生活动成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 人数（人） 1 3 a b 1 已知七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，八年级活动成绩为7分的学生数是多少？ （2）求a，b的值． （3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1）八年级活动成绩为7分的学生数为1人 （2）， （3）解：优秀率高的年级平均成绩低，理由为： 七年级的优秀率为， 平均分为分； 八年级的优秀率为， 平均分为分； ∴优秀率高的年级平均成绩低． 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数，平均数，明确相关概念的定义； （1）将八年级活动成绩为分的比例乘以即可得到成绩为分的学生数； （2）根据七年级名学生活动成绩的中位数为8.5分，可知成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分，由此可确定a，b的值； （3）分别求出七，八年级的平均分和优秀率，再比较即可． 【小问1详解】 解：人， 答：八年级活动成绩为7分的学生数是人； 【小问2详解】 解：∵七年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分， ∴成绩由低到高排列第位的成绩为分，第位的成绩为分， 即，； 【小问3详解】 略 21. 小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题： 如图1，D是平分线上一点，E是上一点．用直尺和圆规作，其中点F在上． 小嘉：如图2，以A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小兴：以D为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小嘉：小兴，你的作法有问题． 小兴：哦……我明白了！ （1）给出小嘉作法中的证明． （2）指出小兴作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：∵D是平分线上一点， ∴， 在和中， ， ． （2）点F的位置不唯一确定，因此不能确定 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）可利用证明，得到； （2）以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个， 即点F的位置不唯一确定，即不能证明三角形全等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：小兴作法中，若以D为圆心，长为半径作弧，该弧与的交点可能有2个， 即点F的位置不唯一确定，因此不能确定． 22. 综合与实践：小刚结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处（标注出点B的位置），入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水；（直线为法线，为入射光线，为折射光线，交于点G，且．） 第三步：在的延长线取一点P，在P处发出一束光线，移动点P的位置，使得入射光线，折射光线恰好经过点B． 【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N，G，P，Q在同一平面内，测得，，，，折射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的度数． （2）求点B，D之间的距离．（结果精确到） （3）求的长．（结果精确到） （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，三角函数的比值关系，平行四边形的判定与性质，熟悉掌握三角函数的比值关系是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等得到的值，然后根据角的和差解答即可； （2）利用正切的定义求出和长，然后根据线段的和差解题； （3）设直线交于点H，得到四边形和是平行四边形，即可得到对边相等，然后求出，在中利用正切的定义求出即可解题． 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：在中，， ∴， 在中，， ， 故点B，D之间的距离约为． 【小问3详解】 解：设直线交于点H． ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在中，， ，， ∴四边形是平行四边形， ． 23. 已知二次函数（为常数）的图象交轴于点，，，且其对称轴是直线． （1）求的值． （2）若，求二次函数（为常数）的最小值． （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，有最小值为 （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴，二次函数和一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用抛物线对称轴公式进行求解即可； （2）利用抛物线对称轴得出，列出一元二次方程进行求解得出，，求出二次函数解析式，即可求出最小值； （3）利用抛物线对称轴得出，得出，即，分情况当时和当时，分别求出的取值即可． 【小问1详解】 解：由得； 【小问2详解】 解：对称轴是直线， ， ①， ②， ，， 把，代入得：， ， 当时，有最小值； 【小问3详解】 解： ，， ， ， 把代入，得， 如图，当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ． 24. 如图，正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连接交于点． （1）如图，求证：； （2）如图，当经过点时，求证：点是的中点； （3）当时，求的值． 【答案】（1） 证明：由旋转性质可知， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：作交的延长线于点， 由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（）由旋转性质可知，则，又四边形是正方形，则，故有，然后通过同角的余角相等即可求证； （）作交的延长线于点，证明，则有，，又四边形是正方形，所以，，然后有，故，最后由线段和差即可求证； （）过点作分别交，的延长线于点，，则，证明四边形是矩形，则，同理可得，则，故有，设，则，，，，在中，，，解得，，作于点，然后分两种情况求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作分别交，的延长线于点，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 设，则，，，， 在中，，，解得，， 作于点， 当时，，则， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 当时，，则， 同理， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴的值为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $