精品解析：四川省泸县第五中学2025届高三下学期高考适应性考试数学试题

泸县五中高2022级高考适应性考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式可得，由求出，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以. 故选：C 3. 设函数,则（ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数， 再根据函数的单调性法则，即可解出． 【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积. 【详解】在梯形中，，则该梯形的高为， 梯形的面积为， 在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的， 所以平面图形的面积. 故选：D 5. 点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程. 【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点， 可得，点在圆上， 则，即. 故选：A. 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件不独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件不独立 【答案】D 【解析】 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 此时，， ，故B正确； 当时，表示并非每次都是正面朝上， 故，故C正确； 此时，， ，所以，故D错误. 故选：D. 8. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个. A. 499 B. 500 C. 501 D. 502 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到，要想无实根，需满足，结合根的判别式与基本不等式得到至多一个成立，同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且，从而得到结论. 【详解】由题意得：，其中， ，代入上式得：， 要方程无实数解，则， 显然第502个方程有解. 设方程与方程的判别式分别为， 则 ， 等号成立的条件是，所以至多一个成立， 同理可证：至多一个成立，至多一个成立，且， 综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多502个， 故选：D. 【点睛】解决本题关键是灵活运用二次方程根的判别式，等差数列性质及基本不等式进行求解. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用共轭复数的定义可判定A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定B、D. 【详解】对于A，由，得，则A错误. 对于B，因为，所以，解得或（舍去），则B正确. 对于C，设（，且）， 则，所以，则C正确. 对于D，由，得. 设（，且），则， ，从而，则D正确. 故选：BCD 10. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由，可判断A；利用展开式的通项求出，可判断B；令求出，再对二项式两边求导，令即可判断C；当时，可判断D． 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故B正确； 因为，令，可得， 令， 有，        令，可得， 所以，故C错误； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确. 故选：BD． 11. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 设，则，因为A，O，C三点共线， 所以，解得，B正确； 由，，可得，结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 易知当点N位于点B时，取得最小值， 最小值为，C错误； 当点N为位于点C时，取得最大值， 最大值为，D正确． 故选：ABD 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. _________． 【答案】2 【解析】 【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果. 【详解】. 故答案为：2. 13. 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且与的图象关于点对称，那么的最小值等于_______________. 【答案】6 【解析】 【分析】由平移变换得出，再利用与的图象关于点对称得，由周期性得出答案. 【详解】由图象平移规律可知，由与的图象关于点对称，所以，化简得恒成立，得，故，，所以正数的最小值为6. 故答案为:6. 【点晴】与关于 对称，则 ，故得. 14. 设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式、辅助角公式、结合换元法得到，再运用导数的性质进行求解即可. 【详解】 ， 令， 所以， 要想有最小值，显然为钝角，即， 于是有， 设， 因为， 所以 令，即， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数有最大值， 所以的最小值为， 此时，， 即存在，显然存在，使得， 即的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角形内角和定理把三个变量变成二个变量问题，最后利用辅助角公式就成一个变量，利用导数的性质求最值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【解析】 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算，并与临界值对比分析； （2）用频率估计概率可得，根据题意计算，结合题意分析判断. 【小问1详解】 根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. 【小问2详解】 由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即，则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2） 法一：由（1）可知，则，得， 因此，则，有， 又，平面， 则有平面，又平面，所以平面平面. 法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在中，， 在中，， 设，所以由可得：， 可得：，所以， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，得， 令，则，所以， ， 所以平面平面BEF； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答. （2）法一：由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，设，所以由求出点坐标，再求出平面与平面BEF的法向量，由即可证明； （3）法一：由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：过点作交于点，设， 由，得，且， 又由（2）知，，则为二面角的平面角， 因为分别为的中点，因此为的重心， 即有，又，即有， ，解得，同理得， 于是，即有，则， 从而，， 在中，， 于是，， 所以二面角的正弦值为. 法二：平面的法向量为， 平面的法向量为， 所以， 因为，所以， 故二面角的正弦值为. 18. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． （Ⅰ）证明：直线的斜率为定值； （Ⅱ）求焦点到直线的距离（用表示）； （Ⅲ）在中，记，，求的最大值． 【答案】（Ⅰ）将点代入抛物线方程可得：，抛物线 设，与抛物线方程联立可得： ，∴ 用代可得： 因此， 即． （Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设，与抛物线联立可解出点坐标，用代可得点坐标，用斜率公式可计算斜率的取值；（Ⅱ）用两点式表示直线的方程，计算焦点到直线的距离即可；（Ⅲ）利用，利用抛物线的定义将转化为，韦达定理代入计算，结合不等式可求出最大值. 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，， 因此 到直线的距离． （Ⅲ） ∵ ∴ ， 令，由得 ∴ 当且仅当时取等号． 【点睛】思路点睛：直线与抛物线的问题，常采用直线和抛物线联立.若已知一点坐标，设而要求求出另一点坐标；若没有点坐标，则设而不求，韦达定理表示出两点坐标之间的关系代入等式计算. 19. 已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小； （Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； （Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为，， 证明：． 【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为． ； （Ⅱ）；； ． 由此推测： ② 下面用数学归纳法证明②． （1）当时，左边右边，②成立． （2）假设当时，②成立，即． 当时，， 由归纳假设可得 ． 所以当时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数都成立． （Ⅲ）由的定义，②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 ． 即． 【解析】 【详解】（Ⅰ）的定义域为，． 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减． 故的单调递增区间为，单调递减区间为． 当时，，即． 令，得，即． ① （Ⅱ）略 （Ⅲ）略 考点：导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2022级高考适应性考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设函数,则（ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 3 5. 点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件不独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件不独立 8. 已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，那么以下1003个方程中，有实数解的方程至少有（ ）个. A. 499 B. 500 C. 501 D. 502 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（ ） A. B. C. 的最小值为0 D. 的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. _________． 13. 函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且与的图象关于点对称，那么的最小值等于_______________. 14. 设是一个三角形的三个内角，则的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 17. 如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面BEF； （3）求二面角的正弦值. 18. 如图，已知点是焦点为的抛物线上一点，，是抛物线上异于的两点，且直线，的倾斜角互补，若直线的斜率为． （Ⅰ）证明：直线的斜率为定值； （Ⅱ）求焦点到直线的距离（用表示）； （Ⅲ）在中，记，，求的最大值． 19. 已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小； （Ⅱ）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明； （Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为，， 证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $