12.3证明 练习 2024--2025学年苏科版数学七年级下册

七下数学《图形与证明》 1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 2．如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则α、β、γ之间的数量关系是（　　） A．α+β＝γ B．2α﹣β＝γ C．2β﹣α＝γ D．2γ﹣α＝β 3．如图．∠A＝65°．∠B＝40°．∠C＝25°．则∠D+∠E＝（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 4．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　 　 °． 5．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝　 　 °． 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝　 　 °． 7．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　 　 °． 8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝　 　 °． 9．若a、b、c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|． 10．计算： （1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长； （2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数． 11．如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论：①BC＝2BF；②；③BE＝CE；④AD⊥BC；⑤S△AFB＝S△ADC．其中错误的是 　 　 （只填序号）． （2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数． 12．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， …… （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　 　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； （3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． （1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，则∠BFD＝　 　 °； （2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD． 14．如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2． （1）求△AME与△AHE的面积和． （2）求△MEF的面积． 【典型例题】 1．【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数． 2．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　 °； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？ （3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 3．【概念认识】 两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α，那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线m和直线n为“α相交线我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？ 【初步研究】 （1）如图②，直线m与直线n是“α相交线”，求证：∠1﹣∠2＝α 小明的证法 如图③．若直线m与直线n交于点O， 直线m与直线n是“α相交线”． ∵∠AOB＝α． ∴∠1是△ABO的外角， ∴　 　 ． 即∠1﹣∠2＝α． 请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明 【深入思考】 （2）如图④，直线m与直线n是α相交线， ①①找出直线m与直线n被直线l所截得的内错角，并直接写出内错角与α的关系； ②找出直线m与直线n被直线l所截得的同旁内角，并直接写出每对同旁内角与α的关系； 【综合运用】 （3）如图⑤，已知∠α，用直尺和圆规按下列要求作图， ①如图⑥，点M为直线AB外一点，过点M求作直线，使得所作得直线与直线AB是“α相交线”（作出满足条件的所有直线）； ②如图⑦，用两种不同方法在直线AB外求作一点，使得直线MA和直线MB是“α相交线”． 【巩固练习】 1．如图，点E，A，C在一条直线上，给出下列三项：①AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D，G；②∠1＝∠2；③AD平分∠BAC． （1）若以其中的两项作为条件，剩余的一项作为结论，共能得到 　 　 个真命题； （2）请你选择其中一个真命题进行证明． 你选择的条件是 　 　 ，结论为 　 　 ．（填写序号） 证明： 2．如图，点B、E、C在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB∥CD；②∠1＝∠2，∠3＝∠4；③AE⊥ED． （1）上述问题有哪几个真命题？ （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 3．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 4．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 5．如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　 　 ，结论是 　 　 （填写序号）； （2）证明上述命题． 参考答案与试题解析 1．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【解答】解：连接AA′． ∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°， ∴∠A′BC+∠A′CB＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝140°， ∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°， ∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A， ∴∠1+∠2＝2（∠DAA′+∠EAA′）＝2∠BAC＝80°， 故选：A． 2．如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则α、β、γ之间的数量关系是（　　） A．α+β＝γ B．2α﹣β＝γ C．2β﹣α＝γ D．2γ﹣α＝β 【解答】解：∵∠ADC是△ABD的外角，∠ACE是△ACD的外角， ∴β＝α+∠BAD，γ＝β+CAD， ∴∠BAD＝β﹣α，∠CAD＝γ﹣β， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴β﹣α＝γ﹣β， ∴2β﹣α＝γ． 故选：C． 3．如图．∠A＝65°．∠B＝40°．∠C＝25°．则∠D+∠E＝（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【解答】解：连接BC，如图所示， ∵∠A＝65°，∠ABE＝40°，∠ACD＝25°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣65°﹣40°﹣25°＝50°， ∵∠D+∠E＝∠1+∠2， ∴∠D+∠E＝50°． 故选：C． 4．已知△ABC中，∠A＝65°，将∠B、∠C按照如图所示折叠，若∠ADB′＝35°，则∠1+∠2+∠3＝　265　 °． 【解答】解：由折叠知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′． ∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′， ∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′ ＝2∠B+35°． ∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC ＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）， ∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′ ＝360°﹣2∠C， ∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC） ＝360°﹣（360°﹣2∠C） ＝2∠C． ∴∠1+∠2+∠3 ＝2∠C+2∠B+35° ＝2（∠C+∠B）+35° ＝2（180°﹣∠A）+35° ＝2（180°﹣65°）+35° ＝265°． 故答案为：265°． 5．如图，△ABC中AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝50°，∠C＝70°，则∠DAE＝　10　 °． 【解答】解：∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAE＝∠EAC（180°﹣∠B﹣∠C）（180°﹣50°﹣70°）＝30°． 在△ACD中，∠ADC＝90°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°， ∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°． 故答案为：10． 6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝　78　 °． 【解答】解：设∠2＝x°，则∠3＝3∠2＝3x°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC54°， ∴∠ABD＝（54﹣x）°， ∵AB＝AD， ∴∠ADB＝∠ABD＝（54﹣x）°， ∴∠ADC＝（54+2x）°， ∵AC＝AD， ∴∠4＝∠ADC＝（54+2x）°， ∵∠2+∠BCD+∠3＝180°， ∴x+54+54+2x+3x＝180， 6x＝72， x＝12， ∴∠4＝78°， 故答案为：78． 7．一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α+∠β＝　126　 °． 【解答】解：如图， 根据光线反射定律，可知入射光线与反射光线与平面镜的夹角相等， 在四边形ABCD中， ∠ABC＝180°﹣2∠1，∠BCD＝180°﹣2∠2， ∴∠ABC+∠BCD＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2 ＝360°﹣2（∠1+∠2）， ∵∠1+∠2＝180°﹣117°＝63°， ∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣2（∠1+∠2） ＝360°﹣2×63° ＝234°， 在四边形ABCD中， ∵∠ABC+∠BCD+∠α+∠β＝360°， ∴234°+∠α+∠β＝360°， ∴∠α+∠β＝126°． 故答案为：126°． 8．如图，将四边形纸片ABCD沿MN折叠，点A、D分别落在点A1、D1处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝　110　 °． 【解答】解：∵∠1+∠2＝140°， ∴∠AMN+∠DNM110°． ∵∠A+∠D+（∠AMN+∠DNM）＝360°，∠A+∠D+（∠B+∠C）＝360°， ∴∠B+∠C＝∠AMN+∠DNM＝110°． 故答案为：110． 9．若a、b、c是△ABC的三边，请化简|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边， ∴a＜b+c，c＜a+b． 即a﹣b﹣c＜0，b+c﹣a＞0，c﹣a﹣b＜0． ∴|a﹣b﹣c|+|b+c﹣a|﹣|c﹣a﹣b| ＝﹣（a﹣b﹣c）+（b+c﹣a）+（c﹣a﹣b） ＝﹣a+b+c+b+c﹣a+c﹣a﹣b ＝﹣3a+b+3c． 10．计算： （1）已知三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6，c的长为小于6的偶数，求△ABC的周长； （2）已知三角形三个内角的度数比为2：3：4，求这个三角形三个内角的度数． 【解答】解：（1）∵三角形三边分别为a，b，c，且a＝4，b＝6， ∴b﹣a＜c＜a+b， ∴6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10， 又∵c的长为小于6的偶数， ∴c＝4， ∴△ABC的周长为a+b+c＝4+6+4＝14，即△ABC的周长为14． （2）∵三角形三个内角的度数比为2：3：4， ∴这三个内角的度数分别为，，， ∴这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°． 答：这个三角形三个内角的度数为40°，60°，80°． 11．如图，AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线． （1）对于下面的五个结论： ①BC＝2BF； ②； ③BE＝CE； ④AD⊥BC； ⑤S△AFB＝S△ADC． 其中错误的是 　③　 （只填序号）． （2）若∠C＝70°，∠ABC＝28°，求∠DAE的度数． 【解答】解：（1）∵AD，AE和AF分别是△ABC的高、角平分线和中线， ∴AD⊥BC，∠CAE＝∠BAE＝∠CAB，BF＝CF，BC＝2BF， ∵S△AFB＝BF•AD，S△AFC＝CF•AD， ∴S△AFB＝S△AFC，故①②④⑤正确，③错误， 故答案为：③． （2）∵∠C＝70°，∠ABC＝28°， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝82°， ∴∠CAE＝∠CAB＝41°， ∵∠ADC＝90°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝20° ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝41°﹣20°＝21°． 12．观察下列算式，完成问题： 算式①：42﹣22＝12＝4×3， 算式②：62﹣42＝20＝4×5， 算式③：82﹣62＝28＝4×7， 算式④：102﹣82＝36＝4×9， …… （1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：　122﹣102＝44＝4×11　 ； （2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”，请证明上述命题成立； （3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解答】（1）解：算式⑤：122﹣102＝44＝4×11． 故答案为：122﹣102＝44＝4×11． （2）证明：设两个连续偶数分别为2m和2m+2，则（2m+2）2﹣（2m）2＝4（2m+1）， ∵2m+1是奇数， ∴“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”成立． （3）解：不成立，理由如下： 设两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4×2n， ∵2n是偶数， ∴命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”不成立． 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD，BE与CD交于点F． （1）若∠A＝40°，∠ACB＝70°，则∠BFD＝　70　 °； （2）若∠ABC＝∠ACB，求证：∠BDF＝∠BFD． 【解答】（1）解：∵∠A＝40°，∠ACB＝70°， ∴∠ABC＝180°﹣（40°+70°）＝70°， ∵∠A＝∠ABE，∠CDB＝∠CBD， ∴∠A＝∠ABE＝40°，∠CDB＝∠CBD＝70°， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABE﹣∠CDB＝180°﹣40°﹣70°＝70°， 故答案为：70． （2）证明：如图，设∠A＝α，∠ABC＝β， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴180°﹣α＝2β， ∵∠A＝∠ABE＝α， ∴∠CBF＝β﹣α， ∵∠CDB＝∠CBD， ∴∠BDF＝β，∠DCB＝180°﹣2β， ∵∠BFD是△BCF的外角， ∴∠BFD＝∠DCB+∠CBF＝180°﹣2β+（β﹣α）＝180°﹣β﹣α＝2β﹣β＝β， ∴∠BDF＝∠BFD． 14．如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2． （1）求△AME与△AHE的面积和． （2）求△MEF的面积． 【解答】解：（1）∵在△AMH中，AN，ME分别为△AMH，△AMN的中线，△AMH的面积为80cm2． ∴S△AMES△AMNS△AMH＝20cm2，S△AHES△AHNS△AMH＝20cm2， ∴S△AHE+S△AME＝40cm2． （2）∵MF为△MHE的中线，S△MHE＝S△AMH﹣（S△AHE+S△AME）＝40cm2， ∴S△MEFS△MEH＝20cm2． 15．【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　85°或100　 °； （2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数； 【延伸推广】 （3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，BD，BD'是∠ABC的“三分线”， ∴∠ABD＝∠DBD'＝∠D'BC∠ABC45°＝15°， ∵∠A＝70°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+15°＝85°或∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+30°＝100°， 故答案为：85°或100； （2）如图③，∵BP⊥CP， ∴∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∴∠ABC∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°； （3）四种情况： ①如图1，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时， ∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB， ∵∠AOD＝∠BOC， ∴∠A+∠ADB＝∠B+∠ACB， ∵∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°， ∴66°+m°＝45°+∠ACB， ∴∠ACB＝21°+m°， ∴∠ACP∠ACB＝14°m°， ∵∠AED＝∠CEP， ∴∠A+∠ADE＝∠DPC+∠ACP， ∴66°m°＝∠DPC+14°m°， ∴∠DPC＝（52m）°； ②如图2，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB， 由①知：∠ACB＝21°+m°， 同理得：66°m°＝∠DPC+7°m°， ∴∠DPC＝59°； ③如图3，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时， ∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB， 由①知：∠ACB＝21°+m°， 同理得：66°m°＝∠DPC+14°m°， ∴∠DPC＝52°； ④如图4，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时， ∴∠ADE∠ADBm°，∠ACP∠ACB， 由①知：∠ACB＝21°+m°， 同理得：66°m°＝∠DPC+7°m°， ∴∠DPC＝（59m）°； 综上，∠DPC的度数为59°或52°或（52m）°或（59m）°． 16．如图（1）中是一个五角星，你会求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值吗？ （2）图中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？如图（2）说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化？如图（3）说明你的结论的正确性． 【解答】解：（1）如图，连接CD． 在△ACD中，根据三角形内角和定理，得出∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°． ∵∠1＝∠B+∠E＝∠2+∠3， ∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E＝∠A+∠B+∠E+∠ACE+∠ADB＝∠A+∠2+∠3+∠ACE+∠ADB＝180°； （2）无变化． 根据平角的定义，得出∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°． ∵∠BAC＝∠C+∠E，∠EAD＝∠B+∠D， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°； （3）无变化． ∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E＝∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°． 17．发现与探究 【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形ABOC中，判断∠BOC与∠A+∠B+∠C的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C，理由：延长BO交AC于点M， ∵∠BMC是△ABM的外角， ∴　∠BMC＝∠A+∠B　 ， 同理，∠BOC是△COM的外角， ∴　∠BOC＝∠BMC+∠C　 ， ∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）． 【验证】某木材零件如图2所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝115°，请直接写出，应将图中∠D 　增加　 （填“增加”或“减小”） 　5　 °． 【解答】解：（1）发现： 解：∠BOC＝∠A+∠B+∠C， 理由：延长BO交AC于点M， ∵∠BMC是△ABM的外角， ∴∠BMC＝∠A+∠B， 同理，∠BOC是△COM的外角， ∴∠BOC＝∠BMC+∠C， ∴∠BOC＝∠A+∠B+∠C（等量代换）． 故答案为：∠BMC＝∠A+∠B，∠BOC＝∠BMC+∠C； （2）验证： 由“发现”可知：∠AEB＝∠A+∠B+∠C， ∴∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）， ∵符合标准的零件∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°， ∴符合标准的零件∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）＝125°﹣（15°+15°）＝85°， ∵∠C＝90°≠85°， ∴该零件不符合规格； （3）探究： ∵∠CAB＝50°，∠CBA＝60°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠EFD＝∠D+∠E+∠DCE＝20°+30°+70°＝120°， ∵∠EFD＝115°＜120°，∠CBA，∠CAB，∠E保持不变， ∴∠D应增加120°﹣115°＝5° 故答案为：增加，5． 18．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． （1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　140　 °； （2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？ （3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由． 【解答】解：（1）如图，连接PC， 由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°， ∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°， 故答案为：140°； （2）连接PC， 由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE， ∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C， ∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α， ∴∠1+∠2＝90°+∠α； （3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α， ∴∠2﹣∠1＝90°+∠α； 如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°； 如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C， ∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°． 19．【概念认识】 两条直线相交所形成的锐角或直角称为这两条直线的夹角，如果两条直线的夹角为α，那么我们称这两条直线是“α相交线”例如；如图①，直线m和直线n为“α相交线我们已经知道两条平行线被第三条直线所截，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，那么若两条直线为“α相交线”，它们被第三条直线所截后形成的同位角、内错角、同旁内角之间有什么关系呢？ 【初步研究】 （1）如图②，直线m与直线n是“α相交线”，求证：∠1﹣∠2＝α 小明的证法 如图③．若直线m与直线n交于点O， 直线m与直线n是“α相交线”． ∵∠AOB＝α． ∴∠1是△ABO的外角， ∴　∠1＝∠2+∠AOB　 ． 即∠1﹣∠2＝α． 请补充完整小明的证明过程，并用另一种不同的方法进行证明 【深入思考】 （2）如图④，直线m与直线n是α相交线， ①①找出直线m与直线n被直线l所截得的内错角，并直接写出内错角与α的关系； ②找出直线m与直线n被直线l所截得的同旁内角，并直接写出每对同旁内角与α的关系； 【综合运用】 （3）如图⑤，已知∠α，用直尺和圆规按下列要求作图， ①如图⑥，点M为直线AB外一点，过点M求作直线，使得所作得直线与直线AB是“α相交线”（作出满足条件的所有直线）； ②如图⑦，用两种不同方法在直线AB外求作一点，使得直线MA和直线MB是“α相交线”． 【解答】解：（1）如图③．若直线m与直线n交于点O， 直线m与直线n是“α相交线”． ∵∠AOB＝α． ∴∠1是△ABO的外角， ∴∠1＝∠2+∠AOB， 即∠1﹣∠2＝α． 故答案为：∠1＝∠2+∠AOB； （2）①如图④中， ∴直线m，直线n被直线l所截的内错角为：∠3与∠5，∠4与∠6． ∠3＝∠5+α，∠6＝∠4+α． ②直线m，直线n被直线l所截的同旁内角为：∠3与∠6，∠4与∠5． ∠3+∠6＝∠5+α+∠4+α＝180°+α，∠4+∠5+α＝180°； （3）①如图，直线MT即为所求； 如图⑦﹣1中，直线AM即为所求； ②如图⑦﹣2中，点M即为所求． 20．如图，点E，A，C在一条直线上，给出下列三项：①AD⊥BC，EG⊥BC，垂足分别为D，G；②∠1＝∠2；③AD平分∠BAC． （1）若以其中的两项作为条件，剩余的一项作为结论，共能得到 　2　 个真命题； （2）请你选择其中一个真命题进行证明． 你选择的条件是 　①②或①③　 ，结论为 　③或②　 ．（填写序号） 证明： 【解答】解：（1）若AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，AD平分∠BAC，则∠1＝∠2． 若AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G，∠1＝∠2，则AD平分∠BAC． 故以其中两个事项作为条件，另一个事项作为结论，你能组成2个正确的结论， 故答案为：2； （2）以①②为条件，③为结论． 理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴AD∥EG， ∴∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD， ∵∠1＝∠2， ∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC． 以①③为条件，②为结论． 理由：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴AD∥EG， ∴∠1＝∠CAD，∠2＝∠BAD， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴∠1＝∠2． 故答案为：①②，③；或①③，②． 21．如图，点B、E、C在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①AB∥CD；②∠1＝∠2，∠3＝∠4；③AE⊥ED． （1）上述问题有哪几个真命题？ （2）选择（1）中的一个真命题加以证明． 【解答】解：（1）上述问题有两个真命题，分别是： 命题1：①②⇒③；命题2：②③⇒①． （2）选择命题1：①②⇒③． 证明：∵CD∥AB， ∴由平行线的性质可知：∠B+∠C＝180°， ∵∠B+∠1+∠2＝180°， ∴∠C＝∠1+∠2， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝90°， ∴AE⊥ED． 选取命题2：②③⇒①． 证明：由题意可得：∠AED＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， 又∵∠B＝180°﹣∠1﹣∠2，∠C＝180°﹣∠3﹣∠4， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠1﹣∠2+180°﹣∠3﹣∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3+∠4）＝180， ∴AB∥CD． 22．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 23．如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　4　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【解答】解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差， ∵AB﹣AC＝4（cm）， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm， 故答案为：4； （2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时， 即BE﹣（AE+AC）＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝1cm， ②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时， 即AE+AC﹣BE＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm， 综上，线段AE的长为1cm或3cm． 24．如图，在三角形ABC中，D，E是AB上的点，F是BC上一点，H，G是AC上的点，FD⊥AB于点D，连接EF，EH，EG．给定三个条件：①EG⊥AB，②∠α＝∠β，③∠C＝∠β+∠EGH． （1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 　①②　 ，结论是 　③　 （填写序号）； （2）证明上述命题． 【解答】（1）选择的条件是 ①②，结论是 ③； 故答案为：①②，③； （2）证明：由EG⊥AB，FD⊥AB， 得EG∥FD， 得∠DFE＝∠GEF， 由∠α＝∠β， 得∠BFE＝∠HEF， 得EH∥BC， 得∠C＝∠AHE＝∠β+∠EGH． 第1页（共22页） 学科网（北京）股份有限公司 $$