江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第二次月考数学试题

高二数学试卷第 页（共 8页）1 江苏省启东中学 2024~2025学年度第二学期第二次月考 高二数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知向量 a  3,1,2  ，b  1,,4 x ，且 a b，则 x A.5 B.11 C. 5 D. 11 【答案】C （改编：人教版选修 1第 21页练习第 2题） 2. 假如女儿身高 y（单位：cm）关于父亲身高 x（单位：cm）的经验回归方程为 268.0ˆ  xy ，已知父 亲身高为 180 cm，则估计女儿身高为 A.166 cm B.170 cm C.172 cm D.176 cm 【答案】B（改编：人教版选修 3第 113页练习第 2题） 3. 学生可从本年级开设的 m门选修课中任意选择 3门，并从 n种课外活动小组中选择 2 种，不同的选法 种数为 A. 23 nm AA  B. 23 nmAA C. 23 nm CC  D. 23 nmCC 【答案】D（改编：人教版选修 3第 37页复习参考题 6第 1（2）题） 4.   81 (1 )x x  的展开式中 2x 的系数为 A. 8 B. 20 C. 20 D. 28 【答案】B（改编：人教版选修 3第 37页习题 6.3第 2题） 5. 已知函数  xf 满足   xx fxf e)0(e2  ，则  xf 的增区间为 A.  1, B.  ,2ln C.  ,0 D.   ,2ln 【答案】D（改编：人教版选修 3第 81页习题 5.2第 6题） 6. 将 5名学生分配到 3个社区当志愿者，每个社区至少分配 1名学生，则不同的分配方法种数是 A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 【答案】D（改编：人教版选修 3第 26页习题 6.2第 4题） 7. 若当 x＝1时，函数 f(x)＝aln x＋b＋1 x 取得极小值 4，则 a＋b等于 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 8. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， 21  AAAB ， 411 CBAC ，三棱锥 C-AB1C1体积最大值为 高二数学试卷第 页（共 8页）2 A. 3 2 B. 3 4 C. 2 D. 4 【答案】A 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. 已知随机变量 X的概率分布如表(其中 a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是 A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 【答案】ABD（改编：人教版选修 3第 70页练习第 1题） 10. 有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 8%，第 2台加工的次品率为 3%，第 3台加 工的次品率为 2%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1,2,3 台车床加工的零件数分别占总数的 10%,40%,50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是 A．该零件是第 1台车床加工出来的次品的概率为 0.08 B．该零件是次品的概率为 0.03 C．如果该零件是第 3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为 0.98 D．如果该零件是次品，那么它不是第 3台车床加工出来的概率为1 3 【答案】BC（改编：人教版选修 3第 50页例 5） 11. 已知函数   3 2f x x ax bx c    满足  0 0f  ，  1 1f  ，则（ ） A. a b c  B. 对于任意 0a  ，  f x 有三个零点 C. 对于任意 0a  ，  f x 有两个极值点 D. 1a 时，  f x 在     2 1,0 上存在最大值 【答案】AB（改编：人教版选修 2第 98页第 5、6题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 12. 若随机变量 2~ (1 )X N ， ，    2311  XPXP ，则    10 XP ． 【答案】0.3（改编：人教版选修 3第 87页练习第 2题） 13. 设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为 a，b， c，若b a ，b c ，则称这个三位数为 高二数学试卷第 页（共 8页）3 “峰型三位数”，例如 251和 121都是“峰型三位数”，在由 0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位数 中，“峰型三位数”的个数为_______________. 【答案】40（改编：人教版选修 3第 27页习题 6.2第 12题） 14. 已知直线 y x b   与函数 ln 2y x  ， 2exy  的图象分别交于A， B两点，则 AB 取最小值时， b  ________，最小值为________． 【答案】 1 3 2 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测 试.在某次测试中，该校随机抽取了初二年级 50名男生的立定跳远成绩和 50米短跑成绩，在立定跳远成 绩大于等于 210 cm的 26名男生中，50米短跑成绩小于等于 7.9 s的有 18人，在立定跳远成绩小于 210 cm 的男生中，50米短跑成绩大于 7.9 s的有 14人. 单位：人 立定跳远成绩 50米短跑成绩 合计 不大于 7.9 s 大于 7.9 s 不小于 210 cm 小于 210 cm 合计 50 （1）完成上面列联表，并依据小概率值 0.05  的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与 50米短跑成绩 有关； （2）“立定跳远成绩小于 210 cm”且“50米短跑成绩不大于 7.9 s”的人数为m，已知这m人中有 3人喜 爱运动，若从中任取 2人进行调研，设 X表示取出的喜爱运动的人数，求 X的分布列和数学期望. 附临界值表及参考公式：         2 2 ( ) .n ad bc a b c d a c b d        0.10 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 【解】（1）列联表如图.单位：人 高二数学试卷第 页（共 8页）4 立定跳远成绩 50米短跑成绩 合计 小于等于7.9s 大于7.9s 大于等于 210cm 18 8 26 小于 210cm 10 14 24 合计 28 22 50 ……2 分 零假设为 0H ：立定跳远成绩与50米短跑成绩无关， 计算得 2 2 0.05 50 (18 14 10 8) 3.848 3.841 28 22 24 26 x           ， ……4分 根据小概率 0.05  的独立性检验，推断 0H 不成立， 即认为立定跳远成绩与50米短跑成绩有关，此推断犯错误的概率不大于 0.05 . ……6分 （2）由（1）可知 10,m X 的可能取值为0,1,2， ……7分 则   2 0 7 3 2 10 C C 70 C 15 P X    ， ……8 分   1 1 7 3 2 10 C C 71 C 15 P X    ， ……9分   0 2 7 3 2 10 C C 12 C 15 P X    ， ……10 分 其分布列为： X 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 所以数学期望为   7 7 1 30 1 2 15 15 15 5 E X        . ……13 分 16.（15分）已知 x xaxf 11ln)(  . （1）若 1a ，证明： 0)( xf ； 高二数学试卷第 页（共 8页）5 （2）若 )(xf 的最小值为 1 ，求 a. 【解】（1）证明： 1a 时， x xxf 11ln)(  的定义域为  ,0 ， ……2 分 因为 2 1)( x xxf  ，令 0)(  xf 得 1x ， ……4 分 当  1,0x 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递减； 当   ,1x 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递增； ……6分 所以 0)1()(  fxf . ……7 分 （2） x axxf 1)(  ，   ,0x ， ① 0a 时， 0)(  xf ， )(xf 在  ,0 单调递减，无最小值，不合； ……9 分 ② 0a 时，当      a x 1,0 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递减； 当       ,1 a x 时， 0)(  xf ， )(xf 单调递增； ……11分 所以   aaaaaaafxf     1ln11ln1min ， ……13分 所以 11ln  aaa ，解得 ea ， 所以 ea . ……15分 17.（15分）如图，在四面体 ABCD中， AB BC BD  ， 120CBA DBC    ． （1）证明： BCAD  ； （2）若平面 ABC平面 BCD. ① 求直线 AD与平面 BCD所成角的大小； ② 求平面 ABD和平面 BDC的夹角的余弦值． （改编：人教版选修 1第 38页练习第 4题） 【解】（1）证明：作 AO⊥BC于点 O，连 DO， 因为 120CBA DBC    ，所以 DBOABO  ， 因为 BDAB  ，所以 DBOABO  ， 所以 o90 AOBBOD ，即 BCOD  ， ……2分 因为 OAOD, 平面 AOD， OOAOD  ，所以 BC平面 AOD， 因为 AD 平面 AOD，所以 BCAD  . ……4分 （2）因为平面 ABC平面 BCD，平面 ABC平面 BCD BC ，AO⊥BC， AO 平面 ABC， 高二数学试卷第 页（共 8页）6 所以 AO 平面 BCD， ……6分 设 1AB  ，以点 O为原点，OD，OC，OA的方向分别为 x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系， 得下列坐标：  0,0,0O ， 3 ,0,0 2 D        ， 10, ,0 2 B      ， 30, ,0 2 C      ， 30,0, 2 A        ① 3 3,0, 2 2 AD          ，显然  1 0,0,1n   为平面 BCD的一个法向量， ……8分 所以 1 2 2 3 2 2cos , 23 3 1 2 2 AD n                     ， ∴，直线 AD与平面 BCD所成角的大小 45； ……10分 ② 设平面 ABD的法向量为  2 , ,n x y z  则 1 30 2 2 AB          ，， ， 所以 2 2 · 0 · 0 n AB n AD         ，即 1 3 0 2 2 3 3 0 2 2 y z x z        ，令 1z  ，则 1x  ， 3y  ,则  2 1, 3,1n   ……12分 设平面 ABD和平面 BDC的夹角为 ，则 1 2 1 2 | | 1 5cos 51 5| | n n n n         ， 因此平面 ABD和平面 BDC的夹角的余弦为 5 5 ． ……15分 18.（17分）已知函数   e xf x ax  . （1） 2a 时，求  xfy  在  )0(,0 f 处的切线方程； （2）讨论  f x 的单调性； （3）若   1f x  恒成立，求实数 a的取值范围. 【解】（1） 1 xy ……4分 （2）函数   exf x ax  的定义域为R ，   exf x a   . 当 0a  时，   e 0xf x a   恒成立，  f x 在R 上单调递增； 当 0a  时，由   0f x  ，解得： lnx a ；由   0f x  ，解得： lnx a . 高二数学试卷第 页（共 8页）7  f x 在  , ln a 上单调递减，  ln ,a  上单调递增. 综上所述：当 0a  时，  f x 在R 上单调递增； 当 0a  时，  f x 在  , ln a 上单调递减，  ln ,a  上单调递增. ……10 分 （3）要使   1f x  恒成立，只需  min 1f x  恒成立. 由（2）可知，当 0a  时，  f x 在R 上单调递增，且  0 1f  ， ∴当 0x  时，   1f x  ，不合题意，舍去. ……12 分 当 0a  时，  f x 在  , ln a 上单调递减，  ln ,a  上单调递增，    min ln lnf x f a a a a    ， 只需  min ln 1f x a a a   ，即 ln 1 0a a a   在 0a  时恒成立. ……15 分 记   ln 1g a a a a   ， 0a  ，则   1 ln 1 lng a a a     当0 1a  时，   0g a  ，  g a 单调递增；当 1a  时，   0g a  ，  g a 单调递减；    max 1 1 ln1 1 0g a g      ，   0g a  ， 只有 1a  符合题意. 综上所述，实数 a的取值范围为 1 . ……17 分 19．（17分）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答 4道题，若答对 3道或 4道，则通 过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同， 若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为 1 1 4 p p      .假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. （1）已知 1 2 p  . ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对 1道题的概率. （2）记甲同学的答题个数为 X ，求  XE 的最大值. 【解】（1）①由题意，甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为 3 3 1 4 4 0 4 4 1 1 1 1 5C ( ) (1 ) C ( ) (1 ) 2 2 2 2 16 P      ； ……5 分 高二数学试卷第 页（共 8页）8 ②甲同学答对 1题的情况如下， 第一轮答对 1题，第二轮答对 0题，则概率为 1 1 3 0 0 31 4 3 1 1 1 1 1C ( ) (1 ) C ( ) (1 ) 2 2 2 2 32 P      ； 第一轮答对 0题，第二轮答对 1题，则概率为 0 0 4 1 1 32 4 4 1 1 1 1 1C ( ) (1 ) C ( ) (1 ) 2 2 2 2 64 P      ； 所以甲同学答对 1道题的概率为 1 2 1 1 3 32 64 64 P P    ； ……11 分 （2）由题意， 4,6,7,8X  ， 且 3 3 1 4 4 0 3 4 4 4( 4) C ( ) (1 ) C ( ) (1 ) 4 (1 )P X p p p p p p p        ， 2 2 2 2 2 4( 6) C ( ) (1 ) 6 (1 )P X p p p p     ， 1 1 3 3 4( 7) C ( ) (1 ) 4 (1 )P X p p p p     ， 0 0 4 4 4( 8) C ( ) (1 ) (1 )P X p p p     ， 所以 3 4 2 2 3 4( ) 4[4 (1 ) ] 36 (1 ) 28 (1 ) 8(1 )E X p p p p p p p p         3 4 2 2 3 416 12 36 (1 ) 28 (1 ) 8(1 )p p p p p p p        4 34 4 4 8p p p    ， ……15 分 又 1 1 4 p  ，令 4 3( ) 4 4 4 8f p p p p    ，则 3 2( ) 4(4 3 1)f p p p    ， 令 3 2( ) 4 3 1g p p p   ，则 ( ) 6 (2 1)g p p p   ， 当 1 1 4 2 p  时， ( ) 0g p  ，即 ( )g p 在 1 1[ , ) 4 2 上单调递减； 当 1 1 2 p  时， ( ) 0g p  ，即 ( )g p 在 1( ,1) 2 上单调递增； 又 1 9( ) 0 4 8 g    ， (1) 0g  ，则在 1[ ,1) 4 上 ( ) 0g p  ， 所以在 1[ ,1) 4 上 ( ) 0f p  恒成立，即 ( )f p 在 1[ ,1) 4 上单调递减， 所以 max 1 445( ) ( ) 4 64 f p f  ，故 ( )E X 最大为 445 64 . ……17 分 高二数学试卷第 页（共 4页）1 江苏省启东中学 2024~2025学年度第二学期第二次月考 高二数学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 已知向量 a  3,1,2  ，b  1,,4 x ，且 a b，则 x A.5 B.11 C. 5 D. 11 2. 假如女儿身高 y（单位：cm）关于父亲身高 x（单位：cm）的经验回归方程为 268.0ˆ  xy ，已知父 亲身高为 180 cm，则估计女儿身高为 A.166 cm B.170 cm C.172 cm D.176 cm 3. 学生可从本年级开设的 m门选修课中任意选择 3门，并从 n种课外活动小组中选择 2种，不同的选法 种数为 A. 23 nm AA  B. 23 nmAA C. 23 nm CC  D. 23 nmCC 4.   81 (1 )x x  的展开式中 2x 的系数为 A. 8 B. 20 C. 20 D. 28 5. 已知函数  xf 满足   xx fxf e)0(e2  ，则  xf 的增区间为 A.  1, B.  ,2ln C.  ,0 D.   ,2ln 6. 将 5名学生分配到 3个社区当志愿者，每个社区至少分配 1名学生，则不同的分配方法种数是 A. 24 B. 50 C. 72 D. 150 7. 若当 x＝1时，函数 f(x)＝aln x＋b＋1 x 取得极小值 4，则 a＋b等于 A．7 B．8 C．9 D．10 8. 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， 21  AAAB ， 411 CBAC ，三棱锥 C-AB1C1体积最大值为 A. 3 2 B. 3 4 C. 2 D. 4 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9. 已知随机变量 X的概率分布如表(其中 a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 高二数学试卷第 页（共 4页）2 则下列计算结果正确的是 A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 10. 有 3台车床加工同一型号的零件，第 1台加工的次品率为 8%，第 2台加工的次品率为 3%，第 3台加 工的次品率为 2%，加工出来的零件混放在一起．已知第 1,2,3 台车床加工的零件数分别占总数的 10%,40%,50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是 A．该零件是第 1台车床加工出来的次品的概率为 0.08 B．该零件是次品的概率为 0.03 C．如果该零件是第 3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为 0.98 D．如果该零件是次品，那么它不是第 3台车床加工出来的概率为1 3 11. 已知函数   3 2f x x ax bx c    满足  0 0f  ，  1 1f  ，则 A. a b c  B. 对于任意 0a  ，  f x 有三个零点 C. 对于任意 0a  ，  f x 有两个极值点 D. 1a 时，  f x 在     2 1,0 上存在最大值 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．。 12. 若随机变量 2~ (1 )X N ， ，    2311  XPXP ，则    10 XP ． 13. 设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为 a，b， c，若b a ，b c ，则称这个三位数为 “峰型三位数”，例如 251和 121都是“峰型三位数”，在由 0，1，2，3，4，5中的部分数字组成的三位 数中，“峰型三位数”的个数为_______________. 14. 已知直线 y x b   与函数 ln 2y x  ， 2exy  的图象分别交于A， B两点，则 AB 取最小值时， b  ________，最小值为________． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试.在某次测 试中，该校随机抽取了初二年级 50名男生的立定跳远成绩和 50米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于 210 cm的 26名男生中，50米短跑成绩小于等于 7.9 s的有 18人，在立定跳远成绩小于 210 cm 的男生中， 50米短跑成绩大于 7.9 s的有 14人. 高二数学试卷第 页（共 4页）3 单位：人 立定跳远成绩 50米短跑成绩 合计 不大于 7.9 s 大于 7.9 s 不小于 210 cm 小于 210 cm 合计 50 （1）完成列联表，并依据小概率值 0.05  的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与 50米短跑成绩有关； （2）“立定跳远成绩小于 210 cm”且“50米短跑成绩不大于 7.9 s”的人数为m，已知这m人中有 3人喜 爱运动，若从中任取 2人进行调研，设 X表示取出的喜爱运动的人数，求 X的分布列和数学期望. 附临界值表及参考公式：         2 2 ( ) .n ad bc a b c d a c b d        0.10 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 16.（15分）已知 x xaxf 11ln)(  . （1）若 1a ，证明： 0)( xf ； （2）若 )(xf 的最小值为 1 ，求 a. 高二数学试卷第 页（共 4页）4 17.（15分）如图，在四面体 ABCD中， AB BC BD  ， 120CBA DBC    ． （1）证明： BCAD  ； （2）若平面 ABC平面 BCD. ① 求直线 AD与平面 BCD所成角的大小； ② 求平面 ABD和平面 BDC的夹角的余弦值． 18.（17分）已知函数   axxf x  e . （1） 2a 时，求  xfy  在  )0(,0 f 处的切线方程； （2）讨论  f x 的单调性； （3）若   1f x  恒成立，求实数 a的取值范围. 19．（17分）某班举办诗词大赛，比赛规则如下：参赛选手第一轮回答 4道题，若答对 3道或 4道，则通 过初赛，否则进行第二轮答题，第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量，且题目与第一轮的题不同， 若全部答对，则通过初赛，否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛，且甲同学每道题答对的概率均为 1 1 4 p p      .假设甲同学回答每道题相互独立，两轮答题互不影响. （1）已知 1 2 p  . ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率； ②求甲同学答对 1道题的概率. （2）记甲同学的答题个数为 X ，求  XE 的最大值.