精品解析： 2025年浙江省绍兴市嵊州市中考 一模数学试题

嵊州市2025年初中毕业生学业水平调测数学 考生须知： 1.全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3.本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，根据实数的性质以及大小比较的方法进行比较即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：D 2. 下列用七巧板拼成的图案轮廓中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 据某平台统计，2025年“五一”期间，嵊州市网红街“东前街”共接待游客约175000人次．数字175000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：数字175000用科学记数法表示为； 故选C 4. 为纪念“五·四”运动周年，某校举办歌咏比赛，某班演唱后五位评委给出的分数为： ， ，，， ，则这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，根据中位数的定义：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，据此解答即可，掌握中位数的定义及求法是解题的关键．． 【详解】解：由某班演唱后五位评委给出的分数为 ， ，，， ， ∴从小到大排序为 ，， ， ，， ∴这组数据的中位数是 ， 故选： ． 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的加减运算及无理数的估算是解题的关键；由题意可得，然后问问题可求解． 【详解】解：， ∵， ∴的值应在2和3之间； 故选B． 6. 已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 【答案】D 【解析】 【分析】先结合题意作图，再根据菱形的性质求得OD，OA的长，再根据勾股定理求得边长AD的长． 【详解】根据题意作图如下： ∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm， ∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm， 在直角三角形AOD中AD===5cm，故选D. 【点睛】本题考查勾股定理和菱形的性质，解题的关键是掌握勾股定理和菱形的性质. 7. 已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 把m代入一元二次方程 得到，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故选C 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 9. 如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且 ）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（ ） A. E，F，M B. E，F，O C. E，M，O D. F，M，O 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质．比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下时，，根据开口向下，分别利用待定系数法求出函数解析式，进而比较a值即可求解． 【详解】解：由图象知，E，F，M三点组成的二次函数开口向下，； E，F，O三点组成的二次函数开口向下，； E，M，O组成的抛物线开口向上，， F，M，O组成的二次函数开口向上，； 要使a取得最小值，选项C、D不符合题意， 当抛物线过E，F，M三点时，则， 解得； 当抛物线过E，F，O三点时，则， 解得， ∵， ∴当抛物线过E，F，M三点时，a值最小， 故选：A． 10. 如图，在中，，分别以的三边向外作正方形 ，正方形，正方形．连结，若，， （a为常数），则下列各式为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.过点N作，交的延长线于点H，由题意易得，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示： ∵正方形 ，正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 即， ∴是定值； 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式分解因式得出即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键． 12. 一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同. 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可． 【详解】解：一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为； 故答案为：． 13. 《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确找出等量关系是解题的关键．小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据“今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱”即可列出方程组． 【详解】解：小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱， 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，是的直径，弦 于点E，若，连结，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．先利用垂径定理得出 的长，设的半径为r，则，在 中，利用勾股定理求出r的值，据此得出结论． 【详解】解： 是的直径，弦 于点E，， ， 设的半径为r，则， 在 中，，即， 解得， 故答案为：5 15. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由作图方法可知，垂直平分，则由三线合一定理可推出点A在直线上，再分点P在点A下方和点P在点A上方，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴点A在直线上， 如图所示，当点P在点A下方时， ∴， 由作图方法可知 ， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时， 同理可得 由作图方法可知 ， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 16. 如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定的性质、勾股定理，解题的关键是构建相似三角形建立等式进行求解，添加辅助线，证明，设 ，，利用勾股定理解出，再利用三角形相似建立等式求解． 【详解】解：过点作轴的垂线，交于，如下图： 由题意得：，， ， 设 ，， 根据勾股定理：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 解得：， ， 则点， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，有理数的减法，有理数的乘方，零指数幂，熟知以上知识是解题的关键．根据乘方的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简计算即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得； 检验，当时，， 故原方程的解为：． 19. 某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：分钟），结果分为六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生； （2）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 【答案】（1）本次调查共抽取了200名学生 （2）960 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用第4组的人数，除以所占的比例求出调查总人数； （2）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【小问1详解】 解： （名）； 答：本次调查共抽取了200名学生； 【小问2详解】 解：（人）； 答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为960． 20. 随着日新月异的科技发展，越来越多的领域开始使用智能机器人代替人工劳动．某生产车间实行8小时上班制，工人每日上、下午各工作3.5小时，中午休息1小时．机器人刚开始工作时需开机、预热10分钟，之后正常工作．如果每台智能机器人和每名工人工作时间，工作效率不变，一名工人、一台机器人的每日生产的零件y（个）与上班时间x（小时）的函数关系式如图所示． （1）求一名工人每小时能生产零件的个数； （2）当x为何值时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个． 【答案】（1）一名工人每小时能生产零件16个 （2）当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据函数图象可直接进行求解； （2）由图象可得机器人所在函数解析式为，时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为，然后根据题意可进行求解． 【小问1详解】 解：由图象可知： （个）； 答：一名工人每小时能生产零件16个． 【小问2详解】 解：设机器人所在函数解析式为 ，由图象可把点代入得： ， 解得：， ∴机器人所在函数解析式为， 由（1）可知：时间在4.5小时到8小时之间工人所生产的零件数为（个）， 即当 时，则， ∴同理可得：时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为， ∴当时，代入得：，解得：， 不在3.5到4.5之间，所以不符合当工人中午休息时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个； ∴， 解得：； 答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个． 21. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即 于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到 ．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点距离地面的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角形函数的定义是解题的关键； （1）过点作，根据题意得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，在 中，求得的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形， ∴， 在 中， ∴ ∴ 答：点距离地面的高度约为． 22. 八年级教材下册5．1《矩形》的作业题中有如下题目： 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 小嵊同学将该问题输入，给出如下分析： 已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证： ． 证明思路： 延长至点E，使 ，连接， ，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论． （1）请根据提供的思路完成证明； （2）好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E． ①如图2，若 ，D为边的中点，连接， ，求的度数； ②如图3，若 ， ，点F是边中点，连接，求的长． 【答案】（1） 解：如图，延长至点E，使 ，连接， ， ∵D为斜边的中点． ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ， ∴ ． （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）如图，延长至点E，使 ，连接， ，证明四边形为平行四边形，，可得四边形为矩形，再利用矩形的性质证明即可； （2）①如图，连接，证明 ，可得 ， ，可得 ，再结合三角形的外角的性质可得答案； ②如图，取的中点，则 ，证明 是的垂直平分线，是 的中位线，再进一步解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵D为边的中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； ②如图，取的中点，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴ 是的垂直平分线， ∴ ， ∵点F是边中点， ∴是 的中位线， ∵ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的直线，线段的垂直平分线的性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练的利用直角三角形斜边上的直线的性质解题是关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若点，其中． ①若的最大值是1，求m的值； ②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为． （2）①；②或． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，包括二次函数的顶点式、对称轴、单调性，以及利用这些性质求函数最值和根据函数值大小关系求解参数范围．解题关键在于熟练掌握二次函数顶点式的运用，准确分析对称轴与给定区间的位置关系，根据函数单调性判断最值情况，对于根据函数值大小列不等式求解参数范围的问题，要结合变量的取值范围进行分析． （1）先将代入二次函数表达式，再通过配方法将二次函数化为顶点式（为顶点坐标），从而得到顶点坐标． （2）①先将二次函数化为顶点式，确定其对称轴，再根据，结合二次函数的性质（时，开口向上，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增 ）来确定取最大值的情况，进而求出的值． ②先分别求出和的表达式，再根据列出不等式，结合的取值范围求解的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，函数变为 ∴． ∴． ∴该二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴其对称轴为直线， ∵二次项系数， ∴函数图象开口向上． ∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值． 比较端点与的距离为，端点 与的距离为， ∴当时，取得最大值． 把代入函数中，可得，即． ∵的最大值是， ∴， 解得． ②∵点在抛物线上， ∴． ∵点在抛物线上，且， ∴． ∵对于，，都有， ∴．的取值范围是， ∴在取值范围内的最大值在或处取得． 当时，； 当时，， ∴最大值为． ∴，移项化为． 对于一元二次方程， ， ∴，． ∵， ∴或． 24. 已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结 ． （1）若，求的度数； （2）如图2，连结，将沿着对折，得到 ，交于点N． ①若，求的度数； ②求 的最小值． 【答案】（1） （2）① ；② 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求解； （2）①由折叠的性质得：，设，则，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解； ②仿照①的思路先证明，可得当与圆O相切时，最小，则最小，此时 取得最小值，连接，根据切线长定理可得，由折叠的性质得：，可证得四边形是菱形，从而得到垂直平分，再由 ，可得点M在上，在中，根据勾股定理可得，，从而得到，再根据，可得，再利用锐角三角函数可得的长，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解∶ ①由折叠的性质得：， 设，则， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由折叠的性质得：， 设，则， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当与圆O相切时，最小，则最小，此时 取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴与圆O相切， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵ ， ∴点M在上， ∵正方形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，折叠问题，切线长定理，解直角三角形等知识，问题（2）的②仿照①的思路证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嵊州市2025年初中毕业生学业水平调测数学 考生须知： 1.全卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间120分钟． 2.答题时所有试题卷的答案请填在答题卷相应的位置上，做在试题卷上无效． 3.本次考试不使用计算器． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列用七巧板拼成的图案轮廓中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据某平台统计，2025年“五一”期间，嵊州市网红街“东前街”共接待游客约175000人次．数字175000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为纪念“五·四”运动周年，某校举办歌咏比赛，某班演唱后五位评委给出的分数为： ， ，，， ，则这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 6. 已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（ ） A. 10cm B. 8cm C. 6cm D. 5cm 7. 已知m是一元二次方程 的一个根，则代数式的值为（ ） A. 2027 B. 2028 C. 2029 D. 2030 8. 如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且 ）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（ ） A. E，F，M B. E，F，O C. E，M，O D. F，M，O 10. 如图，在中，，分别以的三边向外作正方形 ，正方形，正方形．连结，若，， （a为常数），则下列各式为定值的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同. 从袋中任意摸出一个球是红球的概率为______． 13. 《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱．问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是______． 14. 如图，是的直径，弦 于点E，若，连结，则的长为_____． 15. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于 长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是______． 16. 如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是______． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：分钟），结果分为六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生； （2）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 20. 随着日新月异的科技发展，越来越多的领域开始使用智能机器人代替人工劳动．某生产车间实行8小时上班制，工人每日上、下午各工作3.5小时，中午休息1小时．机器人刚开始工作时需开机、预热10分钟，之后正常工作．如果每台智能机器人和每名工人工作时间，工作效率不变，一名工人、一台机器人的每日生产的零件y（个）与上班时间x（小时）的函数关系式如图所示． （1）求一名工人每小时能生产零件的个数； （2）当x为何值时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个． 21. 如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即 于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求： （1）的度数； （2）点距离地面的高度．（结果精确到 ．参考数据：，，） 22. 八年级教材下册5．1《矩形》的作业题中有如下题目： 利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 小嵊同学将该问题输入，给出如下分析： 已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证： ． 证明思路： 延长至点E，使 ，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论． （1）请根据提供的思路完成证明； （2）好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E． ①如图2，若 ，D为边的中点，连接， ，求的度数； ②如图3，若 ， ，点F是边中点，连接，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）若点，其中． ①若的最大值是1，求m的值； ②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围． 24. 已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结 ． （1）若，求的度数； （2）如图2，连结，将沿着对折，得到 ，交于点N． ①若，求的度数； ②求 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $