精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高三下学期三诊考前热身训练（4月）数学试题

四川川省江油中学2022级高三下期三诊考前热身训练 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用并集、交集的定义求得答案. 【详解】由，得或，则或， 而，所以. 故选：D 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：利用向量平行、垂直的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解； 解法二：设，，，其中为坐标原点，由可得出，由可得出，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 【详解】因为向量，，， 解法一：因为，则，① 又因为，则，②， 由①②可得，，故. 解法二：在平面直角坐标系内，不妨设，，，其中为坐标原点， 因为向量，，，即、、， 由可得，即，可得，① 由可得，且，则，② 由①②可得，，故. 故选：D. 3. 若实数数列：，a，b，m，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求出，，再根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为 d， 由题意得，数列首项，第5项， 由等差数列通项公式得，解得， 第二项，第三项， 所以圆锥曲线的方程为，为双曲线， 所以离心率. 故选 ：D. 4. 直三棱柱中，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点,连接.先证明就是异面直线与所成的角或补角.再求出，即得异面直线与所成的角. 【详解】 如图，取的中点,连接. 因为，，， 所以,所以. 因为, 所以, 所以就是异面直线与所成的角或补角. 因为, 所以, 因为,所以, 在中，由余弦定理得. 因为, 所以 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 5. 已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由知OA⊥OB，△OAB为等腰直角三角形，底边上的高即为圆心到直线的距离，再利用点到直线距离的距离公式可求出m的值，根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】方法1：由知，圆心到直线的距离为，即，即，则“”是“”的必要不充分条件. 方法2：设，联立，化为， ，解得，， ∵，∴，， ，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果. 【详解】由题意得，的定义域为， ∵，∴为奇函数， ∵，且在上为减函数， ∴在上为增函数. ∵，∴， ∴，解得，即的取值范围为. 故选：B. 7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象求得函数的解析式，利用对称性可求得的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可知，，，， 此时，又， 则，即， 又，所以，所以， 由图可知，若，且， 则，即， 所以. 故选：A. 8. 设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，椭圆的左焦点为，利用三角形三边关系求出的取值范围，即可得出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由题意可知，椭圆的左焦点为，由椭圆的定义可得， ，即，解得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 又因为， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立（此时点与图中的点重合）， 所以，解得，所以， 因此，. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 【答案】BC 【解析】 【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D. 【详解】对于A，平均成绩为，A错误； 对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确； 对于C，分数在区间内的频率为，C正确； 对于D，区间应抽取人，D错误. 故选：BC 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，得到其在复平面的点坐标，设，证明，从而得到点的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可. 【详解】设，则复数在复平面内对应点，设， 则，同理， ∴，即点的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴，焦半径， ∴短半轴，∴点的轨迹方程为：， A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：若，即，令，则，∴，C选项正确； D选项：，若，则或，当时，，此时；当时，，此时，D选项错误. 故选：ABC. 11. 设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则下列说法正确的有（ ） A. 点在上 B. 将在轴上方的部分看作函数的曲线，则是的极小值点 C. 在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为有理数 D. 在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设将代入曲线方程可判断A的正误，通过的导数，然后求解的解，可判断B的正误，求出切线方程与曲线方程联立，可判断C的正误，设曲线上的点为，则到原点的距离可化简为，构造函数求出最小值与比较,可判断D的正误. 【详解】对于A，将点代入曲线方程中，得到，即，所以点在上，因此，选项A正确; 对于B，由于曲线在轴上方的部分是函数的曲线，则，当时，得到， 因此，不是的极小值点，所以，选项B是错误的； 对于C，由B中可知，， 则以为切点的切线方程为，即. 将切线方程代入曲线方程中，得到：，即， 显然是方程的根，， 解得：或，因此，选项C正确； 对于D，设的解为，， . 当时，，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， ，， ，， 所以， 设曲线上的点为，设的解为， 则，则， 到原点的距离为， 由可得， 令， ，令，解得：， 因为，所以取， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， ， ， 所以当时，，，选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数． 【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•x6﹣2r， 令6﹣2r＝2，求得r＝2，故展开式中x2的系数为15， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题． 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 【答案】40 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型及已知可得，再令求即可. 【详解】由题设，有，可得， 令，可得. 故答案为： 14. 已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由几何关系确定，再列出圆台的表面积公式，构造函数，利用导数求函数的最值. 【详解】作出圆台与内切球的轴截面如图，过作于点，易得， ，， 则，则，同理得， 则在中，，解得， 因为，所以，所以圆台的表面积， 设， 所以，所以， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以当且仅当时，取得最小值为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2018年到2024年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 不低于600分的人数y（单位：人） 29 33 36 44 48 52 59 （1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2025年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数； （2）今有A、B、C三位同学报考该校，已知A、B被录取的概率均为，C被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此3人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望． 参考公式：． 参考数据：，． 【答案】（1）； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出关于的回归直线方程，再将代入回归直线方程，即可得出结论； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出. 【小问1详解】 根据表中数据，计算可得，， ， 又，， 则， 关于的回归直线方程为， 令，可得， 即该高校年所招的学生高考成绩不低于分的人数预测值为人； 【小问2详解】 由条件可知，的所有可能取值为， ， ， ， ， 的分布列如下表所示： . 16. 记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. （1）求； （2）若，求线段的长. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得，再利用余弦定理得，最后再利用正弦定理解三角形即可； （2）根据正弦定理得，再求出，最后余弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即. 由余弦定理可得，又，所以. 在中，由正弦定理可得， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 又，所以. 因为，所以为锐角，则为钝角， 所以. 在中，由余弦定理可得， 即， 即，解得(负值舍去). 故线段的长为3. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是先利用正弦定理得，再求出，最后利用余弦定理得到关于的方程，解出即可. 17. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）(ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义运算证明； （2）利用错位相减法求出，代入可得，对分类讨论，利用数列的单调性即可得出. 【小问1详解】 ， ，又， 所以， 又， ， 数列中任意一项不为0，， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则. . 【小问2详解】 (ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为， 所以①，②， 所以①-②可得： ， 所以. . (ⅱ)由，得，化简得. 当为奇数时，有，即，而，所以； 当为偶数时，有，而，所以. 综上，的取值范围为. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：． 【答案】（1） （2）时，在递减；时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）证明：当时，， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又，是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证， 因为，且在上单调递减， 从而只需证即可. ， 令， ，在上单调递增. ，即，即. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再求切线方程即可； （2）求出导函数，讨论、，分别根据导函数符号分析函数的单调性即可； （3）结合（2）易得是是的一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而构造函数，利用导数证明即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以，当时，， 则，即，， 故当时，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 由， 则， 当时，，在上， 所以在递减； 当，， 令，则； 令，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 略 19. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 【答案】（1） （2）①； ②由题意得． ， 当时，， 当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为， 设点的坐标分别为， 联立得， 则， 因为，所以，得， 所以， ， 综上所述，三棱锥的体积为定值． 【解析】 【分析】（1）先根据倾斜角得出点的坐标，再应用两点间距离求出，进而得出抛物线； （2）①联立方程得出点的坐标，再应用空间向量法计算线面角正弦即可；②应用三棱锥体积公式结合三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 当时，，所以点的坐标为， 因为，所以， 解得， 所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为， 联立 所以点的坐标分别为． 过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则， 当二面角的大小为时，点，即， 所以， 设平面的法向量为， 则即解得取，得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川川省江油中学2022级高三下期三诊考前热身训练 数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若实数数列：，a，b，m，7成等差数列，则圆锥曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 直三棱柱中，分别是和的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与圆相交于A，两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分 B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分 C. 分数在区间内的频率为0.2 D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人 10. 已知复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 设计一个实用的门把手，其造型可以看作图中的曲线的一部分，则下列说法正确的有（ ） A. 点在上 B. 将在轴上方的部分看作函数的曲线，则是的极小值点 C. 在处的切线，其与的交点的横纵坐标均为有理数 D. 在轴左边的部分到坐标原点的距离均大于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含的项的系数是______． 13. 通过实验数据可知，盛于某容器中的某液体的蒸发速度y（单位；升/小时）与液体所处的环境温度t（单位：℃）近似满足函数关系（e为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在环境温度为10℃时的蒸发速度是0.2升/小时，在环境温度为20℃时的蒸发速度是0.4升/小时，则该液体在环境温度为______℃时的蒸发速度为1.6升/小时． 14. 已知半径为1的球内切于上、下底面半径分别为，的圆台，若，则圆台表面积的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校为了加快打造一流名校步伐，生源质量不断改善．据统计，该校2018年到2024年所招的学生高考成绩不低于600分的人数y与对应年份代号x的数据如下： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 不低于600分的人数y（单位：人） 29 33 36 44 48 52 59 （1）若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2025年该校所招的学生高考成绩不低于600分的人数； （2）今有A、B、C三位同学报考该校，已知A、B被录取的概率均为，C被录取的概率为，且每位同学是否被录取相互不受影响，用X表示此3人中被录取的人数，求X的分布列与数学期望． 参考公式：． 参考数据：，． 16. 记的内角的对边分别为，如图，已知，点在边上，. （1）求； （2）若，求线段的长. 17. 已知数列满足，（），记． （1）求证：是等比数列； （2）设，数列的前n项和为. (ⅰ)求． (ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：． 19. 如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，． （1）求抛物线的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为． ①若，求直线与平面所成角的正弦值； ②证明：三棱锥的体积为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $