精品解析： 2025年河北省石家庄市四区联考中考模拟数学试题

2025年河北中考预测卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 5与 B. 与4 C. 与 D. 8与 2. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 国家统计局在2025年2月28日发布了《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》，公报指出，2024年全年出生人口954万人，将数据9540000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（ ） （1）在直线上取两点，连接； （2）分别以点和点为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，则即为所求． A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 平行公理 D. 平行四边形的性质 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 10. 如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 11. 已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（ ） A. 该函数图像的对称轴为直线 B. 若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C. 函数在处取得最值 D. 无论m取何值，均满足 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 12. 因式分解：______． 13. 已知且，则的最小值为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 15. 如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 17. 如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． （1）正确化简 ． （2）求图中被污染的x的值． 18. 为举行校庆，某校在全校学生中随机抽取部分学生开展“我最喜爱的校庆活动”问卷调查．问卷要求学生从“文艺表演”“体育竞赛”“科技展览”“书画展览”这四个项目中，选出一项自己最喜爱的活动．以下是依据调查结果绘制的不完整的统计图表． （1）本次共抽取的学生人数为 人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“文艺表演”部分所对应扇形的圆心角度数是 °； （4）若该校共有学生人，请估计全校最喜爱活动“体育竞赛”的学生人数． 19. 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． （1）求的度数，并求的长； （2）求弧的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． （1）求直线的表达式和线段的长度； （2）连接线段，求的值； （3）设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 21. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 22. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 23. 已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点． （1）当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明； （2）当点与点重合时，求的长； （3）当取最大值时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北中考预测卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 5与 B. 与4 C. 与 D. 8与 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，化简绝对值，有理数的乘方计算，先化简多重符号和绝对值，以及计算有理数的乘方，再根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0进行判断即可． 【详解】解：A. 5与不互为相反数，不符合题意； B. 与4不互为相反数，不符合题意； C. 与互为相反数，符合题意； D. 8与不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：C． 3. 如图是由五个小正方体组成的几何体，若要在图中序号所在的位置上添加一个小正方体，使得添加后该几何体的主视图和左视图均保持不变，则添加的位置应在（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是从几何体的左面看到的图形，主视图是从几何体的正面看到的图形是解题的关键．结合每个选项的添加的位置，分析几何体的主视图和左视图的变化，即可作答． 【详解】解：A、若添加的位置在①，则该几何体的主视图不变，左视图变了，故该选项不符合题意； B、若添加的位置在②，则该几何体的主视图和左视图都不变，故该选项符合题意； C、若添加的位置在③，则该几何体的左视图不变，主视图变了，故该选项不符合题意； D、若添加的位置在④，则该几何体的主视图和左视图都变了，故该选项不符合题意； 故选：B 4. 国家统计局在2025年2月28日发布了《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》，公报指出，2024年全年出生人口954万人，将数据9540000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 故选：C． 5. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程根与系数的关系，先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ， 故选：C． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设木长尺，根据题意得， ， 故选：A 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图，嘉嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可以直接判定两直线平行的依据是（ ） （1）在直线上取两点，连接； （2）分别以点和点为圆心，和为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接，则即为所求． A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 平行公理 D. 平行四边形的性质 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，根据题意证明四边形是平行四边形，进而得到，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：根据作图可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴可以直接判定两直线平行的依据是平行四边形的性质， 故选：． 9. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为（ ） A. 8 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键. 过点作，垂足为，先求得，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可. 【详解】解：过点作，垂足为，如图， 四边形为矩形， ， ， ， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 10. 如图，点A，B在x轴正半轴上（点B在点A的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象经过的中点E，与边交于点F，作轴于点M，轴于点N．若阴影部分（四边形）的面积等于，则k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，设，得以得到点，然后可以得到，然后得到点F的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵三角形，三角形是等腰直角三角形， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴． 故选D． 11. 已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（ ） A. 该函数图像的对称轴为直线 B. 若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C. 函数在处取得最值 D. 无论m取何值，均满足 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：二次函数（）的图像经过，两点， 该函数图像的对称轴为直线，故A选项说法正确，不符合题意； 函数在处取得最值，故C选项说法正确，不符合题意； 对称轴， ， 代入到，得， ，故D选项说法正确，不符合题意； 若，当时，随的增大而减小；若，当时，随的增大而增大； 若为该函数图像上的点，当时，不一定成立，故B选项说法错误，符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．） 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，先提取公因式再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 13. 已知且，则的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方及其逆运算，解一元一次不等式，同底数幂乘法计算，先根据得到，进而得到，则，再根据，得到，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 所以，即． 因为， 所以， 所以． 所以， 所以的最小值为10． 故答案为：10． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点C、D分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，，将绕O点顺时针旋转一周，当与平行时，点C的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出，再由勾股定理得，可推出，求出，再求出，再由旋转的性质及平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：点，点， ， ， ， ，， ， ， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，，过点C作轴于H，设交轴于点； ， ， ， ， ， ， 点C的坐标为， 如图，将绕O点顺时针旋转到如图位置时，， 此时，点C与点关于原点对称， 点的坐标为， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了图形的旋转，坐标与图形的性质，勾股定理，平行线的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握图形的旋转，坐标与图形的性质， 15. 如图，在正方形中，点B、D的坐标分别是，，点C在抛物线的图象上，则b的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是，， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 甲、乙两人输入相间的值，分别按图所示的两条运算程序依次计算，所得结果大者胜出． （1）当甲得到的计算结果为时，求的值以及乙的计算结果； （2）若甲胜出，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，代数式求值，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）根据运算程序列出方程，得出的值，进而代入乙的运算程序进行计算即可求解； （2）根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意， 解得： 乙的计算结果为： 【小问2详解】 解：依题意， ∴ ∴ 解得：． 17. 如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的． （1）正确化简 ． （2）求图中被污染的x的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查整式的化简求值和解分式方程， （1）通分、化简后，即可得出结论； （2）利用原式，解分式方程可得出x的值，检验后即可得出结论． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴图中被污染的x的值为5． 18. 为举行校庆，某校在全校学生中随机抽取部分学生开展“我最喜爱的校庆活动”问卷调查．问卷要求学生从“文艺表演”“体育竞赛”“科技展览”“书画展览”这四个项目中，选出一项自己最喜爱的活动．以下是依据调查结果绘制的不完整的统计图表． （1）本次共抽取的学生人数为 人； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“文艺表演”部分所对应扇形的圆心角度数是 °； （4）若该校共有学生人，请估计全校最喜爱活动“体育竞赛”的学生人数． 【答案】（1） （2） 补全统计图如下： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形圆心角度数，解题的关键是数形结合． （1）用“书画展览”的人数除以其百分比即可求解； （2）求出“科技展览”的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以“文艺表演”的占比，即可求解； （4）用乘以“体育竞赛”的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次共抽取的学生人数为（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 “科技展览”的人数为（人）。 【小问3详解】 “文艺表演”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 （人）， 全校最喜爱活动“体育竞赛”的学生人数为人． 19. 如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． （1）求的度数，并求的长； （2）求弧的长； （3）若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，求鱼缸内水的深度． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，连接．根据垂径定理及其推论，特殊角的三角函数，求的度数，的长即可． （2）根据求得，得到优弧所对的圆心角为，利用弧长公式求弧的长即可． （3）分圆心在水面上方和下方两种情形分类讨论即可． 【小问1详解】 解：如图，设圆心为，连接． 点在弧的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， 优弧所对的圆心角为． ， ，． 在中， ， ， 弧的长为． 【小问3详解】 解：①当圆心在水面上方，水面宽为时， 则，． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设，由（2）得，即圆的半径为25， ，则， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ，即鱼缸内水的深度为； ②当圆心在水面下方，水面宽为时， 则， ． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ， ， 即鱼缸内水的深度为； 故鱼缸内水深为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数的应用，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理，弧长公式是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点和点，点． （1）求直线的表达式和线段的长度； （2）连接线段，求的值； （3）设线段与x轴交于点 P，如果点C在x轴上，且 与 相似，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求直线的表达式，利用两点间距离公式求线段的长度； （2）先求出的长度，利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，则； （3）分两种情况，当时，，过点B作轴于点Q，根据求解；当时，，此时点C与点P重合． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， 将和代入，得：， 解得， 设直线的表达式为， ，， ； 【小问2详解】 解：如图， ，， ， ，， ， ， 是直角三角形， ； 【小问3详解】 解：由（1）知直线的表达式为， 令，得，解得， ， 当时，，如图，过点B作轴于点Q， ， ，， ， ， 由（2）知，即， ，即， ， ， ； 当时，，此时点C与点P重合， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，两点间距离公式，求角的正切值，勾股定理的逆定理，相似三角形的性质等，能够综合应用上述知识点，以及分类讨论思想是解题的关键． 21. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，O为的中点．以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴．建立平面直角坐标系．根据设计要求：抛物线底面宽度．该抛物线的顶点P到的距离为． （1）求抛物线的解析式： （2）现需在这一隧道内壁上同一高度安装照明灯，即在该抛物线上的点处分别安装照明灯．已知照明灯的水平距离为，求照明灯距地面的高度； （3）如图，隧道上方还需安装一块高度为，宽度为的电子显示屏．为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少，并且距左右墙壁需各留至少的安全距离．能否满足安装设计要求？________（填“能”或“不能”）． 【答案】（1） （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数的解析式，矩形的性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设抛物线的解析式为，再结合抛物线底面宽度米，且O为的中点，得出点的坐标分别为，代入求解即可作答． （2）由二次函数的图象性质得点M的横坐标为，点N的横坐标为5，代入，进行计算即可作答． （3）先作图，延长交抛物线于一点，，则，将其代入求出，在得出点F到地面距离与比较即可得出结论． 【小问1详解】 由题意，设该抛物线的解析式为， ，O为AB的中点，， 点A，B的坐标分别为， 把代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 照明灯M，N的水平距离为10m，且位于同一高度， 点M的横坐标为，点N的横坐标为5， 当时，， 照明灯距地面的高度为； 【小问3详解】 能满足安装设计要求，理由如下： 依题意，电子显示屏是矩形， ∴（米）， （米）， 如图：延长交抛物线于一点，设， ∵电子显示屏，为确保行车安全， 距左右墙紧需各留至少1米的安全距离， ∴令， 则， 把代入中， ， ∴点F到地面距离为 (米)， ∵， ∴满足安装设计要求． 23. 已知四边形是平行四边形，，点是边上一个动点，连接，沿将翻折至（如图1），所在的直线与交于点． （1）当点落在上时（如图2），判断四边形的形状，并证明； （2）当点与点重合时，求的长； （3）当取最大值时，求此时的长． 【答案】（1）四边形是菱形， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠的性质即可证明四边形是菱形． （2）过作，交的延长线于，依据中，，列方程求解即可得出结论； （3）依据，可知，当最短时，最大，进而得出当时，有最大值．依据中，，列方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，过作，交的延长线于， 设，则， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 【小问3详解】 解：如图所示，由折叠可得， ∵， ， ， ， ， ∴当最短时，最大， ∴当时，最短，有最大值， 由（2）可得与之间的距离为， ∴当时，， 设，则， 由折叠可得， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定，解一元二次方程，平行四边形的性质以及勾股定理的综合运用，解题的方法是设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $