精品解析：2025年广东省肇庆市高要区中考二模数学试题

2025年学业水平检测（二） 数学科 2025 05 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必认真核对条形码上姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 7 C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 年月日，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球总票房约元．目前这一数据约是以上数据的倍，则目前《哪吒之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 6. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 数据17，15，16，17，15的中位数是______． 12. 关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 13. 计算：＝_______． 14. 若点，，在二次函数图象上，则，，的大小关系是______． 15. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的______，______； （2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员______发挥的稳定性最好；（填甲或乙或丙） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 18. 如图，点E为平行四边形对角线BD上一点． （1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证： 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 20. 【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5． 依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0121 0.098 0.081 请你协助小青完成以下任务． （1）求当时，d为何值？（参考数据：） （2）根据表格数据，d随n的变化情况为________；当车轮设计成圆形时，________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形． （3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？ 21. 滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等． （1）求甲、乙两种树苗每株的价格； （2）现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？ 五、解答题（22题13分，24题14分，共27分） 22. [问题提出] （1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段长度的最大值是______． [问题探究] （2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求长度的最大值． [构建联系] （3）如图3，某植物园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 23. 知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年学业水平检测（二） 数学科 2025 05 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必认真核对条形码上姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一项是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的绝对值．掌握0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数是解题关键．根据0和正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是这个数的相反数解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判定，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念． 利用轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意； C. 该选项图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意； D. 该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，幂的运算，合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用合并同类项，积的乘方，幂的乘方，单项式乘多项式，同底数幂的乘法等运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， , ， ∵， ∴， 故选：C． 5. 年月日，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》在全球总票房约元．目前这一数据约是以上数据的倍，则目前《哪吒之魔童闹海》全球总票房用科学记数法表示约为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 6. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用正方形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：根据正方形性质和勾股定理可得，大正方形的边长为， 故选：C． 7. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将开关依次编号为， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种， 使得小灯泡能发光概率为， 故选：C． 8. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 所以原分式方程的解为， 故选：B． 9. 小明将三角形纸片按下列图示方式折叠，则纸片有一部分会重叠四层，将这部分图形完全展开，得到的平面图形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定等知识点，熟练掌握折叠问题是解题的关键． 由折叠的性质可知，重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等，由此即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质可知：重叠四层的这部分图形（四边形）完全展开后，其各边的长均相等， 得到的平面图形一定是菱形， 故选：． 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．则不等式的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数的解析式，利用待定系数法求出直线的解析式为，根据解析式可以求出当时，，由图象可知，一次函数的随增大而减小，所以当时，． 【详解】解：直线经过点和， 可得：， 解得：， 为， 当时，， 一次函数与的交点坐标是， 由图象可知，一次函数的随增大而减小， 当时，． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 数据17，15，16，17，15的中位数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，把一组数据按照一定的顺序排列，处在最中间的那个数据或最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：15，15，16，17，17，处在最中间的是16， ∴中位数是16， 故答案为：16． 12. 关于的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组的解集，由数轴可得，两个不等式的解集分别为，，从而即可求出解集，读懂图形是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 计算：＝_______． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 14. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，则线段的长度为______． 【答案】或或． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定，勾股定理，分当为直角顶点时，当为直角顶点时和当为直角顶点时三种情况求解即可，掌握知识点的应用及分情况讨论是解题的关键． 【详解】解：当直角顶点时，与重合，如图， 此时； 当为直角顶点时，过作于，如图， 由旋转性质可得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 解得； 当为直角顶点时，如图， 此时共线， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的化简，求一个数的绝对值，零指数幂，负整数指数幂等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用二次根式的化简，求一个数的绝对值，零指数幂，负整数指数幂等的运算法则逐步进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三名队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩表中的______，______； （2）已知甲、乙、丙三名队员成绩的方差分别为，，，那么队员______发挥的稳定性最好；（填甲或乙或丙） （3）如果教练需要推荐一名队员参加比赛，甲、乙、丙三名队员中，你认为推荐哪位队员更合适？请用你所学过的统计知识加以分析说明． 【答案】（1）7,7 （2）乙 （3）推荐乙队员更合适，说明见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、折线统计图和统计表的结合，平均数，众数，根据方差做决策，解题的关键是熟练掌握以上公式和概念． （1）利用平均数和众数的公式和概念进行求解即可； （2）利用方差的意义进行选择即可； （3）利用平均数和方差做决策即可． 【小问1详解】 解：运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则， ∴， 解得， 故答案为：7，7； 【小问2详解】 解：根据方差的意义，方差越小数据波动越小，发挥就越稳定， ∵ ∴队员乙发挥的稳定性最好， 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：推荐乙队员更合适，理由如下： ， 通过平均数来看选择乙和丙， 又∵，，即，队员乙发挥的稳定性最好， ∴推荐乙队员更合适． 18. 如图，点E为平行四边形对角线BD上一点． （1）用尺规作图法作点F为线段BD上的点．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）连接CE，若经过A、C、E三点的圆也经过点F，求证： 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，熟练掌握相关性质是关键． （1）按照角的作图方法解答即可； （2）证明连接，证明，得到，证明四边形是平行四边形，证明四边形是圆内接四边形，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的图形. 【小问2详解】 证明：连接， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 经过三点的圆也经过点， 四边形是圆内接四边形， ， ， . 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； 【小问2详解】 解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 20. 【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5． 依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表： n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 d 1.000 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081 请你协助小青完成以下任务． （1）求当时，d为何值？（参考数据：） （2）根据表格数据，d随n的变化情况为________；当车轮设计成圆形时，________．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形． （3）若路面如图6形状，可看成由半径为2一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？ 【答案】（1）0.586 （2）d随n的增大而减小；0 （3）36 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，求得，进一步得出结果； （2）根据表格数据解答即可； （3）先求出对应的圆心角的度数，再求正多边形的边数． 【小问1详解】 当时， ∵点C为的中点 ∴ ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形 在中， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 根据表格数据，d随n的变化情况为d随n的增大而减小；当车轮设计成圆形时，． 故答案为：d随n的增大而减小；0； 【小问3详解】 设对应的圆心角为 ∵长为 ∴ ∴ ∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形． 【点睛】本题考查了等要三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 21. 滚滚西江，浩浩荡荡至此．一座古老的村庄，一座饱经风雨的天主教堂，以及流传了多年的故事，让上清湾村充满了神秘色彩．为响应国家的美丽乡村十百千万工程建设，打造网红打卡点，推动乡村振兴，上清湾村计划打造特色旅游项目；现需要购买甲、乙两种树苗进行栽植．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的株数与用元钱购买乙种树苗的株数刚好相等． （1）求甲、乙两种树苗每株的价格； （2）现上清湾村计划购买甲、乙两种树苗共株．调查统计发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为和，要使这批树苗的成活率不低于，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？ 【答案】（1）甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元； （2）购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程，不等式，函数关系式是解题的关键． （）设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元，由题意得，然后解方程并检验即可； （）设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗费用为元，根据题意得，，然后解出不等式，再根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种树苗每株的价格为元，则乙种树苗每株的价格为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解且符合题意， ∴乙种树苗每株的价格为元， 答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元； 【小问2详解】 解：设购买甲种树苗株，则购买乙种树苗株，购买树苗的费用为元， 由题意得：， 解得：， 根据题意得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最低，为（元）， 答：购买甲种树苗株，乙种树苗株时费用最低，最低费用是元． 五、解答题（22题13分，24题14分，共27分） 22. [问题提出] （1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段长度的最大值是______． [问题探究] （2）如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求长度的最大值． [构建联系] （3）如图3，某植物园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）当C在线段延长线上时，最大，即可； （2）连接并延长交半圆O于F，当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值，在中，求出即可得到答案； （3）作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，在中，求出，再在中，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）当C在线段延长线上时，最大， 此时， 即的最大值为3； 故答案为：3； （2）解：连接并延长交半圆O于F，如图： ∵以正方形的边为直径作半圆O，正方形的边长为， ∴， 当E运动到F时，最大，的长度即是的最大值， 在中，， ∴， 即最大为； （3）解：作的垂直平分线，在下方作，射线交于O，以O为圆心，为半径作，连接、连接并延长交于P，则为满足条件的小路，过A作于F，如图： ∵，， ∴， 在中，， ， ∵垂直平分，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴米． 即小路的长度最大为米． 【点睛】本题考查圆的综合知识，涉及正方形、勾股定理等，解题的关键是构造符合条件的图形． 23. 【知识技能】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，若，求证：． 【迁移应用】 （2）如图2，在中，，，点E，F分别是边上的点，连接与交于点O，且，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，点E是边上的一点，连接与交于点O，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，同角的补角相等，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，求得，得到，即可解答； （2）根据补角的性质得到，根据相似三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （3）过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形，得到，，，同（2）可得，在上取一点P使得，连接，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，得到，， 求得，根据相似三角形的性质得到，设 ，则，，得到 ，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴的值为； （3）如图所示，过点C作，交延长线于N，过点D作，交延长线于M，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（2）可得， ∵， ∴设，， 在上取一点P使得，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$