精品解析：2025年吉林省长春市九台区中考第二次模拟数学试题

2025年长春市九台区初中毕业生模拟考试 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 已知算式 □的值为 ，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A. 9 B. C. D. 3. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 4. 如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜 和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 6. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，，将 绕点 逆时针旋转得到，点 ， 的对应点分别是，，边经过点 ，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 因式分解______． 10. 已知 是一元二次方程的一个根，则的值为________． 11. 如图，大正方形面积为，小正方形的面积为 ，则阴影部分的面积是（    ） A. B. C. D. 12. 用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为________． 13. 某同学用图1的六个全等 纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个 纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为________． 14. 如图，是 的直径，点C是 上一点， 与过点C的切线垂直，垂足为D，直线 与 的延长线交于点P，弦 平分，交 于点F，连接，下列四个结论： ① 平分； ②； ③若，则阴影部分的面积为； ④若，则； 其中，所有正确结论的序号是 ___________． 三、解答题（本大题共78分） 15. 先化简，再求值：，其中 ． 16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 17. 一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？ 18. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD 求证：四边形ADCE是矩形. 19. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，其顶点称为格点，的顶点均在格点上 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中 的边 上确定一点 ，使； （2）在图②中的边 上确定一点 ，连接 ，使； （3）在图③中先确定线段的中点 ，再在的边上确定一点 ，点 不与点 重合，连接 ，使． 21. 一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 （1）试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； （3）按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 22. 【问题原型】如图①，菱形的边长为6，，点P在直线 上移动．试探究的值最大时点P的位置． 【问题探究】 如图②，梦琪同学的探究步骤如下： 1．射线 上取点 ，使，构造，从而将转化为，因为 是定值6，这样就将双变量（）问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题； 2．进一步发现当时，总有，进而可知，连接，因为四边形是菱形，，可知，即，可知点C、E始终在的外接圆上（定弦定角必定圆）．以下是梦琪同学证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，，又∵， ∴．∴ ∵四边形是菱形，∴ ，且． 证明过程缺失 ∴．请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点 的轨迹圆，并标出圆心O，则的最大值是________．（保留作图痕迹） 23. 在边长为4的正方形 中，点P是线段 上一动点，取 中点O，连接 并延长，使，连接 ，以 为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在 的同侧，连接． （1）如图，当点P不与点B重合时，求证：； （2）连接 ，当是直角三角形时，求 的长； （3）线段的最小值为________； （4）四边形的最大面积为________，此时线段的长度为________． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段 关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段 与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年长春市九台区初中毕业生模拟考试 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. 已知算式 □的值为 ，则“□”内应填入的运算符号为（ ） A. ＋ B. － C. × D. ÷ 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数相加为0判断即可． 【详解】解：∵， ∴“□”内应填入的运算符号为＋， 故选：A． 【点睛】题目主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 2. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 3. 如图是某几何体的展开图，则此几何体是（ ） A. 五棱柱 B. 五棱锥 C. 六棱柱 D. 六棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的展开图，熟记几种几何体的展开图是解题的关键． 根据简单几何体的展开图求解即可． 【详解】解：几何体的展开图为长方形和六边形，据此可判断该几何体为六棱柱，即C正确． 故选：C． 4. 如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜 和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由光线的反射角等于入射角得出，，，由平角的定义和三角形内角和定理求出即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，，，； 由三角形内角和定理和平角的定义得； 故选：D． 5. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ） A. 米 B. 4sinα米 C. 米 D. 4cosα米 【答案】B 【解析】 【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 6. 将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 7. 如图，在 中，，将 绕点 逆时针旋转得到，点 ， 的对应点分别是，，边经过点 ，若，则 的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上知识点； 由旋转的性质可得，由外角的性质和等腰三角形的性质可得． 【详解】解：∵将 绕点 逆时针旋转得到， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小． 【详解】解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小， 反比例函数的图象上有，两点， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 故选：A． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 10. 已知 是一元二次方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，再整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 11. 如图，大正方形面积为，小正方形的面积为 ，则阴影部分的面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根和三角形的面积和二次根式的混合运算，掌握算术平方根和二次根式的运算是解题的关键． 由题意得出大、小正方形的边长，再求出，利用三角形的面积公式表示出阴影部分面积，再代入数据，利用二次根式混合运算化简，即可得出答案． 【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为 ， ∴大正方形边长 为，小正方形的边长 为， ∴， ． 故选：C． 12. 用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，设需要x张做盒身，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际配套问题．已知共有张硬纸板，设 张做盒身，则张做盒底．因为 个盒身与 个盒底配成一套，所以要根据盒身数量与盒底数量的配套关系来列方程．本题考查一元一次方程在配套问题中的应用．解题关键在于理解配套比例关系，即盒底数量是盒身数量的 倍，通过设未知数分别表示出盒身和盒底的数量，进而根据配套关系列出方程． 【详解】解：∵每张硬纸板可制作盒身 个，设用 张硬纸板做盒身， ∴盒身的数量就是个． 又∵每张硬纸板可制作盒底个，用张硬纸板做盒底 ∴盒底的数量是个． ∴可列方程． 故答案为： 13. 某同学用图1的六个全等 纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个 纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正n边形内角问题，先求出，进而得到，则可求出 的度数，据此可求出图3中正n边形一个内角的度数，再根据正n边形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图2所示，∵图2的外轮廓是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴图3中，这个正n边形的一个内角的度数为， ∴， 解得 ， 故答案为：8． 14. 如图，是 的直径，点C是 上一点， 与过点C的切线垂直，垂足为D，直线 与 的延长线交于点P，弦 平分，交 于点F，连接，下列四个结论： ① 平分； ②； ③若，则阴影部分的面积为； ④若，则； 其中，所有正确结论的序号是 ___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①根据切线的性质可得 ，则，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得； ②根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明，根据等角对等边即可证得，又由，可证得，由相似三角形的性质可得结论； ③由圆周角定理与弦 平分，可得 是等腰直角三角形，继而求得直径 的长，，可得 是中线，是等边三角形，继而求得阴影部分的面积； ④在直角中利用勾股定理即可列方程求得的长，由，根据相似三角形的性质求得与 的比值，即可求得． 【详解】解：①连接 ， ∵， ∴． ∵ 是 的切线， ∴ , ∵， ∴， ∴． ∴． 即 平分．故①正确； ②∵ 是直径， ∴， ∴， 又∵°， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即；故②正确； ③连接 ， ∵， ∴， ∴． 又∵ 是直径， ∴． ∴， ∴， ∵ 是切线， ∴， ∵， ∴ 是的中线， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为；故③错误； ④∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴；故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了切线的性质、解直角三角形、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、解直角三角形，是解题的关键． 三、解答题（本大题共78分） 15. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把 代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当 时，原式． 16. 为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动．根据活动要求，每班需要2名宣传员．某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，请用画树状图法或列表法，求甲、丁同学都被选为宣传员的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图求概率，根据题意正确画出树状图成为解题的关键． 先根据题意画出树状图、确定所有等可能情况数、再确定满足题意的结果数，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示： 一共有12种等可能事件，其中甲、丁同学都被选为宣传员的可能性有2种， ∴． 17. 一部电梯的额定限载量为1000千克．工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？ 【答案】工人师傅每次最多只能搬运重物18箱 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出一元一次不等式成为解题的关键． 先根据题意列出一元一次不等式，再解不等式并求得最大整数解即可解答． 【详解】解：工人师傅每次搬运重物x箱，由题意可得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最大值为18 ∴工人师傅每次最多只能搬运重物18箱． 答：工人师傅每次最多只能搬运重物18箱． 18. 如图，在△ABC中，AB = AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD 求证：四边形ADCE是矩形. 【答案】 证明：∵AB=AC，点D是边BC的中点， ∴BD=CD，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°. ∵AE∥BD,DE∥AB， ∴四边形AEDB为平行四边形， ∴AE=BD=CD， 又∵AE∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形. 【解析】 【分析】先由AB=AC，点D是边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四边形AEDB为平行四边形，那么AE=BD=CD，又AE∥DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，又∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形； 【详解】略 19. 某公司为提高服务质量，对其某个部门开展了客户满意度问卷调查，客户满意度以分数呈现，满意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档．公司规定：若客户所评分数的平均数或中位数低于3.5分，则该部门需要对服务质量进行整改．工作人员从收回的问卷中随机抽取了20份，下图是根据这20份问卷中的客户所评分数绘制的统计图． （1）求客户所评分数的中位数、平均数，并判断该部门是否需要整改； （2）监督人员从余下的问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起，重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于分，求监督人员抽取的问卷所评分数为几分？与（1）相比，中位数是否发生变化？ 【答案】（1）中位数为分，平均数为分，不需要整改 （2）监督人员抽取的问卷所评分数为5分，中位数发生了变化，由分变成4分 【解析】 【分析】（1）先求出客户所评分数的中位数、平均数，再根据中位数、平均数确定是否需要整改即可； （2）根据“重新计算后，发现客户所评分数的平均数大于3.55分”列出不等式，继而求出监督人员抽取的问卷所评分数，重新排列后再求出中位数即可得解． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，客户所评分数按从小到大排列后，第10个数据是3分，第11个数据是4分； ∴客户所评分数的中位数为：(分) 由统计图可知，客户所评分数的平均数为：(分) ∴客户所评分数的平均数或中位数都不低于3.5分， ∴该部门不需要整改． 【小问2详解】 设监督人员抽取的问卷所评分数为x分，则有： 解得： ∵调意度从低到高为1分，2分，3分，4分，5分，共5档， ∴监督人员抽取的问卷所评分数为5分， ∵， ∴加入这个数据，客户所评分数按从小到大排列之后，第11个数据不变依然是4分， 即加入这个数据之后，中位数是4分． ∴与（1）相比，中位数发生了变化，由分变成4分． 【点睛】本题考查条形统计图，中位数和加权平均数，一元一次不等式的应用等知识，掌握求中位数和加权平均数的方法和根据不等量关系列不等式是解题的关键． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，其顶点称为格点，的顶点均在格点上 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中 的边 上确定一点 ，使； （2）在图②中的边 上确定一点 ，连接 ，使； （3）在图③中先确定线段的中点，再在的边上确定一点 ，点 不与点 重合，连接 ，使． 【答案】（1）解：点M即为所求； （2）解：点N即为所求； （3） 解：与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）取格点J，连接交 于点M，即为所求； （2）在网格上找P，Q两点，连接， 与 交于点N，即为所求； （3）与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，单层部分的长度为y厘米，经测量，得到下表中数据： 双层部分长度x（） 2 8 14 20 单层部分长度y（） 148 136 124 112 （1）试根据表中x与y的对应值，在给定的平面直角坐标系中描出相应的点； （2）观察（1）中描出的各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上；如果在同一条直线上，求这条直线对应的函数表达式； （3）按小华的身高和习惯，背带的长度调为时为最佳，请计算此时单层部分的长度． 【答案】（1）描点如下：（连线和不连线都给分） （2） （3）此时单层部分的长度为 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确掌握待定系数法求一次函数的解析式， （1）利用描点法画出图形即可； （2）观察表格可知， 是 的一次函数，再用待定系数法可得 与 的函数关系式为； （3）根据背带的长度调为得，即可解得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在同一条直线上； 设函数关系式为，（）由题意得： 解得 ∴y与x的函数关系式 【小问3详解】 解： 解得 答：此时单层部分的长度为 22. 【问题原型】如图①，菱形的边长为6，，点P在直线 上移动．试探究的值最大时点P的位置． 【问题探究】 如图②，梦琪同学的探究步骤如下： 1．射线 上取点 ，使，构造，从而将转化为，因为 是定值6，这样就将双变量（）问题转化为探究BE长度最小值的单变量问题，于是将问题转化为探究动点E的运动轨迹问题； 2．进一步发现当时，总有，进而可知，连接，因为四边形是菱形，，可知，即，可知点C、E始终在的外接圆上（定弦定角必定圆）．以下是梦琪同学证明的部分过程： 证明：由【问题探究】的作法可知，，又∵， ∴．∴ ∵四边形是菱形，∴ ，且． 证明过程缺失 ∴．请你补全缺失的证明过程． 【问题解决】 请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺在图③中作出点 的轨迹圆，并标出圆心O，则的最大值是________．（保留作图痕迹） 【答案】 证明：由【问题探究】的作法可知，， 又∵， ∴． ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ，且 ∴ 又∵ ∴ ∴． 【问题解决】尺规作图如下： ， 【解析】 【分析】问题探究：由得到，又根据，要证明，需通过证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等来推导．关键在于根据已知条件找到对应边成比例和对应角相等的关系来证明 ． 问题解决： 作三边垂直平分线，交点 即为外接圆的圆心（垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点距离相等，是外接圆的圆心）．以 为圆心， 为半径作圆，此圆即为点 的轨迹圆．由，及是定值，得当最小时，最大．证是等边三角形，则．再分别求出即可得解． 【详解】解：略 问题解决：理由：∵，为定值， ∴当最小时，最大． 连接交圆 于点 ，交于点 ，此时最小，即 ．连接 ，并延长交 于点 ，则，，， ∵四边形是菱形，，， ∴是等边三角形，． ， ∵ 是外接圆的圆心， ∴，（同弧所对圆心角是圆周角的两倍）， ， ∴ ． ∴， ∴ ． ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外接圆的作法以及圆的相关性质．解题关键在于通过构造相似三角形将问题转化，利用相似三角形的性质推导角度关系，再根据圆的性质找到线段最值来求解的最大值 ． 23. 在边长为4的正方形 中，点P是线段 上一动点，取 中点O，连接 并延长，使，连接 ，以 为斜边构造等腰直角三角形，点R与点D在 的同侧，连接． （1）如图，当点P不与点B重合时，求证：； （2）连接 ，当是直角三角形时，求 的长； （3）线段的最小值为________； （4）四边形的最大面积为________，此时线段的长度为________． 【答案】（1） 证明：∵O为 的中点， ∴， ∵，， ∴； （2）4或3 （3）2 （4）；1 【解析】 【分析】（1）根据 证明即可； （2）分两种情况：当Q与点A重合时，，当O、R、D共线时，，分别画出图形，求出结果即可； （3）以点A为坐标原点， 为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交 于点F，证明，得出，，设，，则，，，，求出，得出，然后求出最小值即可； （4）以点A为坐标原点， 为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交 于点F，根据解析（3）设，则点R的坐标为，根据，求出最大值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当Q与点A重合时，，如图所示： 此时； 当O、R、D共线时，如图所示： ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形 中，， ∴， ∴， ∵O为 的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上分析可知： 的长为4或3； 【小问3详解】 解：以点A为坐标原点， 为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交 于点F，如图所示： 则，，， ∵正方形 中 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最小，且最小值为， 即的最小值为2； 【小问4详解】 解：以点A为坐标原点， 为x轴， 为y轴，建立平面直角坐标系，过点R作于点E，延长交 于点F，如图所示： 根据解析（3）设，则点R的坐标为， ， ， ， ， ∵， ∴当时，最大，且最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，二次函数的应用，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）的对称轴为直线，点A在这个抛物线上，当点A不在y轴上时，过点A作轴于点B，作线段 关于坐标原点O成中心对称的线段，设点A的横坐标为m. （1）求此抛物线对应的函数关系式： （2）当线段 与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点A在y轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求m的取值范围： （4）作平行四边形，当平行四边形的某条边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，直接写出m的值. 【答案】（1） （2）的长度为或 （3）m的取值范围为或 （4）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴先求出 ，即可求得函数关系式； （2）由 和关于原点对称且在同一条直线上可得 和在 轴上且关于原点对称，将代入表达式中即可求出； （3）用含有 的式子表示点 ，根据与原点对称表示出，根据作图的三种情况（见详解）求出 的范围； （4）见详解三种情况，解出 的值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线的对称轴是， 根据对称轴的公式得：，即， 函数的关系式为． 【小问2详解】 和关于原点对称且在同一条直线上， 和在 轴上， 点的坐标为， 将代入函数关系式得：，， 或 【小问3详解】 如图，图一和图三之间是只有一个交点，图二这个时刻只有一个交点， 由题可知，，，函数与 轴交点为，顶点为， 在 轴左侧， ． 由图一得：， 解得（舍），． 由图二可得： 解得（舍），． 由图三得： 解得（舍），． 线段与此抛物线有且只有一个公共点时， m的取值范围为或． 【小问4详解】 有题可知，若以这两个公共点和点B为顶点构造三角形的面积是平行四边形面积的，则两个交点的距离恰好是这条边的一半， 如图， 为的中点，即 恰好是抛物线与 轴两个交点， ， 解得： ，． 是中点， ， 或即，， 如图与抛物线交于两个点 、 ，即， 先计算 、 ， 即， 由根与系数关系得： ， 整理得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $