北京市北京师范大学附属中学2025届高三三模考试数学试题

北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第1页（共 6 页） 2025 北京师大附中高三三模考试 数 学 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷 上作答无效。考试结束后，请将答题卡交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 （1）已知集合 2{ | 0}A x x x= −  ， { | 1 0}B x x= +  ，那么集合 A B = （A） ( 1, )− + （B） ( 1,1)− （C） ( 1,0) (1, )− + （D） (1, )+ （2）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 ( 3, 4)− ，则 z i 的共轭复数是 （A） 4 3i+ （B） 4 3i− （C） 4 3i− − （D） 4 3i− + （3）已知向量 ,a b满足 (3, 5)+ =a b ， ( 1, 1)− = −a b ，则 2 2| | | |− =a b （A） 2 （B） 2− （C） 0 （D） 6 （4）下列函数中，既是奇函数，又在区间 (0, )+ 上单调递增的是 （A） ( ) lnf x x= − （B） 3 ( ) 3f x x x = − （C） 1 3( )f x x − = （D） 3( ) 3f x x x= − （5）“ 1 2 k = ”是“直线与 ( 4)y k x= − 与双曲线 2 2 1 4 x y− = 只有一个公共点”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第2页（共 6 页） （6）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥 P ABC− ， 4 3PA PB PC= = = ，底面 ABC 是等腰直角三角形，且 AB BC= ，顶点 P 到底面 ABC 的距离为6 ，则点B 到平面 PAC 的距离为 （A） 2 2 （B） 2 6 （C） 2 3 （D） 4 3 （7）已知直线 ( 3) 1y k x= − + 与圆 2 2( 1) ( 2) 25x y− + − = 交于 A、B 两点，则 AB 的 最小值为 （A）5 （B）10 （C）2 5 （D） 4 5 （8）已知函数 ( ) sin cos cos sinf x x x   = + ，其中 ( ,0)  − .如图 ,A B 是直线 1 2 y = 与曲线 ( )y f x= 的两个交点，若 π 6 AB = ，则 ( )πf 的值为 （A） 3 2 − （B） 3 2 （C） 1 2 − （D） 1 2 （9）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量 和信噪比及信道带宽的关系，即 C=Wlog2   1+ S N ，其中 C 是信道容量，单位 bps；W 为信道带宽，单位 Hz； S N 代表接收信号的信噪比，为无量纲单位．军事战术电台采 用跳频扩频(FHSS)技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由 5MHz 扩展至 100MHz，为了将敌方干扰效率降低 90%以上，需将信道容量由 17.3Mbps提高至 593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的( )倍． (参考数据：23.46≈11，25.93≈60.97) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第3页（共 6 页） （10）已知数列{ }na 的各项均为正数，且满足 2 1n na a + − = (是常数， 1,2,3,n = )， 则下列四个结论中正确的是 （A）若 0 = ，则数列{ln }na 是等比数列 （B）若数列{ }na 是常数列，则 1 4  −≥ （C）若 0  ，则数列{ }na 是递增数列 （D）若数列{ }na 是周期数列，则最小正周期可能为 2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11 ）已知 4 4 3 24 3 2 1 0(2 1)x a x a x a x a x a− = + + + + ，则 2a = ___. （12）设抛物线 2C x my： = 的焦点为 (0, 2)F ，准线为 l ，则抛物线C 上一点 (4, )A t 到准 线 l 的距离为____. （13）已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足 1 1a = ， 12 3 3n nS a += − .则 2S 为＿＿； 满足 5nS  的最小的整数 n 为＿＿. （14）在锐角 ABC 中， 60BAC = ， 2AB = ， 6BC = ， BAC 的角平分线交 BC 于 D ，则 ACB = _________； AD = _________． （15）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 C的一部分.已知 C过坐标原点 O. 且 C 上的点满足横坐标大于 2− ，到点 (2,0)F 的距离与到定直线 ( 0)x a a=  的距 离之积为 4. 有以下四个结论： 北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第4页（共 6 页） ① 2a = − ； ②曲线 C上存在点 P ，满足 0.9PF = ； ③若点 P 是曲线 C第一象限上的点，则 POF 的面积的最大值为 1； ④当点 ( )0 0,x y 在 C上时，不等式 0 0 02 5 0x y y+ +  恒成立； 其中，所有正确结论的序号是____． 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中，M、E 分别是 1 1C D 、 1A A 的中点， 点 F 在线段CM 上， / /EF 平面 ABCD. （Ⅰ）证明：F 是 MC 的中点； （Ⅱ）求直线 EF与平面 BCM 所成角的正弦值. （17）（本小题 14 分） 已知函数 ( ) 4cos sin( ) 2sin (0 2,0 π)f x x x     = + −     . （Ⅰ）若 π 2  = ，求 π ( )f  的值； （Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数 ( )f x 存在， 求出 , 的值，并证明：当 π [ ,0] 2 x − 时， ( ) 3f x  . 条件①： (0) 3f = − ； 条件②：当 1 2( ) ( ) 4f x f x = − 时， 1 2x x− 的最小值为 π 2 ； 条件③： ( )f x 图象关于直线 π 12 x = 对称. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别 解答，按第一个解答计分. 北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第5页（共 6 页） （18）（本小题 13 分） 投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭 矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛.老师预设口径不同的三个壶，学 生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投 中”两种结果. 活动中，高三年级 500 名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将 投壶结果统计如下表. 壶 1 壶 2 壶 3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 表 1 高三年级投壶结果 假设用频率估计概率. （Ⅰ）若从所有选择投壶 2 的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶 2 的概率. （Ⅱ）投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”.比赛中，学生手拿三支箭，从壶 1 开始，按照壶 1、壶 2、壶 3 的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中， 学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽.当 学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各 壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. （Ⅲ）为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶 2，一共投 20 次.假设每次投壶的结果互不影响， 用高三年级学生投中壶 2 的频率估计这位学生投中壶 2 的概率，那么在投完 20 次之后， 这位同学投中壶 2 多少次的概率最大？（只需写出结论）。 （19）（本小题 15 分） 已知椭圆W： x2 a2 ＋ y2 b2 =1(a>b>0)过 A(0，－1)，B    3， 1 2 两点． （Ⅰ）求椭圆 W的方程； （Ⅱ）设 C(0，2)，D(0，－4)，过点 C的直线 l与椭圆交于 P，Q两点，连接 QD、 PD交 x轴于M、N两点(M、N不重合)，已知|ON|=2|OM|，求直线 l的方程． 北京师大附中 2025 届高三三模数学测试试卷第6页（共 6 页） （20）（本小题 15 分） 已知函数 2 1 ( ) ln , ( ) , xe f x a x g x a R x x − = − =  . （Ⅰ）若 ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线平行于直线 : 1l y x= + ，求a 的值； （Ⅱ）求 ( )g x 的单调区间； （Ⅲ）当 1a = 时，求证：对任意 ( )0,x + ，恒有 ( ) ( ) 2 cos x g x f x x −  + 成立. （21）（本小题 15 分） 记集合 ( ) *, , , , , , ,nS a b c a b c n a b c a b c a b c N= + + =   +   ， ( )nCard S 表示集合 nS 中元素的个数， （I）求 ( )6Card S 和 ( )9Card S （II）求证：当n 为奇数时， ( ) ( )3n nCard S Card S+ = （III）求 ( )2025Card S （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）