精品解析：2025届贵州省六盘水市纽绅中学模拟预测数学试题

2025年普通高等学校招生演练考试（一） 高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 6. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 10. 若实数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（ ） A. B. C. 第j个四棱柱的体积为 D. 前j个四棱柱的体积之和为 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法. 13. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 14. 函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联? （2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知数列满足，. （1）写出，，； （2）若，求数列的前项和． 17. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：． 18. 过定点的动圆始终与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程， （2）过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生演练考试（一） 高三数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，依据并集的定义计算即可. 【详解】解：由已知集合，所以. 故选：C 2. 复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出复数，在根据复数的几何意义可解. 【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，.若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两向量垂直的坐标关系运算得解. 【详解】由，得，解得. 故选：D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先切化弦，得到，再结合两角和与差的正弦公式可求值. 【详解】由. 由. 由. 所以. 故选：B 5. 如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是的几何体，左边是圆柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为，截得半球的截面面积为，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】设截面与圆柱底面的距离为，分别求出和，即可得出结论. 【详解】设截面与圆柱底面的距离为， 该平面截半球所得圆面的半径为，圆的面积为， 由于圆柱的底面半径与高相等，所以，圆环的内圆半径为， 所以，圆环的面积为，故， 故选：B. 6. 已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最小值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值. 例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 7. 若函数的两个零点分别为和，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值. 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 8. 已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件可分别得到关于和的关系式，再利用将关系式变形得到和，最后借助函数的单调性即可求解. 【详解】是的根，，即，① 是的根，，即， 存在函数使得，，② 是定义在上的增函数，在上单调递增， 由①②可得， ， 又，即， ，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线性回归分析中线性相关系数的概念可判断A；由超几何分布的期望公式判断B，由正态分布密度曲线特征可判断C；利用条件概率计算公式可判断D正确. 【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； 对于B，随机变量服从几何分布，所以，其中， 即，故B正确； 对于C，根据正态分布参数的意义，越大表示随机变量的分布越分散， 则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故C错误； 对于D，取出两件中至少有一件正品的概率, 取出两件都是正品的概率，由条件概率的意义可知， 从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是， 故D正确. 故选：ABD． 10. 若实数 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平方不等式可判断选项A、B，利用判别式法可判断选项C、D. 【详解】由平方不等式可得：，代入， 则，取等号条件是，故A正确；B错误； 令， 则， 由于存在满足上式成立，则， 即，故D正确，C错误； 故选：AD. 11. 如图，在直三棱柱的两条棱上分别取点，使得，且直线与直线之间的距离均为2，分别过直线作垂直于该三棱柱底面的截面，得到n个四棱柱，若该三棱柱的高为1，记，，则（ ） A. B. C. 第j个四棱柱的体积为 D. 前j个四棱柱的体积之和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可知是等差数列，可判断A，B选项；C选项利用四棱柱的体积公式即可求出；D选项利用等差数列的前项和公式求解. 【详解】由题意可得是首项为，公差为的等差数列， 所以，故A错误； 又，故B正确； 对于C选项，第个四棱柱的体积为 ，故C正确； 对于D选项，由第个四棱柱的体积为可知，四棱柱的体积是首项为，公差为的等差数列， 所以前j个四棱柱的体积之和为 ，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由题意分析出所求的量与数列之间的关系. 三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有4辆车停放在5个并排车位上，客车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与客车甲相邻停放，则共有___________种不同的停放方法. 【答案】12 【解析】 【分析】利用相邻问题捆绑法求解. 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放. 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故答案为：12. 13. 抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．如图，抛物线的焦点为，由点发出的光线经点反射后经过点，若点在上，且，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而可得直线的方程为，设，，与抛物线方程联立方程可求得，可求得，进而可得，利用余弦定理可求得. 【详解】如图，在中，，所以， 所以， 又因为轴，所以，因此， 故直线的方程为，联立，得， 设，，则，由抛物线的定义知， 而，所以，在中，，， 由余弦定理，得， 解得． 故答案为：. 14. 函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数， ②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数； 当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数. 综上所述，函数在定义域上为增函数， 根据题意，存在存在使得在上的值域为, 则， 所以，关于的方程至少有两解，即，可得， 令，， 由题意可知，函数有两个不等的正零点、， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下列联表： 成绩有进步 成绩没有进步 合计 参加周六到校自主自习 55 20 75 未参加周六到校自主自习 30 45 75 合计 85 65 150 （1）依据表中数据，判断是否有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联? （2）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人.若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望. 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联； （2） 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据公式求得，再对照临界值表即可得解. （2）按分层随机抽样先得到成绩有进步同学和成绩没有进步同学的人数，得到的可能取值为0，1，2和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 经计算得. 所以有99.9%的把握认为该校学生“周六到校自主自习与成绩进步”有关联. 【小问2详解】 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人 的所有可能取值是的所有可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 所以的期望为：. 16. 已知数列满足，. （1）写出，，； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），，. （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式求数列的前几项. （2）利用错位相减法求数列的前项和. 【小问1详解】 由，， 可得，，. 【小问2详解】 由题可得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； 可得，即， ， ， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 17. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若，且，证明：． 【答案】（1） （2） 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. （3）证明：因为，令，得或， 因为，所以，， 又，所以， 所以 ， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， 所以，所以在为减函数， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出导数，再根据得出方程的根，根据的范围讨论即可求出函数单调区间； （3）求出，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证. 【小问1详解】 由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 由，定义域为， 令得或， 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述，当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【小问3详解】 略 18. 过定点的动圆始终与直线相切. （1）求动圆圆心的轨迹的方程， （2）过点的直线与曲线C交于两点，是曲线的两条切线，是切点. （i）证明：点P的轨迹是定直线； （ii）求面积的最小值. 【答案】（1） （2）（i）证明：设，其中， 由题，直线斜率不为0，设直线， 联立，得：， 恒成立，， 由得：， 则，即即. 同理，， ， ， 即直线交点的轨迹为定直线：； （ii）. 【解析】 【分析】（1）设动圆圆心坐标为，根据直线与圆的位置关系列出方程即可求出动圆圆心的轨迹方程；（2）（i）设直线，与轨迹方程联立，分别求出切线的方程，从而得到交点的轨迹；（ii）求出点到直线的距离，再由三角形面积公式即可求出面积关于的函数表达式，进而得到其最小值. 【小问1详解】 设动圆圆心坐标为，因为过定点的动圆始终与直线相切，，化简得，即动圆圆心的轨迹方程. 【小问2详解】 （i）略 （ii）将代入 得：， 所以点的坐标为. 下面用两种方法进一步求解. 方法一：点到直线的距离， ， ， 时，面积最小为. 方法二：又中点轴 . 时，面积最小为. 19. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴，短轴长为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，为上的中点，为线段上的动点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）. （1）求证：平面. （2）若点是下底面椭圆上的动点，是点在上底面的投影，且与下底面所成的角分别为，试求出的最小值. （3）求三棱锥的体积的取值范围. 【答案】（1）证明：由题设，长轴长，短轴长，则， 所以分别是的中点，而柱体中为矩形，连接， 由， 故四边形为平行四边形，则， 当为的中点时，则，故， 面面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，则四边形为平行四边形，根据平行四边形性质及基本事实4可知，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）令，则，，，然后由两角和的正切公式得，然后利用基本不等式求解最值. （3）利用等体积法得，问题化为求、到平面距离之和都最大，应用直线与椭圆位置关系求最大，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设，令，则，又， 所以，，则， 因为， 当且仅当，即上式取等号，所以. 【小问3详解】 由， 正方形中为中点，易得与重合时与垂直， 此时， 则最大值为， 构建如上图空间直角坐标系且，底面椭圆方程为， 设， 设，联立椭圆得，且， 所以， 而， 所以，令，则， 由对勾函数性质知在上递增，故， 由， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $