小专题03 基本不等式求最值的常见方法—【暑假导航】2025年新高一数学暑假优学讲练（人教A版 必修第一册）

暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题03 基本不等式求最值的常见方法 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：配凑法 题型2：常数代换法 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 1．基本不等式 如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 2．基本不等式链 不等式链：，当且仅当时等号成立． 其中，，，分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 【注】这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，利用这个不等式链往往能使复杂的问题简单化． 3．最值定理 已知都是正数， （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 1．“一正”就是各项必须为正数； 2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．利用基本不等式求最值的常用方法 ① 配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 ② 代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况。常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 5．解题步骤 ① 配凑法 第一步：凑配变形→将所求代数式凑配出两个代数式的和（或积），且两个代数式的和（或积）为定值 第二步：验证代数式→验证两个代数式均大于0 第三步：应用放缩→应用基本不等式将变形后的代数式进行放缩 第四步：验证取值→验证基本不等式的等号成立时变量的取值是否符合题意 ② 代换法 第一步：常数代换→利用已知条件中的常数进行代换，将所求代数式变换为符合积为定值的两项和的形式 第二步：检验正负→对两个代数式的正负进行检验 第三步：基本不等式→利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 第四步：符合题意→检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 【典例讲解1】当时，的最小值为 ． 【答案】5 【套用解题步骤】 第一步：对所求代数式进行凑配，作为两个代数式的和 ∴ 第二步：验证两个代数式均大于0 ， 第三步：应用基本不等式对变形后的代数式进行放缩 则 ， 第四步： 验证等号成立时变量的取值是否符合题意 ， ∴此时符合题意 故答案为：5. 【典例分析2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．    B．    C．2    D．4 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：利用已知条件中的常数进行代换 ∵，∴ ，其中与的积为定值 第二步：对两个代数式的正负进行检验 第三步：利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 ∴ 第四步：检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 当且仅当，即时取等. ∴此时符合题意 故的最小值为. 故选：B. 模块二 题型讲解 举一反三 题型1：配凑法 【例1】已知，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即取等号，故C正确. 故选：C. 【例2】若实数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 【变式1】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式2】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 【变式3】已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 题型2：常数代换法 【例3】已知正数x，y满足，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为. 故选：B 【例4】已知，且，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】将分子的上乘以，得到，再利用重要不等式，化简即可. 【详解】因为，且，又， 所以 当且仅当时取最小值，此时， 故所求为6. 故选：D 【变式1】（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】由基本不等式即可得. 【详解】，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【变式2】已知且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式3】已知，，，求下列代数式的最小值 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）运用配凑和常值代换法将其转化，利用基本不等式即可求得； （2）展开变形成，再将换成展开，即可利用基本不等式求解．. 【详解】（1）因，，，则， 于是得， 当且仅当，即时取“”， 所以，当时，的最小值是； （2）因，，， 则， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，的最小值是 模块三 知识检测 一、单选题 1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】根据题意可知， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】C 【分析】把化为，从而利用基本不等式即可. 【详解】解：， 当且仅当，即时取等号． 故选：C. 3．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】根据函数形式结合基本不等式求解函数最小值即可. 【详解】解：函数中 所以，当且仅当时，即时取等号. 所以函数的最小值为. 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 三、填空题 5．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】18 【分析】由题意得，结合基本不等式即可得解. 【详解】已知正实数满足，则 ，等号成立当且仅当， 所以的最小值为18. 故答案为：18. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】变形，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数x、y满足，故， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故答案为：1 7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据“”的妙用，利用等量代换以及基本不等式，可得答案. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为7． 故答案为：. 8．（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】变形，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因， 则 当且仅当时取等号， 故的最小值为4． 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由条件得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 所以 ， 当且仅当， 即，时，等号成立，所以的最小值为 故答案为：1 10．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最小值为， 故答案为：. 11．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 【答案】/ 【分析】根据基本不等式凑乘积为定值，即可得所求函数的最大值. 【详解】因为，所以中，， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 12．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 13．当时，的最大值为 ．此时的取值为 ． 【答案】 【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：；. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14．已知，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】化简函数为，再利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 四、解答题 15．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 【答案】（1）时函数有最大值为2；（2）时目标式最小值为16；（3），时目标式的最大值为. 【分析】（1）根据对勾函数最值的求法求函数最大值，并确定取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件； （3）由代入目标式，结合基本不等式求最大值，并确定取值条件. 【详解】（1）由题意，则， 当且仅当时等号成立，所以时函数有最大值为2； （2）， 当且仅当，即时取等号， 所以时目标式最小值为16； （3）由，则， 所以， 当且仅当，对应时取等号， 所以，时目标式的最大值为. 16．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数x，y满足，求的最小值. 【答案】（1）0；（2）. 【分析】（1）由，应用基本不等式求函数最大值，注意取值条件； （2）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由，则 当且仅当时等号成立， 所以函数最大值为0. （2）由， 当且仅当时等号成立， 所以目标式最小值为. 17．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 【答案】(1)[2，+∞） (2)最小值2+2， 【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解． （2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为x∈（0，+∞）， 所以， 取等号条件：x，x2＝1． 因为x∈（0，+∞）， 所以x＝1， 所以函数的值域为[2，+∞）． （2）y2+（x）， 因为x∈（0，+∞）， 所以x2， 所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3， 因为x∈（0，+∞）， 所以，当时，该函数取最小值2+2． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教A版 必修第一册 小专题03 基本不等式求最值的常见方法 目录 模块一：专题解决 模块二：题型讲解举一反三 题型1：配凑法 题型2：常数代换法 模块四：过关检测 模块一 专题讲解 1．基本不等式 如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 2．基本不等式链 不等式链：，当且仅当时等号成立． 其中，，，分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数． 【注】这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，利用这个不等式链往往能使复杂的问题简单化． 3．最值定理 已知都是正数， （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 1．“一正”就是各项必须为正数； 2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； 3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．利用基本不等式求最值的常用方法 ① 配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 ② 代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况。常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等． 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 5．解题步骤 ① 配凑法 第一步：凑配变形→将所求代数式凑配出两个代数式的和（或积），且两个代数式的和（或积）为定值 第二步：验证代数式→验证两个代数式均大于0 第三步：应用放缩→应用基本不等式将变形后的代数式进行放缩 第四步：验证取值→验证基本不等式的等号成立时变量的取值是否符合题意 ② 代换法 第一步：常数代换→利用已知条件中的常数进行代换，将所求代数式变换为符合积为定值的两项和的形式 第二步：检验正负→对两个代数式的正负进行检验 第三步：基本不等式→利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 第四步：符合题意→检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 【典例讲解1】当时，的最小值为 ． 【答案】5 【套用解题步骤】 第一步：对所求代数式进行凑配，作为两个代数式的和 ∴ 第二步：验证两个代数式均大于0 ， 第三步：应用基本不等式对变形后的代数式进行放缩 则 ， 第四步： 验证等号成立时变量的取值是否符合题意 ， ∴此时符合题意 故答案为：5. 【典例分析2】已知，，且，则的最小值为（    ） A．    B．    C．2    D．4 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：利用已知条件中的常数进行代换 ∵，∴ ，其中与的积为定值 第二步：对两个代数式的正负进行检验 第三步：利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 ∴ 第四步：检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 当且仅当，即时取等. ∴此时符合题意 故的最小值为. 故选：B. 模块二 题型讲解 举一反三 题型1：配凑法 【例1】已知，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【例2】若实数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【变式3】已知，则的最小值为 ． 题型2：常数代换法 【例3】已知正数x，y满足，则的最小值为（     ） A．6 B． C． D． 【例4】已知，且，则的最小值为（     ） A． B． C．4 D．6 【变式1】（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【变式2】已知且，则的最小值为 . 【变式3】已知，，，求下列代数式的最小值 （1）； （2）. 模块三 知识检测 一、单选题 1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知，则使得取得最小值时x的值为（    ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 3．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 二、多选题 4．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 三、填空题 5．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数x、y满足，则的最小值是 . 7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知，且，则的最小值为 ． 8．（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知正数a，b满足，则的最小值为 ． 9．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知，，且，则的最小值为 . 10．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则的最小值是 . 11．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数满足，则函数的最大值是 12．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 13．当时，的最大值为 ．此时的取值为 ． 14．已知，则的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知，求函数的最大值，并求出此时的值; （2）已知，且,求的最小值，并求出此时的值; （3）已知，且,求的最大值，并求出此时的值. 16．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）已知正实数x，y满足，求的最小值. 17．已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 1 - 模块一 专题讲解 1．基本不等式 如果 0a  ， 0b  ，那么 2 a bab  ，当且仅当 a b 时，等号成立． 2．基本不等式链 不等式链：   2 22 0, 01 1 2 2 a b a bab a b a b         ，当且仅当 a b 时等号成立． 其中 2 1 1 a b  ， ab ， 2 a b ， 2 2 2 a b 分别叫做正数 ,a b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均 数． 【注】这个不等式链揭示了两正数的倒数和、积、和、平方和之间的不等关系，利用这个不等式链往往能 使复杂的问题简单化． 3．最值定理 已知 ,x y都是正数， （1）如果积 xy等于定值 P ，那么当 x y 时，和 x y 有最小值 2 P ； （2）如果和 x y 等于定值S，那么当 x y 时，积 xy有最大值 21 4 S ． 【注意】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： 1．“一正”就是各项必须为正数； 2．“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积 的因式的和转化成定值； 3．“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求 的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．利用基本不等式求最值的常用方法 ① 配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 ② 代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况。常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、 换元法、整体代换法等． 类型 1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 2 - 类型 2：分母为多项式时 方法 1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法 2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为3 4a b 与 3a b ，分子为 2a b， 设        2 3 4 3 3 4 3a b a b a b a b              ∴ 3 1 4 3 2          ，解得： 1 5 2 5         5．解题步骤 ① 配凑法 第一步：凑配变形→将所求代数式凑配出两个代数式的和（或积），且两个代数式的和（或积）为定值 第二步：验证代数式→验证两个代数式均大于 0 第三步：应用放缩→应用基本不等式将变形后的代数式进行放缩 第四步：验证取值→验证基本不等式的等号成立时变量的取值是否符合题意 ② 代换法 第一步：常数代换→利用已知条件中的常数进行代换，将所求代数式变换为符合积为定值的两项和的形式 第二步：检验正负→对两个代数式的正负进行检验 第三步：基本不等式→利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 第四步：符合题意→检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 【典例讲解 1】当 1x  时， 4 1 x x   的最小值为 ． 【答案】5 【套用解题步骤】 第一步：对所求代数式进行凑配，作为两个代数式的和 ∴  4 41 1 1 1 x x x x        第二步：验证两个代数式均大于 0 1x Q ， 1 0x     41 0 0 1 x x     ∴ ， 第三步：应用基本不等式对变形后的代数式进行放缩 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 3 - 则  4 4 41 1 2 1 1 2 4 1 5 1 1 1 x x x x x x                  ， 第四步： 验证等号成立时变量的取值是否符合题意 4 41 3 1 1 x x x x x       当 ， 时， 的最小值为5 1x Q ， 3x ∴ 在取值范围内 ∴此时符合题意 故答案为：5. 【典例分析 2】已知 0a  ， 0b  ，且 3 3a b  ，则 1 1 3a b  的最小值为（ ） A． 2 3 B． 4 3 C．2 D．4 【答案】B 【套用解题步骤】 第一步：利用已知条件中的常数进行代换 ∵ 0, 0, 3 3a b a b    ，∴ 1 3 a b  1 1 1 1 2 3 3 3 3 9 a b ab a b a b a b               ∴ ，其中 b a 与 9 a b 的积为定值 第二步：对两个代数式的正负进行检验 0, 0a b  0, 0 9 b a a b  ∴ 第三步：利用基本不等式对变形后的代数式的最值进行计算 ∴ 1 1 1 1 2 2 42 3 3 3 3 9 3 9 3 a b a b ab a b a b a b a b                   第四步：检验基本不等式取等时，变量的取值与题意是否符合 当且仅当 9 1 3 b a a b a b        ，即 3 2 1 2 a b       时取等. 0, 0a b  ∴此时符合题意 故 1 1 3a b  的最小值为 4 3 . 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 4 - 故选：B. 模块二 题型讲解 举一反三 题型 1：配凑法 【例 1】已知 1x   ，则 2 1 x x   的最小值为（ ） A． 2 2 B．2 C．2 2 1 D． 2 2 1 【例 2】若实数 2 0x y  ，则 3 2 y x x y y   的最小值为（ ） A．2 3 B． 2 3 1 C． 2 3 1 D． 2 3 2 【变式 1】已知正数 ,x y 满足 2 1x y  ，则 2x y xy  的最小值为（ ） A． 1 2 2 B． 2 2 C． 1 2 2 1 D． 2 2 1 【变式 2】当 0x  时，函数 23 1 x xy x     的最小值为（ ） A．2 3 B．2 3 1 C． 2 3 1 D．4 【变式 3】已知 1x  ，则 4 1 1 y x x     的最小值为 ． 题型 2：常数代换法 【例 3】已知正数 x，y 满足3 2 2x y  ，则 3 1 2x y  的最小值为（ ） A．6 B． 25 4 C． 13 2 D． 25 2 【例 4】已知 0, 0x y  ，且 4 1x y  ，则 2x y xy  的最小值为（ ） A． 6 2 B．4 2 C．4 D．6 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 5 - 【变式 1】（24-25高二下·浙江宁波·期末）已知正实数 a ，b 满足 1a b  ，则 1 a a b  的最小值为 . 【变式 2】已知 , 0a b  且 3a b  ，则 9 1 1 1a b    的最小值为 . 【变式 3】已知 0a  ， 0b  ， 1a b  ，求下列代数式的最小值 （1） 1 1 2 2a b    ； （2） 1 1( )b a b  . 模块三 知识检测 一、单选题 1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数 2 1( ) ( 0)xf x x x    的最小值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．（22-23高一上·江西吉安·期末）已知 xR ，则使得 82 1 x x   取得最小值时 x 的值为（ ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 3．（21-22高一上·江苏连云港·期末）函数 2 2 81 2y x x    的最小值是（ ） A．7 B． 7 C．9 D． 9 二、多选题 4．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（ ） A．函数 49 4 y x x   的最小值为 7 B．函数   2 2 49 1 1 4 1 x y x     的最小值为 7 C．函数 2 2 9 1 y x x    的最小值为 7 D．函数 7 1 17 4 4 xy x x x           的最小值为 7 三、填空题 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 6 - 5．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知正实数 ,x y 满足 1x y  ，则 6 2x xy  的最小值为 ． 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）若正实数 x、y 满足 6x y  ，则 1 4 2 1x y    的最小值是 . 7．（24-25高二下·河北保定·期末）已知 , 0x y  ，且 1x y  ，则 2 2 2 1x y x y xy     的最小值为 ． 8．（24-25高一下·山西运城·阶段练习）已知正数 a，b 满足 2 22 7 3 4a ab b   ，则3 4a b 的最小值 为 ． 9．（24-25高二下·江苏南京·阶段练习）已知 0x  ， 0y  ，且 1x y  ，则 2 1 3 2 1x y    的最小值 为 . 10．（2025·四川眉山·模拟预测）已知 ,a b R ， 4 1a b  ，则 a b ab  的最小值是 . 11．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）设实数 x 满足 1x  ，则函数 12 3 1 y x x     的最大值是 12．函数 y＝x＋ 5 1x + （x≥2）取得最小值时的 x 值为 ． 13．当 1x   时，   1 1 f x x x    的最大值为 ．此时 x 的取值为 ． 14．已知 0x  ，则 2 1x xy x    的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·山东枣庄·期中）（1）已知 5 4 x  ，求函数 14 1 4 5 y x x     的最大值，并求出此时 x 的 值; （2）已知 , 0x y  ，且 1 9 1 x y   ,求 x y 的最小值，并求出此时 ,x y的值; （3）已知 0, 0a b  ，且 2 2 1 2 ba   ,求 21a b 的最大值，并求出此时 ,a b的值. 16．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）（1）已知0 2x  ，求 1 2 y x x    的最大值； （2）已知正实数 x，y 满足 2x y  ，求 2 1 x y  的最小值. 暑假优学 人教 A 版 必修第一册 - 7 - 17．已知 x∈（0，+∞）. (1)求 1y x x   的值域； (2)求 2 2 3x xy x    的最小值，以及 y 取得最小值时 x 的值.