精品解析：2025年四川省遂宁市射洪市射洪中学校中考二模数学试题

射洪中学初2022级2025年中考第二次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名和准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡对应位置上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写在答题卡对应位置上，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 据统计，2024年我国外贸首次突破43万亿元大关，同比增长5％，连续第8年保持货物贸易第一大国地位．将数据“43万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 6. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有解，则a的值不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 8. 如图，，，相交于O，，，则线段的长为（　　） A. 6 B. 10 C. 8 D. 7 9. 如图，的直径，以点A为圆心为半径画，与交于点C，D，以点B为圆心为半径画，与交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 12. 如图，，是的切线，A，B是切点，点C是上一点，若，则_____． 13. 在开展“慈善一日捐”活动中，某单位名员工捐款情况如下表： 捐款（元） 50 100 150 200 300 员工数（人） 11 19 6 3 1 则此次捐款数额的中位数是__________元． 14. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 15. 如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号) 三、解答题（90分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值. ，其中 18. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 19. 某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）试确定月销售量与售价之间的函数关系式，并求出售价的范围； （2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是多少？ 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：___________； （3）连接，，求的面积． 21. 如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）． 22. 在平行四边形中，对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； （3）若四边形是矩形，，求的长． 23. 阅读理解题． 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”． 如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”． 问题： （1）下列四边形： ①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形， 其中是“和谐四边形”的有______；（填序号） （2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，，，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程） 24. 如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学初2022级2025年中考第二次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟，总分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名和准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡对应位置上，并检查条形码粘贴是否正确． 2.选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨迹签字笔书写在答题卡对应位置上，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 据统计，2024年我国外贸首次突破43万亿元大关，同比增长5％，连续第8年保持货物贸易第一大国地位．将数据“43万亿”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据“43万亿”用科学记数法表示为， 故选：B． 3. 如图所示几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义即左视图是从左边看得到的图形是解题的关键．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，是一个矩形和一个直角三角形，它两中间有一条纵向的虚线． 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算及单项式除以单项式，正确运用相关运算法则是正确解决本题的关键． 用幂的运算性质及单项式除以单项式的法则逐选项计算即可判断． 【详解】解：A． ，此选项不正确，不符合题意； B．，此选项不正确，不符合题意； C． ，此选项不正确，不符合题意； D．，此选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， ∵解不等式得：x＞1， 解不等式得：， ∴不等式组的解集是：1＜x≤2， 在数轴上表示为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了不等式组的求解，准确在数轴上表示解集是关键． 6. 将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 7. 若关于x的方程有解，则a的值不可能是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键． 根据方程有解得出当或且，求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：当时，则，方程有解，故A选项不符合题意； 当且，即， 解得： ∴且，∴a可以为2、4，不可能为6， 故B、C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，，，相交于O，，，则线段的长为（　　） A. 6 B. 10 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先由证得，应用相似三角形对应边的比相等得，再由证得，得到，求得的长，进而求得的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：A． 9. 如图，的直径，以点A为圆心为半径画，与交于点C，D，以点B为圆心为半径画，与交于点E，F，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据圆的对称性，得到左右两边的阴影部分的面积相同，连接，作，用扇形的面积减去2个弓形的面积求出左侧阴影部分的面积再乘以2，即可得出结果． 【详解】解：由圆的对称性可知：左右两边的阴影部分的面积相同， 连接，作，由作图可知：， ∴均为等边三角形， ∴，弓形和弓形的面积相同， ∵， ∴； 故选D． 10. 抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④即可． 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴，和的函数值相同， 由图可知，当时的函数值小于0， ∴， ∴， 故①正确； 由图象可知，，根据对称轴，得， ∴ ∴， 故②正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线的最大值为， 当时，其函数值为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故③错误； 如图所示，和点满足， ∴和点关于对称轴对称， ∴, ∵, ∴, 解得， 故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 把多项式分解因式的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键． 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为： ． 12. 如图，，是的切线，A，B是切点，点C是上一点，若，则_____． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，连接，，得出，，求得，再利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：，是的切线，A，B是切点，，如图，连接，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：55． 13. 在开展“慈善一日捐”活动中，某单位名员工捐款情况如下表： 捐款（元） 50 100 150 200 300 员工数（人） 11 19 6 3 1 则此次捐款数额的中位数是__________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数的定义，解题的关键是掌握：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义可得，此次捐款活动中名员工捐款数额的中位数是捐款数额由小到大排列后，第名和第名员工捐款数额的平均数，找到第名和第名员工捐款数额，即可求解． 【详解】解：由表中数据可知，第名和第名员工捐款数额都为元， 此次捐款数额的中位数是（元）， 故答案为：． 14. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 15. 如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有_________．(填序号) 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①当时，是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即可得出，进而判断①；证明，根据全等三角形的性质判断②；作直线于点， 过点作于点，过点作于点，证明，，，即可得是的中点，故④正确，证明，可得，在中，，在中，，得出 ，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：①当时，是等边三角形， ∴ ∴ ∵等腰直角、， ∴ ∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、， ∴， ∴ ∴ ∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， 又， ∴ 又∵， ∴ 同理得，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴，即是的中点，故④正确， ∴， 设，则 在中， 在中， ∴ ∴ 解得： ∴， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴,故③错误 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题（90分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先利用二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值. ，其中 【答案】原式= 【解析】 【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x,y的值代入即可 【详解】原式= =6 =- 当 则原式=-=-1 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，解题关键在于化简原式再代入已知的值 18. 为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动．学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 A类 B类 C类 D类 阅读时长t（小时） 频数 8 m n 4 请根据图表中提供的信息，解答下面的问题： （1）此次调查共抽取了_________名学生， _________， _________； （2）扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是_________度； （3）已知在D类的4名学生中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，18，10 （2）162 （3） 【解析】 【分析】（1）根据A类学生的人数及占比可求得抽取的学生人数，继而求得m、n的值； （2）用乘B类人数的占比即可求解； （3）列表法展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：(名)， ， ， 故答案为：40，18，10； 【小问2详解】 解：， 故答案为：162； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． 19. 某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）试确定月销售量与售价之间的函数关系式，并求出售价的范围； （2）当售价定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）（） （2）当售价为330元/台时，月利润最大为71500元． 【解析】 【分析】（1）根据销售量=原来的销售量+降价后的销售量就可以表示出y与x之间的关系式； （2）由总利润=每台的利润×数量就可以得出w与x直接的关系式，由二次函数的性质就可以得出结论． 【小问1详解】 由题意，得：. ∵售价不低于330元/台， ∴， ∵数量不低于450台， ∴，即，解得，， ∴． 答：y与x之间的函数关系式为：（）； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵， ∴在对称轴的右侧w随x的增大而减小， ∴时，w最大=71500． 答：当售价为330元/台时，月利润最大为71500元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，以及对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出关于的不等式的解集：___________； （3）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 （3）12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合问题，求反比例函数关系式， 对于（1），分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案； 对于（2），根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围； 对于（3），先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案． 【小问1详解】 ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数关系式为； 【小问2详解】 当或时． 故答案为：或； 【小问3详解】 如图所示，当时，，所以点； 当时，，所以点． ∴， ∴． 21. 如图，活动课上，小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）． 【答案】建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米． 【解析】 【分析】作EF⊥AC于点F，RT△CDE中根据i=1：1知∠CED=∠DCE=45°，RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米，进而可得EF=150米，由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°，在RT△AEF中根据勾股定理可得AB的长度． 【详解】解：作EF⊥AC于点F， 根据题意，CE=20×15=300米， ∵i=1：1， ∴tan∠CED=1， ∴∠CED=∠DCE=45°， ∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°， ∴EF=CE=150米， ∵∠CEF=60°，∠AEB=30°， ∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°， ∴AF=EF=150米， ∴AE= （米）， ∴AB=×150≈105.8（米）． 答：建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米． 【点睛】考查了仰角和俯角的应用，正确作出辅助线构造直角三角形，理解解直角三角形的条件是关键． 22. 在平行四边形中，对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，当线段与线段满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由； （3）若四边形是矩形，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：当时，四边形是矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵，即， ∴ ∵四边形是平行四边形； ∴四边形是矩形； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义证明，据此可证明结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，可知只需要满足，则四边形是矩形，进一步可推出； （3）由（2）可知，此时满足，则可推出，利用勾股定理求出的长，则可得到的长，进而可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴由（2）可知， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴由平行四边形的性质可得． 23. 阅读理解题． 定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“和谐线”，该四边形叫做“和谐四边形”． 如图，在四边形ABDC中，对角线BC平分∠ACD和∠ABD，那么对角线BC叫“和谐线”，四边形ABDC就称为“和谐四边形”． 问题： （1）下列四边形： ①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形， 其中是“和谐四边形”的有______；（填序号） （2）四边形ABCD是“和谐四边形”，，，，求四边形ABCD“和谐线”的长．（画出图形并写出解答过程） 【答案】（1）③④ （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对角线平分一组对角的性质可得出答案； （2）分AC、BD分别平分一组对角两种情况讨论． 【小问1详解】 具有对角线平分一组对角性质的有菱形、正方形， 故答案为：③④； 【小问2详解】 分两种情况： ①当AC是和谐线时，如图1， ∵AC平分∠BAD、∠BCD，在△ABC中，，， ∵， ∴， ∵． ②当BD是和谐线时，如图2，过D作DH⊥AB于H， ∵， ∴， ∴△BDH是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， ∴，∴， ∴ 综上所述：四边形ABCD的和谐线为或． 【点睛】本题考查四边形中为新定义问题，理解新的定义及掌握平行四边形和特殊平行四边形的性质是解题关键． 24. 如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，． （1）求证：直线为的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是的切线， ． 于D ． 又， ． , ， 为的半径， ∴直线为的切线． （2） 证明：， ． ， ， 即． 又， ； （3）10 【解析】 【分析】（1）连接，由垂直于，利用垂径定理得到D为的中点，即垂直平分，可得出，再由，得，由为圆的切线，得到垂直于，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到垂直于，即可得出结论； （2）先证明，得出，通过等量代换即可得证． （3）根据，求出．设，表示出，在中，由勾股定理求得x后即可求得半径，从而求得直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ． 设 ． 在中，由勾股定理，得． 解得，（不合题意，舍去）． ． 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及解直角三角形的相关计算，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ．当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由． （3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+4， 设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4）， ∴PQ=-x+4-()==， ∴当x=2时，线段PQ长度最大=4， ∴此时，PQ=CO， 又∵PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）（0，）或（0，1）或（0，-1） 【解析】 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线BC的解析式为：y=-x+4，设P（x，-x+4），则Q（x，），（0≤x≤4），得到PQ =，从而求出线段PQ长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N，推出，从而得，进而求出E（5，4），设F（0，y），分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线， ∴B（4，0），C（0，4）， 设抛物线，把C（0，4）代入得：，解得：a=1， ∴抛物线的解析式为：； （2）略 （3）过点Q作QM⊥y轴，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，交于点N， 由（2）得：Q（2，-2）， ∵D是OC的中点， ∴D（0，2）， ∵QN∥y轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， 设E（x，），则，解得：，（舍去）， ∴E（5，4）， 设F（0，y），则， ，， ①当BF=EF时，，解得：， ②当BF=BE时，，解得：或， ③当EF=BE时，，无解， 综上所述：点F的坐标为：（0，）或（0，1）或（0，-1）． ． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $