精品解析：2025浙江省嘉兴市平湖市九年级中考二模数学试卷　

2025年初中学业水平考试适应性练习（二） 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似要求的试题结果都用准确值表示． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2. 截至2025年2月5日，的全球下载量约为次，数据“”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分．平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练．根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表： 中位数（次） 方差（次） 第一阶段 36 第二阶段 38 则以下两个结论（ ） ①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分． ②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定． A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 6. 如图，正方形的边长是6，点在边上，，连结，过点作的垂线交于点，连结，线段的长是（ ） A. B. C. 7 D. 7. 小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子．他的办法是：将一块含角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（ ） A. B. C. D. 、、均可 8. 我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，是红球的概率为________． 13. 如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为________． 14. 已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为________． 15. 如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为________． 16. 如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长________． 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． （1）在图中作格点C，使得． （2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹） 20. 某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组；B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组．为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． （1）求C组人数占抽样人数的百分比． （2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数． 21. 如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上． （1）求证：平分． （2）若，，求的正弦值． 22. 兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆．妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆．两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示．已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为． （1）求k与a的值． （2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？ 23. 已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … （1）当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． （2）若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 24. 已知四边形内接于，对角线，交于点E，P为上一点，连结． （1）如图1，若为的直径，且与均为等腰直角三角形，求证：． （2）如图2，若与均为等边三角形， ①求证：． ②若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性练习（二） 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似要求的试题结果都用准确值表示． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，数形结合，直观得到选项中各数与原点距离，从而确定答案，掌握数轴上表示有理数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：在数轴上表示选项中各数，如图所示： 表示1的点离原点距离最近， 故选：C． 2. 截至2025年2月5日，的全球下载量约为次，数据“”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B． 3. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义．根据俯视图是从上面看到的图形判断即可． 【详解】解：几何体的俯视图为： ， 故选：D． 4. 如图，在直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键． 根据点A与点的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与是位似图形，位似中心为点O．点的对应点为， ∴与的相似比为， ∵B点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 5. 排球垫球是中考体育选考项目，垫球40次及以上为满分．平平同学为了在排球垫球考试中取得好成绩，进行了为期两个阶段的训练．根据他的训练成绩计算得到中位数和方差，如下表： 中位数（次） 方差（次） 第一阶段 36 第二阶段 38 则以下两个结论（ ） ①平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分． ②经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定． A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①②都错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，方差与稳定性的关系，根据中位数只能得到平平第二阶段的比赛成绩有至少一半为38次及以上，并不能判断出平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分，据此可判断①；根据方差越小，成绩越稳定可判断②． 【详解】解：∵平平第二阶段的中位数为38次， ∴平平第二阶段的比赛成绩有至少一半为38次及以上，并不能判断出平平第二阶段的训练成绩中至少一半为满分，故①错误； ∵第二阶段的方差小于第一阶段的方差， ∴经过训练，第二阶段的成绩比第一阶段更加稳定，故②正确， 故选；C． 6. 如图，正方形的边长是6，点在边上，，连结，过点作的垂线交于点，连结，线段的长是（ ） A. B. C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证出，得出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：假设的垂足为点， 在正方形中， ， ， 又， ，且， ， ， 由勾股定理得， 故选：D． 7. 小海的圆形镜子摔碎了，想配一面与原来直径相同的镜子．他的办法是：将一块含角的直角三角板的顶点A放在圆上，记两边与圆的交点分别为B，C，如图所示，则需测量的弦为（ ） A. B. C. D. 、、均可 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据圆周角定理得到，继而得到为等腰直角三角形，那么得到，即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 因此确定了，即可确定半径， 故选：B． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问长木多少尺？设木长尺，绳长尺，四位同学根据题意列出以下方程，其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，根据两种情况找出等量关系列出方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、根据用一根绳子去量长木，绳子还剩余尺，可得此方程，该选项正确，不符合题意； B、根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可列，该选项错误，故符合题意； C、根据和，可得，该选项正确，不符合题意； D、 根据和，可得，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 9. 用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 10. 如图，菱形的对角线，交于点O，且的长度是定值．在较长的对角线上有两点E，F，，连结，，，．设四边形和四边形的面积分别是m，n，若，则下列运算结果为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，由菱形的性质，，，，通过证明平行四边形是菱形，可得，，，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵的长度是定值， ∴的长度是定值， ∴的值为定值， 故选：C． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可完成因式分解. 【详解】解：. 12. 一个布袋里装有只有颜色不同的5个球，其中3个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，是红球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式的知识，用红球的数量除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：∵共有5只球，其中红球有3个， ∴从中任意摸出1个球，是红球的概率为， 故答案为：． 13. 如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵与相切于A点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 14. 已知a，b均为实数，定义一种新运算：，若，，，，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，根据新定义求出各数的值，然后相加解题即可． 【详解】解：，，，， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，点，均在反比例函数的图象上．连结，并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结，，，．若，，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、反比例函数的图象与性质、反比例函数中的几何意义，根据反比例函数的图象与性质可证四边形是矩形，根据，，可知矩形的面积是，从而可知，根据矩形的性质可知，从而可知，根据，可得，可以求出、的值，从而可得的值． 【详解】解：点，均在反比例函数的图象上, 点的坐标是，点的坐标是， ，，， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， 如下图所示，过点作，过点作， 则， ， ， ， ， ， ， 点在第一象限， ，， ． 故答案为： ． 16. 如图，为的直径，且，为上异于的一点．现将劣弧沿直线折叠，若弧与直径交于点，，则的长________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题的关键． 作交于点连接，交的延长线于点，连接，得到，继而得到，，推出关于对称，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于点，连接，交的延长线于点，连接， ， ， ， ， ， ， 为的直径， 关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：． （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法和实数运算，正确掌握不等式的解法是解题关键． （1）直接利用绝对值的代数意义以及算术平方根、零指数幂的性质分别化简得出答案； （2）直接根据去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式化简的步骤． 先对分式进行化简，然后代入求值即可． 【详解】原式 当时，原式． 19. 如图，在的网格中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． （1）在图中作格点C，使得． （2）连结，，在图中作出的重心点G．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图，C为所求； （2）如图，G为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图，重心的概念； （1）根据网格得到，即可求出． （2）根据三角形重心是三角形三条中线的交点，再结合网格即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校课后服务开设“人工智能小创客”社团，开设了四个兴趣小组：A：小小机器人组；B：趣味生物组；C：电脑编程组；D：无人机组．为了了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． （1）求C组人数占抽样人数的百分比． （2）若该校共有学生260人，请估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数． 【答案】（1） （2）78人 【解析】 【分析】本题已知考查用样本估计总体，条形统计图和扇形统计图； （1）根据条形统计图和扇形统计图求出调查总人数，再求出C组人数，再结合公式计算C组人数占抽样人数的百分比即可； （2）根据用样本估计总体，列式计算即可． 【小问1详解】 解：本次共调查了名学生， ∵A组4人，B组16人，D组12人， ∴C组：， ∴C组人数占抽样人数的百分比：． 【小问2详解】 解：估计该校想参加无人机兴趣小组的学生人数为人． 21. 如图，在中，，将绕点A旋转得到，点B的对应点D恰好落在的延长线上． （1）求证：平分． （2）若，，求的正弦值． 【答案】（1） 证明：由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理和解直角三角形； （1）根据旋转的性质和等腰三角形的三线合一得到，即可得到结论； （2）先根据勾股定理求出长，根据三线合一得到，然后过点作的垂线，垂足为点，根据的面积求出长，然后根据正弦的定义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， 由（1）可知， 即， ∵，， ∴， 过点作的垂线，垂足为点． ∵， 解得， 在中，， ∴． 22. 兄妹两人一起步行去离家1200米的图书馆借书，途中哥哥突然发现借书证忘带了，于是马上跑步回家拿借书证，3分钟后又以相同的速度跑步去图书馆．妹妹在原地等了5分钟后，以原速度步行去图书馆．两人离家的路程y（米）与所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示．已知哥哥跑步回家时y与x的函数表达式为． （1）求k与a的值． （2）妹妹比哥哥早到图书馆多少分钟？ 【答案】（1）， （2）2.5分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象是解题的关键． （1）先将代入即可求解，再令，即可求解； （2）分别求出妹妹和哥哥到图书馆的时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴哥哥跑步回家时与的函数表达式为 当时，， 解得：； 【小问2详解】 解：原步行速度为米/分钟， 妹妹等哥哥5分钟后以原步行速度去图书馆用时分钟， 妹妹一共用时分钟 哥哥跑步的速度为米/分钟 哥哥一共用时分钟， 所以妹妹比哥哥早到图书馆分钟． 23. 已知，二次函数，x与y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 … y … t m p n … （1）当时， ①若，求二次函数解析式． ②若，求证：． （2）若，且当时，函数y有最大值，求a的取值范围． 【答案】（1）①； ②当时，， 当时，， 当时，， ，即； （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查求出函数解析式以及二次函数的性质，解答本题的关键要熟悉函数与坐标轴的交点，以及这些点代表的意义及函数特征． （1）①由可求出，再根据对称性求出，故可得抛物线的解析式； ②求得，，，由得，从而可得结论； （2）分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①当时， 若时，抛物线对称轴为直线， 解得 二次函数解析式为； ②略 【小问2详解】 解：若时，二次函数解析式为， 此抛物线的对称轴为直线 若，函数有最大值， 且，解得 若，当时，函数有最大值顶点的纵坐标，解得 综上所述，或 24. 已知四边形内接于，对角线，交于点E，P为上一点，连结． （1）如图1，若为的直径，且与均为等腰直角三角形，求证：． （2）如图2，若与均为等边三角形， ①求证：． ②若，求的最小值． 【答案】（1）证明：和为等腰直角三角形且， ， 即 （2）①证明：和为等边三角形 ，， 即 ② 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定与性质； （1）根据等腰直角三角形的性质，通过两边对应成比例及其夹角相等判定即可； （2）①根据等边三角形的性质，再利用边角边证出，即可得出结论； ②设，则，证出，得到，再证出，得到，代入并整理得到，即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②设，则由①可知 ，则 ， ， 即 ， 当时，有最小值 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $