精品解析：广东省广州市玉岩中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

广州市玉岩中学2024学年第一学期高二阶段测试（一） 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：共3组， 故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 故选：A. 2. 将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一个随机放入问题，每个球都是独立的，需要把红球看成是可区分的小球，然后列举出所有的基本事件，求解即可. 【详解】将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中， 每个盒子中至少放入1个球，则基本事件有：（红1，白红2），（白，红1红2），（红2，白红1），（白红2，红1），（红1红2，白），（白红1，红2） 则2个红球分别放入不同盒子中包含了（红1，白红2），（红2，白红1），（白红2，红1），（白红1，红2） 所以由古典概型公式得概率为：. 故选：A 3. 从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都是白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断. 【详解】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A错； B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B错； C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确； D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错. 故选：C. 4. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 6. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据截角四面体的结构特征，结合古典概型以及对立事件分析求解. 【详解】由题意可知：截角四面体有8个面，其中4对相对的面平行， 在考虑顺序的前提下，从这8个面子任选2个面，共有种不同选法， 记“两个平面是相交平面”为事件A，则为两个平面是平行平面，共有种不同选法， 则，所以. 故选：D. 7. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点，证明此时的使得最小，建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标，的最小值为. 【详解】过F作F关于平面的对称点，连接交平面于点. 可以证明此时的使得最小：任取(不含)，此时. 在点D处建立如图所示空间直角坐标系， 则，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以, 又点F距平面的距离为1，所以, 的最小值为. 故选：D 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，从而可得,的坐标，再利用空间向量的数量积运算求解的最小值，即可得的值． 【详解】，，，点在直线上运动， 可设， ，， ， 当时，取得最小值， . 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（ ） A. 当时，相互独立 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；借助韦恩图可以分析即可判断BC；根据对立事件的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以相互独立，所以相互独立，故A正确； 对于B，如图，小圆圈表示的对立事件，大圆圈表示事件，， 无法判断与的大小，故B错误； 对于C，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件， 由图可知，，故C正确； 对于D，根据对立事件的定义，，又， 所以，概率相等，不一定事件相等，故D错误； 故选：AC 10. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式计算概率判断A，B，根据相互独立事件的定义结合概率判断C，D. 【详解】先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为， 则基本事件总数有36种情况， 满足事件情况有四种情况，故，故A正确； 满足事件的情况有两种情况，故，故B不正确； 事件不能同时发生，故与互斥而不相互独立，故C不正确； 满足的情况有 ，18种情况， 故，满足事件只有一种情况，， ，所以与相互独立，故D正确. 故选：AD 11. 在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，四棱锥外接球半径为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先得到，故点在线段上，证明出，结合锥体体积公式求三棱锥体积，判断A；B选项，点为线段的中点，作出辅助线，找到外接球球心，从而得到外接球半径，判断B；C选项，取线段的中点，由对称性知，，数形结合得到，从而得到周长的最小值； D选项，由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆的一部分，由此可求轨迹长度. 【详解】A选项，当时，， 故，即， 故点在线段上， 连接，与相交于点，则为的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 所以三棱锥的体积， 所以，又， 所以， 故三棱锥的体积为，A正确； B选项，当时，由A选项可知，，点为线段的中点， 连接相交于点，则平面， 设正四棱锥的外接球的球心为，则三点共线， 其中，设，则， 由勾股定理得，即， 解得，B错误； C选项，点在矩形及其内部，取线段的中点， 由对称性知，， ，此时三点共线， 又， ，C正确； D选项，因为 ，又点在矩形及其内部， 点的轨迹为点为球心，半径长为的球面被平面截且在矩形及其内部的图形， 又平面，且， 故 ， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆的一部分， 如图，其中，， 故， 则， 则， 则轨迹长为，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据空间向量共线，运用坐标公式将关于的等式表示出来，然后求出的值. 【详解】由题意知所在直线平行， ，， 共线的充要条件是 显然，，符合题意. 当时，由，得 代入，得 综上，的值为1或. 故答案为：1或3. 13. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 【答案】0.245## 【解析】 【分析】根据题意知甲前4场有一场输，第五场必定获胜，由于比赛场次主客场安排固定，所以可计算出每种输一场的概率，最后相加可得到甲队以4：1获胜的概率. 【详解】由题意知甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”， 设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5， 则甲队前5场比赛，第一场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第二场负，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第三次场，另外四场全胜概率为 ， 甲队前5场比赛，第四次场，另外四场全胜概率为 所以甲队以4：1获胜的概率 . 故答案为：0.245 14. 设三个内角的对边分别为，且，，为锐角三角形，是边的中点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正弦定理将原等式进行化简，求出角，然后利用正弦定理求出的表达式，并根据锐角三角形这一条件确定的范围，最后利用向量的数量积求出的取值范围. 【详解】根据正弦定理得：, 因为为锐角三角形，所以. 所以，所以. 所以.所以. 由正弦定理 则. 又为锐角三角形，则. 得，则. 故. . 即，二次函数的开口向下，对称轴为. 所以在单调递减，故的取值范围，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． （1）求线段的长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量对应线段位置关系，应用向量加减法几何意义用，，表示出，再应用向量数量积的运算律求模长即可； （2）应用向量加减几何意义和数量积的运算律求、，再利用夹角公式求异面直线与所成角的余弦值． 【小问1详解】 设，，，则，，， 又，则. 【小问2详解】 由，则， 则. ， 故异面直线与所成角的余弦值为． 16. 2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这人的第60百分位数（精确到0.1）； （2）现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者． ①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差． 【答案】（1） （2）①；②平均数为38，方差约为10. 【解析】 【分析】（1）先确定第60百分位数所在小组，再根据求百分位数公式进行计算； （2）①求出从第四组和第五组所抽人数，写出样本空间，利用古典概型求概率公式进行计算； ②根据数据求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，从而利用局部方差和整体方差的公式进行求解. 【小问1详解】 设第60百分位数为， 因为，， 所以位于第三组：内， 所以. 【小问2详解】 ①由题意得，第四组和第五组抽取人数之比为， 即第四组4人，记为A，B，C，甲，第五组2，记为D，乙， 对应的样本空间为：AB，AC，A甲，AD，A乙，BC，B甲，BD，B乙，C甲， CD，C乙，甲D，甲乙，D乙，共15个样本点， 设事件M为“甲、乙两人至少一人被选上”，则有A甲，A乙，B甲，B乙，C甲，C乙，甲D，甲乙，D乙，共有9个样本点. 所以； ②设第四组的宣传使者的年龄平均数分为，方差为， 设第五组的宣传使者的年龄平均数为，方差为， 第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为， ， 即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为. 据此估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄的平均数为38，方差约为10. 17. 在四棱锥中，面面，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，的值为 【解析】 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【小问1详解】 平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. 【小问2详解】 假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 18. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分情况讨论，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次、第二次甲均投中， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次，则甲不能获胜， 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次甲未投中，第二次乙未投中，第三次、第四次甲均投中， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次为事件A，乙获胜为事件， 则，， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 19. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得； （2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得； （3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得. 【小问1详解】 设，，，则，， ，. 如图，连接并延长交于点,连接,则 两边取平方得. ∴，∴. 【小问2详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以，在底面上，可知， 又平面，平面，所以平面. 【小问3详解】 设，，则①，因，如图， 过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 此时有 因设平面的法向量为， 则，故可取； 又设平面的法向量为， 则，故可取； 则， 由题意，，即② 联立① ② ，解得故 【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题. 解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市玉岩中学2024学年第一学期高二阶段测试（一） 数 学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（   ） A. B. C. D. 2. 将除颜色外完全相同的2个红球和1个白球随机放入2个不同的盒子中，每个盒子中至少放入1个球，则2个红球分别放入不同盒子中的概率为（ ） A B. C. D. 3. 从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ） A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与至少有一个白球 C. 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D. 至少有一个黑球与都白球 4. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到.如图所示，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角，得到所有棱长均为2的截角四面体，则截角四面体各个面所在平面中，两个平面是相交平面的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线上运动，当取最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（ ） A. 当时，相互独立 B. 当时， C 当时， D. 当时， 10. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，设事件“”，事件“”，事件“为奇数”，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为 B. 当时，四棱锥外接球半径为 C. 周长的最小值为 D. 若，则点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两平行直线的方向向量分别为，，则实数的值为__________． 13. 甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为__________. 14. 设三个内角的对边分别为，且，，为锐角三角形，是边的中点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，． （1）求线段长度； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人． （1）根据频率分布直方图，估计这人的第60百分位数（精确到0.1）； （2）现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者． ①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率； ②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差． 17. 在四棱锥中，面面，，，，，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 为了增添学习生活乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 19. 如图，四棱锥中，底面，，，. （1）若G点为的重心，求； （2）若，证明：平面； （3）若，且二面角的正弦值为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $