精品解析：2025年广东省茂名市高州市第15周联考二模数学试题

2024-2025学年度第二学期九年级数学学情练习（第15周） 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 国务院新闻办公室2025年1月17日上午举行新闻发布会，2024年末全国人口为万人，比上年末减少139万人．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 教室图书角有《数学的故事》《数学简史》《中国数学史话》《数学之美》四本书，小明从中任选两本，拿到《数学简史》《数学之美》的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则计算结果的近似值为（ ） A. 7.070 B. 5.656 C. 4.242 D. 2.828 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A. B. C. D. 9. 如图所示，在Rt中，，，，点 为上的点，的半径，点 是 边上的动点，过点 作⊙ 的一条切线 （点 为切点），则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为________h． 12. 在实数范围内因式分解：________． 13. 若m，n是一元二次方程的两个根，则__________． 14. 如果与是同类项，则________． 15. 如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）． 三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，． （1）求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下求的值． 18. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 四、解答题（二）本大题共3个小题，每小题9分，共27分．） 19. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间 （单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 20. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树 的高度．（参考数据：，，） 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的 与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交 于点E，过点M作交于N． ①求证： 是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 五、解答题（三）本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点 是射线上的一个动点，连接，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 （点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点 与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段 与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点 的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点 在线段上，连接，猜想线段 与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点 沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 23. 已知，抛物线：交轴于、 两点（点在点 的左侧），交轴于点，顶点为点 ． （1）求、 两点的坐标； （2）如图1，连接 ，设点 到直线 的距离为，点 到直线 的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于 ， 两点，抛物线，位于 ， 两点之间的部分图形记作，过点 的直线与相交于 ， 两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级数学学情练习（第15周） 一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 中国红十字会是中华人民共和国统一的红十字组织，以保护人的生命和健康，维护人的尊严，发扬人道主义精神，促进和平进步事业为宗旨．下列红十字会的图标中，文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 国务院新闻办公室2025年1月17日上午举行新闻发布会，2024年末全国人口为万人，比上年末减少139万人．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数位数减1，据此求解即可． 【详解】解：万， 故选：A． 4. 抖空竹是我国传统体育项目，如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为和，空竹受到的重力为G，方向竖直向下，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，几何图形的角度运算，先根据两直线平行，同旁内角互补，得再结合，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵ ∴ ∵，， ∴， 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 按照负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项符合题意； 故选：． 6. 教室图书角有《数学的故事》《数学简史》《中国数学史话》《数学之美》四本书，小明从中任选两本，拿到《数学简史》《数学之美》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率．画树状图得出所有等可能的结果数以及拿到《数学简史》《数学之美》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：把《数学的故事》《数学简史》《中国数学史话》《数学之美》四本书，分别用、、、表示， 画树状图如下所示， 从树状图中可以看出共有种等可能的结果，其中拿到《数学简史》《数学之美》的情况有种， 小明从中任选两本，拿到《数学简史》《数学之美》的概率是． 故选：A． 7. 已知，则计算结果的近似值为（ ） A. 7.070 B. 5.656 C. 4.242 D. 2.828 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先将化简，再将代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴． 故选：B． 8. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：； 再向下平移3个单位为：，即． 故选：D． 9. 如图所示，在Rt中，，，，点 为上的点，的半径，点是 边上的动点，过点作⊙ 的一条切线 （点为切点），则线段 的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接OE、OD，由DE为⊙O的切线知DE2+OE2=OD2即DE=，要使DE最小，则OD最小即可，根据题意可知当OD⊥AB时，OD最小，通过证明△BDO∽△BCA可得OD的长度，可得DE的最小值． 【详解】解：如图，连接OE、OD， 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10， ∴BC=6， ∵DE为⊙O的切线， ∴∠DEO=90°， ∴DE2+OE2=OD2， ∵OE=1， ∴DE2=OD2-1，即DE=， 要使DE最小，则OD最小即可， ∵D为AB边上的动点， ∴当OD⊥AB时，OD最小， ∵BC=6，OC=1， ∴BO=5， ∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B， ∴△BDO∽△BCA， ∴，即， 解得：OD=4， ∴DE==， 故选：B． 【点睛】本题主要考查切线的性质，关于圆的切线常添的辅助线是连接圆心和切点可得直角，本题中意识到要使DE最小则OD最小即可是关键． 10. 如图，菱形的边长为3cm，，动点P从点B出发以的速度沿着边运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以的速度沿着边向A点运动，到达点A后停止运动．设点P的运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．易得点P运动的路程为，点Q运动的路程为．当时，点P在线段上，点Q在线段 上，过点Q作于点E，求得的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段 上时，，边上的高是 和 之间的距离为，根据面积公式可得y与x之间的关系式；当点Q在线段上时，，作出边上的高，利用三角形的面积公式可得y与x的关系式．然后根据各个函数解析式可得正确选项． 【详解】解：∵点P的速度是，点Q的速度为，运动时间为x（s）， ∴点P运动的路程为，点Q运动的路程为． ①当时，点P在线段上，点Q在线段 上． 过点Q作于点E， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B； ②当时，点P在线段 上，点Q在线段 上． 过点C作于点F，则为中边上的高． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A； ③当时，点P在线段上，点Q在线段 上． 过点P作于点M． ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∴． 由题意得：． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数为________h． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了众数的概念：众数是一组数据中出现次数最多的数．据此解答即可． 【详解】解：根据众数的定义可知，一组数据中出现次数最多的数是众数，从统计图可知，出现次数最多的是8时，即众数是8； 故答案为：8． 12. 在实数范围内因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握分解因式的方法是解题的关键； 原式先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 若m，n是一元二次方程的两个根，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为；． 14. 如果与是同类项，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同类项的概念，关键是注意同类项：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可． 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 【详解】解： 与是同类项， ，， ， ， 故答案为： ． 15. 如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是______（结果保留π）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案． 【详解】解：∵矩形的边，平分， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积 ． 故答案为：． 三、解答题（一）本大题共3个小题，每小题7分，共21分．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，计算即可得出答案，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： 17. 如图，在中，，． （1）求作边上的高；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下求的值． 【答案】（1） 如图，即为所作： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据三角形的高的定义以及垂线的作图方法作图即可． （2）由等腰三角形的性质可得是的中线，则 ．利用勾股定理求出的长，再根据可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 是的中线， ， ． 在中，， ． 18. 五一节前，某商店拟用元的总价购进两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． （1）求A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ （2）销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】（1）A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元． （2）采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌电风扇每台进价x元，B种品牌电风扇每台进价y元，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可． （2）设购进A品牌电风扇a台，B品牌电风扇b台，根据题意可列等式，由a和b都为整数即可求出a和b的值的几种可能，然后分别算出每一种情况的利润进行比较即可． 【小问1详解】 设A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是x元、y元， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是元、元； 【小问2详解】 设购进A种品牌的电风扇a台，购进B种品牌的电风扇b台， 由题意得：， 其正整数解为： 或或 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， 当时，利润（元）， ∵， ∴当时，利润最大， 答：为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用购进A种品牌的电风扇7台，购进B种品牌的电风扇2台． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键． 四、解答题（二）本大题共3个小题，每小题9分，共27分．） 19. 睡眠是人体的一种主动过程，可以恢复精神和解除疲劳，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．某校为了让全校学生认识睡眠的重要性，开展了“健康睡眠，你我同行”活动，随机调查了该校60名学生每天的睡眠时间 （单位：），将收集的数据分成五组进行整理，并绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图． 所抽取学生睡眠时间频数分布表 组别 睡眠时间 人数/名 组内睡眠总时间 5 28 10 66 150 15 126 10 92 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图，所抽取学生每天的睡眠时间的中位数落在________组； （2）求所抽取学生每天的睡眠时间的平均数； （3）由于初中生的身体处于生长阶段，需保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时），若该校共有1500名学生，请你估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数． 【答案】（1）补全统计图如下： ；C （2） （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，求平均数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）先求出C组的人数，再补全统计图，接着根据中位数的定义求解即可； （2）先求出所有组别的睡眠总时间之和，再除以60即可得到答案； （3）用1500乘以样本中睡眠时间不少于8小时的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 把这60名学生的睡眠时间按照从低到高的顺序排列，中位数为第30名和第31名学生的睡眠时间的平均数， ∵， ∴中位数落在C组； 【小问2详解】 解：， ∴所抽取学生每天的睡眠时间的平均数为； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校能保证每天的睡眠时间不少于8小时（含8小时）的学生总人数为人． 20. 数学兴趣小组在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 的高度，他在点C处测得大树顶端的仰角为．再从C点出发沿斜坡走到达斜坡上的点D处，在点D处测得大树顶端A的仰角为．已知斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）． （1）求点D到地平线的距离； （2）求大树 的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到地平线的距离为4米 （2）大树 的高度是20米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，勾股定理，熟练掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键． （1）过点D作于点H，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （2）过点D作于点G，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米然后利用仰角，俯角及正切即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点 ，则， 由题意知：米，斜面的坡比为， ， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ， ，即米， 点到地平线的距离为4米； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点 ，设米， 由（1）得：米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， 在中，， ， ，经检验：是原方程的解， （米）， 答：大树 的高度是20米． 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的 与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交 于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】 （1）；理由如下： 如图1，连接 和 ， ∵ 和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②半径为， 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接 和 ，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出 的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②解：连接 ， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 五、解答题（三）本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以等腰直角三角形为背景，探索图形运动变化中元素之间的不变关系．如图1，已知中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段 绕点逆时针旋转，得到线段 （点分别是的对应点）． 特例分析：（1）创思小组先研究了点与点重合时的情形，如图2．连接．请判断此时线段 与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 深入探究：（2）博闻小组沿着上述思路继续探究，他们改变点的位置，提出了如下问题，请你解答： ①如图3，当点在线段上，连接，猜想线段 与的数量关系和位置关系，说明理由； ②在点沿射线方向运动过程中，是否存在某一时刻使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出相应的两点间的距离；若不存在，说明理由． 【答案】（1），． 证明： 线段 绕点逆时针旋转得到线段 ， ． ， ． ， ， ， 四边形是平行四边形， ， （2）①，；②或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，全等三角形的判定可证明，得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）①连接，并延长交于点 ，根据等边对等角可求出．证明得出，则，进而可证四边形是平行四边形，即可得出结论； ②分点D在线段上和线段的延长线上讨论即可． 【详解】（1）略 （2）解：①，． 理由：连接，并延长交于点 ， ． 线段 绕点逆时针旋转得到线段 ， ， ． ， ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． ， ②存在； 当点D在线段上时， 由①知： ，，， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴ ， ∴E、B、F共线, 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 由①知： ，， ， ， ， 和重合， 故 不存在，不符合题意，舍去； 当点D在线段的延长线上时， 此时同理可得， ∵， ∴， ∴， 由△ABDQ△EFD ( SSS )可知， 同理可证 ，，， ∴， ∴ 点B、E、F三点共线， 当时， ， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）； 当时， 同理可证 ，， ， ， ， 和重合， 故 不存在，不符合题意，舍去； 综上，两点之间的距离为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，正确画出图形，合理分类讨论是解题的关键． 23. 已知，抛物线：交 轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，顶点为点． （1）求、两点的坐标； （2）如图1，连接，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线，相交于，两点，抛物线，位于，两点之间的部分图形记作，过点 的直线与相交于 ， 两点，若面积的最大值为4，请直接写出满足条件的的值． 【答案】（1）， （2）为定值， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及其性质，一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，中心对称的性质，三角形面积最值问题等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质，并灵活应用． （1）根据函数图象的性质，当函数值为0时转化成一元二次方程，解一元二次方程即可得到交点坐标； （2）过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点 ，作交于点 ，证明得出， 求出相关点的坐标，求得线段长度即可求比值； （3）连接，求出抛物线的解析式，联立解析式求得，分析三角形何时面积最大，进行求解即可． 【小问1详解】 解：当抛物线解析式函数值为0时得， 整理得 解得， ∴，； 【小问2详解】 解： 为定值，定值为2，理由如下： 如图所示，过点作轴交于点，作交于点；过点作轴交于点 ，作交于点 ， ∵, ∴， 即， 假设直线的解析式为，将代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 通过抛物线解析式可求，则， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 假设抛物线的解析式为 根据中心对称的性质可得抛物线的，，，的对称点坐标分别为，则，求得， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线和得 解得 ∴ 由中心对称的性质可得，四边形为平行四边形，, 当点在轴上时，的面积最大，即面积的最大，值为4， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $