精品解析：辽宁省实验中学2025届高三下学期普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（二）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（二） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若的虚部为，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 8 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. 18 B. 2 C. -2 D. -18 5. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 6. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下： （万元） 5 6 7 8 9 （万元） 55 60 75 80 由统计数据知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与负相关 B. 当时，残差为（残差观测值预测值） C. 当时，销售额约为94万元 D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称点在上 11. 在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（ ） A. 当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为 B. 若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则 C. 过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为 D. 存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①的定义域为；②；③在区间，上单调递减． 13. 在正四棱台中，高为，，，则该正四棱台的体积为______． 14. 若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 16. 某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，在中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）． （1）若为棱的中点，证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面距离． 18. 已知函数 . （1） 若，当时，，求的取值范围； （2） 若，求的极值； （3）若是的极小值点，求的取值范围． 19. 过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． （1）若，点，求； （2）若，，判断圆否具有性质，并说明理由； （3）若，圆具有性质，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学（二） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再求，最后根据集合的交集运算即可求解. 【详解】由，得或，所以， 又因为，所以． 故选：B． 2. 若的虚部为，则（ ） A. B. C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算先求复数，根据复数的虚部为即可求解. 【详解】因为的虚部为， 所以，解得． 故选：A． 3. 已知等差数列满足，，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质有即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，， 所以，，解得，，所以． 故选：C． 4. 已知向量，，，若，则（ ） A. 18 B. 2 C. -2 D. -18 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量加法的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示求出. 【详解】依题意，，由，得， 所以. 故选：A 5. 据典籍《周礼•春官》记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶．若把这五个音阶全用上，排成一个五音阶音序，要求“宫”不为末音阶，“商”和“羽”之间恰有两个音阶，则可以排成不同音序的种数是（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】优先处理特殊元素“宫”，根据“宫”的位置分类讨论即可求解. 【详解】当“宫”在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为； 当“宫”不在“商”和“羽”之间时，可以排成不同音序的种数为， 所以一共可以排成不同音序的种数为． 故选：B． 6. 已知函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题设和函数的周期公式可得，再根据余弦函数的性质可得，进而求解即可. 【详解】由题可知的最小正周期为，因为在区间上单调， 所以，则，解得， 当时，， 且，， 所以，解得，结合，得的取值范围为． 故选：D． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可. 【详解】由题意，，，所以，则， 所以，由，，设， 则，， 则，解得，，即， 因为点在椭圆上，所以，化简得， 所以． 故选：B． 8. 若函数满足：存在非零常数，对任意，，则称是“衰减函数”．已知函数为上的奇函数，且当时，，若为“衰减函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用绝对值的性质，得，再利用奇函数的性质，得到的图象，再利用题设定义，数形结合，即可求解. 【详解】当，即时，； 当，即时，， 所以当时，，因为为奇函数，所以其图象关于原点对称， 作出的大致图象，如图所示， 因为为“衰减函数”，所以在上恒成立， 所以将图象向右平移个单位长度后得到的图象不在图象的上方， 由图象知点向右平移6个单位长度后得点不在点的左边， 所以，解得． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某电影公司为了解某部电影的宣传对票房的影响，在某市随机抽取了5个大型电影院，得到其宣传费用（单位：万元）和销售额（单位：万元）的数据如下： （万元） 5 6 7 8 9 （万元） 55 60 75 80 由统计数据知关于的经验回归方程为，则（ ） A. 变量与负相关 B. 当时，残差为（残差观测值预测值） C. 当时，销售额约为94万元 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由回归方程结合正负相关的定义分析判断，对于B，根据残差的定义分析判断，对于C，将代入回归方程计算判断，对于D，先求出，然后将其代入回归方程可求出. 【详解】对于A，由，可知随的增大而增大，所以变量与正相关，故A错误； 对于B，当时，，残差为，故B正确； 对于C，当时，，所以当时，销售额约为94万元，故C正确； 对于D，因为，， 由经过点，得，解得，故D正确． 故选：BCD． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是上第一象限内一点，则（ ） A. 若点关于原点对称的点为点，且，则 B. 的右顶点到渐近线的距离为 C. 内切圆的圆心在直线上 D. 不存在点，使得点关于点对称的点在上 【答案】ACD 【解析】 【分析】判断四边形为平行四边形，结合对角线相等可得四边形为矩形，可判断A；根据点到直线距离公式可判断B；利用双曲线定义求出内切圆的圆心横坐标可判断C；假设点关于点对称的点在上，导出矛盾可判断D. 【详解】由双曲线可得，，， 对于A，因为点，关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，由题意知的渐近线方程为， 则右顶点到直线的距离为，故B错误； 对于C，如图所示， 设内切圆与的三边分别相切于点，，，则，， ，由，可得， 即，所以，又， 所以，所以，所以内切圆的圆心在直线上，故C正确； 对于D，假设点关于点对称的点在上， 由题意可知直线的斜率存在且不为0，则， 由，两式相减得， 即，则， 所以直线的方程为，即， 此时直线为的一条渐近线，与无交点，与假设矛盾， 即不存在点，使得点关于点对称的点在上，故D正确． 故选：ACD． 11. 在棱长为4的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是棱上的动点（包含端点），则（ ） A. 当点是棱的中点时，过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形的面积为 B. 若过点，，的平面截该正方体所得截面与交于点，则 C. 过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形的面积的最大值为 D. 存在点，使得过点，，的平面截该正方体所得截面图形为五边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A在正方体中，取的中点，连接，，，如图所示，找与平面平行的截面即可判断，对于B延长，，使，再连接，使，延长，，使，连接，使，连接，，则五边形为平面截正方体所得截面图形，利用相似三角形即可求解，对于C过点作于点，过点作交于点，即证平面，过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形为矩形，当点与点重合时，矩形的面积最大，求矩形的面积即可，对于D分别作出当点与点重合时，当点与点重合时，当在棱（除端点外）上时的截面即可判断. 【详解】对于A，如图所示，取的中点，连接，，， 因为，分别为，的中点，所以，， 又平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面，，故平面平面，所以即为过点且与平面平行的平面截该正方体所得截面图形， 因为正方体的棱长为4，所以， 所以的面积为，故A正确； 对于B，如图，延长，，使，再连接，使，延长，， 使，连接，使，连接，， 则五边形为平面截正方体所得截面图形，又， 所以，所以，故B正确； 对于C，如图，过点作于点，过点作交于点． 易得得平面，又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以过点且与垂直的平面截该正方体所得截面图形为矩形， 当点与点重合时，矩形的面积最大，此时点为的中点， 所以，，矩形的面积最大为，故C正确； 对于D，由题可知，，分别是，的中点，则． 当点与点重合时，过点，，的平面截该正方体所得截面图形为矩形； 当点与点重合时，截面图形为四边形（菱形）；当在棱（除端点外）上时， 如图，作交于点，连接并延长交延长线于点， 连接并延长交延长线于点，连接交于点，交于点， 多边形为过，，三点的截面图形，由正方体的对称性可知梯形与梯形全等， 则截面图形为六边形．综上，过，，三点的平面截该正方体所得截面图形不可能是五边形，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式______． ①定义域为；②；③在区间，上单调递减． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意找到满足三个条件的函数即可. 【详解】取，满足条件①．， 满足条件②．在区间上单调递减，满足条件③． 故满足题意． 故答案为：（答案不唯一） 13. 在正四棱台中，高为，，，则该正四棱台的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，从而得，再利用正四棱台体积公式即可. 【详解】连接，，，设，连接， 在正四棱台中，， 因为，所以，则，， 因为该正四棱台的高为，所以，所以， 所以该正四棱台的体积． 故答案为：. 14. 若曲线与曲线存在公切线，则取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设公切线分别与曲线，相切于点，，分别求切线方程，即可有，，得，令，，利用导数研究单调性，进而得即可求解. 【详解】由题意知，， 设公切线分别与曲线，相切于点，，则，， 所以公切线方程为，， 即，，所以，， 所以， 令，，， 所以，由，得,由，得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，且时，，时，， 所以． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记数列的前项和为，已知． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用和等比数列的定义即可求证； （2）由（1）通过等比数列求通项公式即可求解； （3）利用错位相减法和分组求和即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，； 当时，， 所以， 即， 又， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问2详解】 由（1）得 所以． 【小问3详解】 由（2）得， 记，① 则，② 由①－②得 所以， 所以． 16. 某芯片公司生产甲、乙、丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲、乙、丙芯片第一次光刻的良品率分别为，，．只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，甲、乙、丙第二次光刻的良品率分别为，，．第二次光刻的良品才是合格品． （1）若从第一次光刻的芯片中任取3枚甲芯片、2枚乙芯片、1枚丙芯片，再从这6枚芯片中任取一枚，求该芯片是良品的概率； （2）甲、乙、丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润100元，每件不合格品使公司亏损25元，现生产甲、乙、丙芯片各一枚，设这3枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）考虑从甲、乙、丙三种芯片中选且是良品的不同情况，分别计算概率再相加. （2）因为芯片合格需两次光刻都合格，所以用每次光刻为良品的概率相乘，分类讨论计算概率.得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 记事件为该芯片是良品， 则． 【小问2详解】 设，，分别为甲、乙、丙三种芯片第次光刻为良品， 则，，，，，． 甲芯片是合格品的概率为， 乙芯片是合格品的概率为， 丙芯片是合格品的概率为． 的可能取值为-75，50，175，300， ， ， ， ， 其分布列为 50 175 300 数学期望． 17. 如图，在中，，，为的中点，过点作交于点，将沿翻折至，得到四棱锥，为棱上一动点（不包含端点）． （1）若为棱的中点，证明：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为． （ⅰ）求； （ⅱ）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，则，通过证明平面平面，由面面平行的性质定理即可求证； （2）（ⅰ）证明平面，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值求，即可求解； （ⅱ）求平面的法向量为，利用空间向量法求距离即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 连接，因为为的中点，所以是等边三角形． 取的中点，连接，，则， 则，． 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面． 【小问2详解】 （ⅰ）因为，， 所以， 所以， 因为，所以， 又，，平面， 所以平面， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，, 则， 设， 则，． 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以， 整理得，解得舍，所以． （ⅱ）由（ⅰ）知，，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 则， 所以点到平面的距离为． 18. 已知函数 . （1） 若，当时，，求的取值范围； （2） 若，求的极值； （3）若是的极小值点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）极大值为，无极小值； （3）. 【解析】 【分析】（1）原不等式即为，利用导数求出的最小值后可得参数的取值范围； （2）求出函数的导数，判断其符号后可得函数的极值； （3）求出函数导数，设，利用局部保号性，分，和三种情况，分类讨论，可求参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为当时，， 即，不等式两边同除以得 ， 令，则， 当时，，单调递增， 所以，所以的取值范围为． 【小问2详解】 当时，，则， 令，则， 由，得；由，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 且时，，， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． 【小问3详解】 由题可得，. 令， 则，， 当，即时， 存在，使得当时，， 此时即在区间上单调递增， 故当时，，当时，， 所以当时，是的极小值点，符合题意． 当，即时， 存在，使得当时，， 此时即在区间上单调递减， 故当时，，当时，， 所以当时，是极大值点，不符合题意． 当，即时，，， 令，得或0， 当时，， 当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故在上，有， 所以当时，不是的极值点，不符合题意． 综上所述，的取值范围为. 19. 过抛物线上任意一点能作圆的两条切线，与交于另外两点，，若直线也与相切，则称圆具有性质．已知抛物线的焦点为，圆：在内部，过上一点作的两条切线，分别交于点，． （1）若，点，求； （2）若，，判断圆是否具有性质，并说明理由； （3）若，圆具有性质，求． 【答案】（1） （2）圆不具有性质，理由见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据题意求出三点的坐标，再利用余弦定理即可得解； （2）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径即可求出，再联立切线与抛物线的方程，求出两点的坐标，结合性质的定义即可得出结论； （3）取，设切线方程为，，根据圆心到切线的距离等于半径得出的关系，再联立切线与抛物线的方程，从而可求出直线的方程，再结合性质的定义即可得出答案. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，，， 所以； 【小问2详解】 取，圆， 设切线方程为，， 由，解得， 将直线代入， 解得或或， 假设，， 则直线的方程为， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆不相切， 所以圆不具有性质； 【小问3详解】 取，圆， 设切线方程为，，则，① 将直线代入，解得，或，， 假设，由对称性可得， 所以直线的方程为，由直线和圆相切，可得，② 由①②解得，． 下面证明当时，满足条件． 设，，，， 则， 所以直线的方程为， 即， 同理得直线的方程为， 所以直线的方程为． 由直线与圆相切，得， 即， 同理由直线与圆相切得， 所以，为方程的两个根， 所以，， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以直线与圆相切，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $