4.1 因式分解 （课件）　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第四章 因式分解 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 4.1 因式分解 目录 壹 课前复习 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 课前复习 课前复习 1.计算： ________. 2.计算： _____________. 3.计算： ________. 第贰章节 新课导入 新课导入 1. 单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作单项式，单独______或________也是单项式. 数与字母的乘积 一个数 一个字母 例如， 2. 多项式：几个单项式的___叫作多项式. 和 例如， 3. 整式：单项式和多项式统称整式. 思考 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 第叁章节 新知探究 新知探究 因式分解的概念 1 议一议 你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗? 与同伴交流. 提示：类比 993 - 99 的因数分解 a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1) 做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式. (1) a m b m c m a+b+c m ________________＝________________ m(a + b + c) ma + mb + mc x x ________________＝________________ (2) 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的“因式分解”，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗？ 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？ 其中，每个整式都叫做这个多项式的因式. 归纳总结 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式. 判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 • 2ab F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式. 辩一辩 想一想：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同? 由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法， 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程. 因式分解与整式乘法的关系 2 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 想一想：因式分解与整式乘法有什么关系? 是互为相反的变形，即 因式分解等式的特征： x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 左边是多项式， 右边是几个整式的乘积. 例 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 典例精析 下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y)的是（　　） A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 练一练 第肆章节 随堂练习 随堂练习 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ). C A. B. C. D. 2.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( ). D A. B. C. D. 3.下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是( ). C A. B. C. D. 21 4.下列各式的因式分解中正确的是( ). D A. B. C. D. 5.下列从左到右的变形中，不属于因式分解的是( ). D A. B. C. D. 22 6.下列由左到右的变形，是因式分解的有____.(填序号) ① ； ② ； ③ ； ④ . ① 23 7.把分解因式得到,则 的值为___. 2 24 8.任意选取四个连续自然数，将它们的积再加上1,其结果可以表示成一个 自然数的平方形式.如： .类似地，将 表示成一个自然数的平方，则这个自然数是_____; 一般地，若为自然数，则 可以表示成一个 自然数的平方，这个自然数是____________.(用含 的代数式表示) 181 25 9.仔细阅读下面的例题，解答问题. 例题：已知二次三项式有一个因式是 ,求另一个因式 以及 的值. 26 解:设另一个因式为 ,则 . , 解得 另一个因式为,的值为 . 27 第伍章节 课堂小结 课堂小结 因式分解与整式乘法都是整式的变形，这两者有什么区别与联系呢？ 如果把整式乘法看作一个变形过程，那么多项式的因式分解就是它的逆变形，即整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形. 因式分解 整式变形 区别 联系 把一个多项式转化为几个整式的积的形式 把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式 m(a+b+c) ma+mb+mc 整式乘法 因式分解 (a+b)(a-b) a2-b2 整式乘法 因式分解 (a±b)2 a2±2ab+b2 整式乘法 因式分解 人教版数学八年级下册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$