第四章 因式分解——直接提公因式因式分解（教学设计）-2024-2025学年北师大版数学八年级下册

本文围绕直接提公因式因式分解展开，承接整式运算背景，为后续复杂因式分解奠基。通过实际问题情境导入，引导学生识别公因式、掌握提公因式法，培养学生用数学眼光观察、数学思维思考、数学语言表达现实世界的核心素养。 本设计亮点在于结合生活实例，采用情境导入与合作探究法。从学生层面看，提升其解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破公因式确定及提公因式法应用的教学难点。

直接提公因式因式分解 教学设计 教学设计表 学科 授课年级 学校 教师姓名 章节名称 直接提公因式因式分解 计划学时 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过实际问题情境，学生能够识别多项式中的公因式，理解公因式在因式分解中的作用。 （2）会用数学的思维思考现实世界：学生能够运用提公因式法进行因式分解，掌握确定公因式的基本方法，并能够解决相关数学问题。 （3）会用数学的语言表达现实世界：学生能够用数学语言准确描述因式分解的过程，并能通过因式分解简化复杂的数学运算。 教学重点 （1）理解公因式的概念，能够通过分析多项式各项的系数和字母因式，准确确定公因式。 （2）掌握直接提公因式法分解因式的基本步骤，并能够在实际问题中灵活运用，简化计算过程。 教学难点 （1）学生对公因式概念的理解及在多项式中准确识别并确定公因式。 （2）学生运用提公因式法进行因式分解的步骤熟练度以及在不同类型题目中的应用能力。 教学准备 （1）多媒体投影仪和电脑，用于展示和讲解公因式及因式分解的相关概念和例题。 （2）准备相关的数学题目集，包括基础练习和拓展应用题，以供学生课堂练习和巩固知识点。 （3）准备一些实际生活中的例子，如房屋装修、购物预算等，以便更好地引入公因式和因式分解的应用场景。 教学过程 一、情境导入 （老师展示情景问题）小华家最近购买了一套新房，在装修时需要在三室两厅的地面上铺贴相同规格的地板砖。小华的父亲希望小华能测算出三室两厅的地面总面积。小华注意到，三个房间和两个大厅的宽度均为a 米，其中大厅的长度为c 米，三个房间的长度均为d 米。已知a = 3.6 米，b = 5.6 米，c = 2.8 米，d = 4.2 米。 （老师提出问题）同学们，你们觉得应该怎样计算呢？有没有什么方法能让这个计算过程变得更简便一些？ （学生可能的回答：可以先算出一个房间的面积，再乘以房间的数量；可以把所有房间的长度加起来，然后乘以宽度 a。） 二、合作探究 探究点一：确定公因式 （老师讲解）在一个多项式中，各项都有一些相同的因数。这些相同的因数就是公因式。比如多项式6ab²c - 3a²bc + 12a²b²，我们一起来找出它的公因式。 （老师提问）大家来找找，这个多项式中各项系数的最大公约数是多少？（生：3） （老师继续引导）再看看相同字母的最低指数次幂是什么？（生：ab） （老师总结）因此，这个多项式的公因式是 3ab。（板书：3ab） （老师给出题目）请问多项式 6ab²c - 3a²bc + 12a²b² 中各项的公因式是 (　　)？ A. abc B. 3a²b² C. 3a²b²c D. 3ab （学生讨论并回答）正确答案是 D. 3ab。（老师解释原因）因为系数的最大公约数是 3，相同字母的最低指数次幂是 ab，所以公因式是 3ab。 方法总结 （老师总结）确定多项式中各项的公因式，可概括为三步： 确定各项系数的最大公约数； 确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； 确定相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂。 探究点二：用提公因式法进行因式分解 【类型一】 用提公因式法因式分解 （老师讲解并展示例题）因式分解的基本步骤是：首先找出公因式，然后提取公因式并确定另一个因式。 （老师出示例题）请分解因式： (1) 8a³b² + 12ab³c (2) 2a (b + c) - 3 (b + c) (3) (a + b)(a - b) - a - b （老师引导学生）让我们先来看第一个例子，8a³b² + 12ab³c，如何找到公因式？（生：系数的最大公约数是 4，相同字母的最低指数次幂是 ab） （老师示范）提取公因式后，结果如下： 8a³b² + 12ab³c = 4ab²(2a² + 3bc) （老师继续引导）第二个例子，2a (b + c) - 3 (b + c)，公因式是什么呢？（生：公因式是 b + c） （老师示范）提取公因式后，得到： 2a (b + c) - 3 (b + c) = (2a - 3)(b + c) （老师继续引导）第三个例子，(a + b)(a - b) - a - b，公因式是什么呢？（生：公因式是 a + b） （老师示范）提取公因式后，得到： (a + b)(a - b) - a - b = (a + b)(a - b - 1) （老师总结）通过以上例题，我们可以看到，提公因式法的基本步骤是：找出公因式，提取公因式并确定另一个因式。 【类型二】 用因式分解简化运算 （老师讲解）在计算求值时，如果式子各项都含有公因式，可以用提取公因式的方法使运算更简便。 （老师出示例题）请计算： (1) 39 × 37 - 13 × 91 (2) 29 × 20.15 + 72 × 20.15 + 13 × 20.15 - 20.15 × 14 （老师引导学生）我们先来看第一个例子，39 × 37 - 13 × 91，如何提取公因式？（生：提取公因式 13） （老师示范）提取公因式后，得到： 39 × 37 - 13 × 91 = 3 × 13 × 37 - 13 × 91 = 13 × (3 × 37 - 91) = 13 × 20 = 260 （老师继续引导）第二个例子，29 × 20.15 + 72 × 20.15 + 13 × 20.15 - 20.15 × 14，如何提取公因式？（生：提取公因式 20.15） （老师示范）提取公因式后，得到： 29 × 20.15 + 72 × 20.15 + 13 × 20.15 - 20.15 × 14 = 20.15 × (29 + 72 + 13 - 14) = 20.15 × 100 = 2015 （老师总结）通过以上例题，我们可以看到，在计算求值时，如果式子各项都含有公因式，可以用提取公因式的方法使运算更加简便。 三、课堂练习 （老师分发练习题）请大家完成以下练习题： 因式分解：12x²y - 8xy² + 4xy 计算：15 × 52 - 5 × 156 （学生独立完成练习） （老师巡视并指导学生） （老师提问个别学生）谁来分享一下你的答案？（学生回答） 12x²y - 8xy² + 4xy = 4xy(3x - 2y + 1) 15 × 52 - 5 × 156 = 5 × 156 - 5 × 156 = 0 （老师点评）非常好，大家都做得很好。 四、课堂小结 （老师小结）今天我们学习了提公因式法因式分解的方法，掌握了确定公因式的三个步骤：确定系数的最大公约数、确定相同字母因式及其最低指数次幂。同时，我们还学会了如何利用提公因式法简化运算。希望大家能够熟练掌握这些知识，并在实际问题中灵活运用。 （老师提问）大家还有什么疑问或者需要进一步解释的地方吗？（学生提问并解答） （老师布置作业）请大家完成课本上的相关习题，并预习下一课的内容。 课后作业布置 （1）请运用提公因式法因式分解以下多项式，并简要说明你的解题步骤：4ab - 2ab + 8ab。 （2）小练习：计算下列表达式的值，注意使用提公因式法简化运算过程：(a) 15x - 5y + 10x (b) 12mn - 3mn + 9mn。 学科网（北京）股份有限公司 $$