第28章 锐角三角函数 单元测试2024－2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下 第28章 锐角三角函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为　　 A． B． C． D． 2．的值为　　 A． B． C．1 D． 3．在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 4．如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了16米，到达处，测得，则大树的高度为　　 A．6米 B．8米 C．10米 D．20米 5．在△中，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D．不确定 6．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是　　． A．0.95 B． C． D． 7．已知实数，，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 8．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是　　米（精确到1米）． （参考数据：，，， A．74 B．91 C．57 D．40 9．如图，小温通过“ ”软件测得手机镜头点离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端点的俯角，顶端点仰角，则可得到小旗杆的高度为　　 A． B． C． D． 10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为　　 A． B． C． D． 11．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 12．△中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 13．计算：　　 ． 14．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 　　 米． 15．在中，若，则　　． 16．在中，，，点是边上一点，，，则　　． 17．图1为汽车雨刮器，其局部构造如图2，把玻璃框看作矩形，雨刮臂．若雨刮条的端点到点的距离为，且的度数保持不变，当雨刮臂绕着点顺时针旋转时，雨刮条扫过的面积为 　　；如图3，若，，在雨刮臂运动过程中，雨刮臂所在直线与边框或交于点，以线段为直径作，当与矩形的交点个数最多时，的取值范围是 　　． 三．解答题（共5小题） 18．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上点处观测旗杆顶点的仰角为，观测旗杆底部点的仰角为（参考数据：，． （1）若已知米，求建筑物的高度； （2）若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 19．如图，已知四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点． （1）若，求的长； （2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 20．如图，为了测量一棵树的高度，小明在点测得树的最顶端的仰角为，在点测得树的最顶端的仰角为． （1）若，，点与点相距1.4米，求这棵树的高度（精确到，； （2）若，米，米，求这棵树的高度． 21．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． （1）若，求路灯的高度； （2）连接，若米，求的值． 22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据： 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级下 第28章 锐角三角函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．一个斜坡的坡角为，则这个斜坡的坡度为　　 A． B． C． D． 【分析】坡度是坡角的正切值． 【解答】解：因为，即坡度为．故选：． 2．的值为　　 A． B． C．1 D． 【分析】直接根据求解． 【解答】解：． 故选：． 3．在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【解答】解：在中，，，， ， 故选：． 4．如图，大树垂直于地面，为测树高，小明在处测得，他沿方向走了16米，到达处，测得，则大树的高度为　　 A．6米 B．8米 C．10米 D．20米 【分析】根据，即可得到，再根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半即可得到答案． 【解答】解：，， ， 米， 米， ，垂直于地面， 米， 故选：． 5．在△中，，若，，则的度数为　　 A． B． C． D．不确定 【分析】根据余弦的定义、的余弦值是解答． 【解答】解：在△中，，若，， 则， ， 故选：． 6．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为，若将一扇车门侧开，则这扇车门底边上所有点中到车身的最大距离是　　． A．0.95 B． C． D． 【分析】过点作于点，则为最大距离，根据三角函数作答即可． 【解答】解：过点作于点，则为最大距离， 在中， ，， ， 故选：． 7．已知实数，，，则下列判断正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 8．如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是　　米（精确到1米）． （参考数据：，，， A．74 B．91 C．57 D．40 【分析】过点作于点，则米，在△中和△中，根据锐角三角函数中的正切函数的定义可以分别求得和的长，从而可以求得的长． 【解答】解：处测得处的仰角是，测得处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，如图，过点作于点， ，，米，， 在△中，， （米， 在△中，， （米， （米， 即这栋楼的高度是74米． 故选：． 9．如图，小温通过“ ”软件测得手机镜头点离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端点的俯角，顶端点仰角，则可得到小旗杆的高度为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ， 故选：． 10．如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，杯中水的最大深度为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，先证明，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解答】解：矩形为一个正在倒水的水杯的截面图如图所示，， 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 杯中水的最大深度为． 故选：． 11．如图，在中，，，点的坐标是，，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质可知，，，由勾股定理求出，取的中点，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出，，由全等三角形的判定和性质得出，，进而得出点的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案． 【解答】解：如图，连接，取的中点，连接，，，过点作轴的垂线交轴于，与过点作轴的垂线相交于点，由旋转可知，，，， ， 点是的中点， ， 点是点、点的旋转中心，点也是点、点的旋转中心， ， ， 又，， △△， ， 点是点、点的旋转中心， 因此点是旋转到的旋转中心， ，， ， ，， ， ，， 在中，由于， 设，则，由勾股定理得， ， 即， 解得（取正值）， 即， ， ， ， 点， 点， 中点的坐标为，， 故选：． 12．△中，，的平分线交于，在延长线上，在上，经过中点，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】过作于，延长交于，由，设，则，而为中点，得，根据平分，可得△△，即有，，而，可得，即知，根据，得，从而可得． 【解答】解：过作于，延长交于，如图： 在△中，， ， 设，则， 为中点， ， 平分， ， ，， △△， ，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ，， ， ， 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．计算：　　 ． 【分析】首先计算特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算加法即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 14．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高的长为 　　 米． 【分析】在△中，由正切的定义即可求解． 【解答】解：由题意得：， （米， 故答案为：． 15．在中，若，则　　． 【分析】利用非负数和为零得出，，求出、度数，再由三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 16．在中，，，点是边上一点，，，则　6或　． 【分析】过点作于，根据，可得出，设，，则，，在中，由勾股定理得构造关于的方程并解出，进而可求出，，然后证和相似，最后利用相似三角形的性质可求出的长． 【解答】解：过点作于，如图所示： ， 在中，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：，或， 当时，，， ，， ， ， ， 即， ， 当，，， 同理：， 即， ． 综上所述：或． 17．图1为汽车雨刮器，其局部构造如图2，把玻璃框看作矩形，雨刮臂．若雨刮条的端点到点的距离为，且的度数保持不变，当雨刮臂绕着点顺时针旋转时，雨刮条扫过的面积为 　　；如图3，若，，在雨刮臂运动过程中，雨刮臂所在直线与边框或交于点，以线段为直径作，当与矩形的交点个数最多时，的取值范围是 　　． 【分析】线段扫过的面积．如图3中，以为直径作，当与相切于点时，设．利用勾股定理求出的值，再求出两种特殊位置的值，可得结论． 【解答】解：如图2中， 线段扫过的面积 ． 如图3中，以为直径作，当与相切于点时，设． 是的切线， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 此时， 当点与重合时，， 观察图形可知，． 故答案为：，． 三．解答题（共5小题） 18．测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物的屋顶有一根旗杆，从地面上点处观测旗杆顶点的仰角为，观测旗杆底部点的仰角为（参考数据：，． （1）若已知米，求建筑物的高度； （2）若已知旗杆的高度米，求建筑物的高度． 【分析】（1）由题意可知△是等腰直角三角形，所以； （2）直接利用，进而得出的长求出答案． 【解答】解：（1），， ， ， 米， 米， 答：建筑物的高度为25米； （2）设米， 则， ， 答：建筑物的高度为20米． 19．如图，已知四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点． （1）若，求的长； （2）若，求的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【分析】（1），，，，进而求出，； （2），设，则，得，求出，进而求出，，，解得，． 【解答】解：（1），，，， ，， 又，，，， ， ； （2），，， 设，则，得， ，即， ，， ， 解得， ． 20．如图，为了测量一棵树的高度，小明在点测得树的最顶端的仰角为，在点测得树的最顶端的仰角为． （1）若，，点与点相距1.4米，求这棵树的高度（精确到，； （2）若，米，米，求这棵树的高度． 【分析】（1）根据三角函数的定义得到，，由即可求得答案； （2）根据题意可得：米，米，，从而可得，进而可得，然后利用同角的余角相等可得，从而证明△△，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：米，， ， ，， ， ，， ， ， 解得米． 答：这棵树的高度约为2米； （2）由题意得：米，米，， ， ， ， ， ， △△， ， ， 或（舍去）， 这棵树的高度是2米． 21．如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路灯灯光正好照在地面上的处和处，且，与相交于点． （1）若，求路灯的高度； （2）连接，若米，求的值． 【分析】（1）根据题意得到米，米，证明△△，△△得，，进而得，进而可得答案； （2）过点作于点，则，证明△△，△△，得，，进而得，进而可求得米，（米，，再由勾股定理求得（米，再根据正弦函数的定义求解即可． 【解答】解：（1）已知两路灯之间的水平距离是24米，即米，，且， 米，米， ， ， 又，， △△，△△， ，， ，即， 又， 米， 答：路灯的高为16米； （2）由题意得米，米，米， 过点作于点，如图， ， △△，△△， ，， ， 米，（米， （米， 在直角三角形中，由勾股定理得：（米， ． 22．“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小蜀同时从公园大门地）步行出发，约定在停车场地）汇合．小巴先沿北偏东的方向走到达和善亭地），然后继续向东北方向走到达和雅亭地），到达地后停留了3分钟整理沿途采集的植物，整理完毕后再到停车场地），地在地的南偏东方向．小蜀从地出发后，先沿正东方向到达和志亭地），再沿北偏东方向到达地，地恰在地的正南方向． （1）请求出的长度；（结果保留根号） （2）若小巴步行的速度为，小蜀步行的速度为，请问小巴和小蜀谁先到达停车场地）？通过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据： 【分析】（1）过作于，求得，根据矩形的性质得到，得到，于是得到； （2）过作于，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）过作于，于， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）过作于， ，， ， ，， ， ， ， 小巴所用时间为：， 小蜀所用时间为：， ， 小巴先到达停车场地）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$