第22章 二次函数 单元测试2025－2026学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列函数中属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标和对称轴是　　 A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 3．抛物线与轴的交点个数为　　 A．无交点 B．1 个 C．2 个 D．3 个 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是　　 A． B． C． D． 5．已知二次函数，在其图象对称轴的左侧，随的增大而减小，则的值为　　 A． B． C． D．0 6．已知点，，，在二次函数上，且，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 7．平移二次函数的图象，使其顶点落在第四象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 8．已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D． 9．已知抛物线为常数，且上有、、、四个点，若、、、四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 10．已知二次函数的图象经过点，，图象上有三个点，，，，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是　　 A． B．时，有最大值 C． D． 11．小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是　　 A．8 B．0 C．10 D．14 12．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接、、、；当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．四边形的最大面积为13 二．填空题（共5小题） 13．顶点坐标为，且与抛物线的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 　　． 14．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 　　． 15．若抛物线的顶点在直线上，则的值为 　　． 16．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是　　．（填序号即可） 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为　　． 三．解答题（共4小题） 18．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系． （1）求小球飞行时的高度； （2）问：小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 19．已知二次函数的对称轴为直线，且过和两点， （1）写出此二次函数解析式； （2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当为何值时，随增大而增大？ 20．已知抛物线的顶点坐标为． （1）求，的值，并写出函数表达式． （2），在该抛物线上． ①当点关于抛物线对称轴的对称点为时，求的坐标． ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求的值． 21．掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度（米与水平距离（米之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点3.6米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版九年级上 第22章 二次函数 单元测试 一．选择题（共12小题） 1．下列函数中属于二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可． 【解答】解：，符合二次函数的定义，则符合题意； ，整理得，是分式，则不符合题意； ，不含自变量及二次项，则不符合题意； 中当时，它不是二次函数，则不符合题意； 故选：． 2．抛物线的顶点坐标和对称轴是　　 A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【分析】根据顶点式，可直接求出顶点坐标，对称轴． 【解答】解：抛物线解析式为， 顶点坐标为，对称轴为． 故选：． 3．抛物线与轴的交点个数为　　 A．无交点 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【分析】通过解方程得到抛物线与轴的交点坐标为，从而可判断抛物线与轴交点个数． 【解答】解：当时，，解得， 所以抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与轴只有一个交点． 故选：． 4．将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是　　 A． B． C． D． 【分析】原抛物线的顶点坐标为，根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为，根据抛物线的顶点式求解析式． 【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为， 平移后抛物线解析式为． 故选：． 5．已知二次函数，在其图象对称轴的左侧，随的增大而减小，则的值为　　 A． B． C． D．0 【分析】根据二次函数的定义条件列出方程求解则可．其图象对称轴的左侧，随的增大而减小就说明图象开口向上，． 【解答】解：由二次函数定义可知且，解得． 故选：． 6．已知点，，，在二次函数上，且，，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D．无法确定 【分析】由抛物线的解析式，可找出抛物线的对称轴为直线，由，利用二次函数的性质，可得出“抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小”，由点，的横坐标的取值范围，可得出，进而可得出． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线． ， 抛物线的开口向下，离对称轴越远函数值越小． 又点，，，在二次函数上，且，， ， ． 故选：． 7．平移二次函数的图象，使其顶点落在第四象限，且顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3，则平移后二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得到顶点坐标为，即可得到答案． 【解答】解：顶点到轴的距离为2，到轴的距离为3， 顶点坐标为， 故平移后二次函数的解析式为． 故选：． 8．已知抛物线，当时，，且当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B．或 C． D． 【分析】利用二次函数的性质，可得出当时的值随值的增大而减小，结合“当时，，且当时，的值随值的增大而减小”，即可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【解答】解：抛物线的解析式为， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时的值随值的增大而减小． 当时，，且当时，的值随值的增大而减小， ， 解得：， 的取值范围是． 故选：． 9．已知抛物线为常数，且上有、、、四个点，若、、、四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意求出对称轴直线，根据、、、四个数中有且只有一个数大于0，得到不等式，进行计算即可． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对应点为， ， 抛物线与轴的交点为， 关于对称轴的对应点为， 若、、、四个数中有且只有一个数大于0， 当时，在对称轴左侧随的增大而减小， 故，， ， 解得， 当时，在对称轴左侧随的增大而增大， 、、、四个数全都大于0，不符合题意； 故选：． 10．已知二次函数的图象经过点，，图象上有三个点，，，，，．若当时，均有，则下列说法中正确的是　　 A． B．时，有最大值 C． D． 【分析】根据当时，均有可得抛物线开口向上，由抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【解答】解：由题意得抛物线开口向上，对称轴为直线， ，当时，有最小值， 且，，， ， ， ，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， 即， 综上所述，选项，，错误，不符合题意． 故选：． 11．小明同学在学习了二次函数时了解到可以用几何画板软件方便地画出函数图象，进而根据图象探索函数的性质．于是他运用几何画板画出了函数的图象如图所示，观察发现，该函数图象关于原点中心对称．若对于时，方程所有的整数解的平方和是　　 A．8 B．0 C．10 D．14 【分析】依据题意，由，可得，结合，可得，又通过枚举整数，，，进而其平方和为，故可得解． 【解答】解：由题意，， ． 又， ． 通过枚举整数，，． 其平方和为． 故选：． 12．如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点；抛物线与轴交于点，与轴交于另一点；点在线段上，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接、、、；当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论中正确的是　　 A． B． C． D．四边形的最大面积为13 【分析】（1）当过对称轴的直线时，解得：，而，； （2）由轴、两点坐标相同）推知，而是等腰三角形，，故错误； （3）如图，过点作、，由是等腰三角形得到：是的平分线，； （4），其最大值为． 【解答】解：将点代入抛物线与直线 解得：，， 设：点横坐标为，则、， 其它点坐标为、、， 则，则， 是等腰三角形． 、当过对称轴的直线时，此时点、的坐标分别为，、，， 由勾股定理得：，而， ， 故本选项错误； 、轴、两点坐标相同）， ，而是等腰三角形不是等边三角形， ， 不成立， 故本选项错误； 、如图，过点作、， 是等腰三角形， 是的平分线， 易证：， 而， 故本选项正确； 、， ， ，其最大值为， 故的最大值为， 故本选项错误． 故选：． 二．填空题（共5小题） 13．顶点坐标为，且与抛物线的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 　　． 【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为，再根据与抛物线的形状相同、开口方向相反得出的值即可得到答案． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 由于与抛物线的形状相同、开口方向相反， ， 故函数解析式为． 故答案为：． 14．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 　　． 【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可． 【解答】解：二次函数对称轴为直线， ，时，随增大而减小， ， 解得． 故答案为：． 15．若抛物线的顶点在直线上，则的值为 　　． 【分析】根据抛物线的解析式可写出其顶点坐标，再代入直线方程可求得的坐标． 【解答】解：抛物线， 顶点坐标为， 又顶点在直线上， ，解得． 故答案为：． 16．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论： ①；②；③当时，随的增大而减小；④．则正确的结论是　②④　．（填序号即可） 【分析】由题中所给的二次函数图象，判断出、、符号即可确定①，由抛物线对称轴可确定②，由增减性可确定③，令，代入函数解析式即可确定④，从而确定答案， 【解答】解：根据抛物线的对称轴位于轴右侧知、异号，则；由抛物线与轴交于正半轴，则， ，故①错误； 由对称轴是直线知，则，故②正确； 则当时，随的增大而减小，故③错误； 由图象可知当时得，且，则，故④正确． 故答案为：②④． 17．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点关于轴的对称点为．点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为　　． 【分析】过点作交于点，交轴于点，则点为所求，，故的最小值为：，即可求解． 【解答】解：连接， ，令，则或， 令，则，故点，、点，函数的顶点为：，，则点，， 则，则， 过点作，交的延长线于，交轴于点，则点为所求， ， 故的最小值为：， ，则直线的函数表达式为：， 将点的坐标代入上式并解得：， 故直线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， 联立上述两式并解得：，故点，， 则故的最小值为：， 故答案为：． 三．解答题（共4小题） 18．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系． （1）求小球飞行时的高度； （2）问：小球的飞行高度能否达到？请说明理由． 【分析】（1）把代入函数关系式解方程即可得到结论； （2）把代入函数关系式所得方程无实根，于是得到结论． 【解答】解：（1）当时，即． 答：小球飞行时的高度是； （2）小球的飞行高度不能达到， 理由：当时，即． △， 方程无实根， 小球的飞行高度不能达到． 19．已知二次函数的对称轴为直线，且过和两点， （1）写出此二次函数解析式； （2）求出这个函数的最大值或最小值； （3）当为何值时，随增大而增大？ 【分析】（1）设抛物线解析式为，将已知两点坐标代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）根据抛物线开口方向，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）利用抛物线的对称轴及开口方向，利用二次函数性质即可得到范围． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为， 将和代入得：， 解得：，， 则二次函数解析式为； （2），顶点坐标为， 二次函数有最小值，最小值为0； （3）由二次函数对称轴为直线，， 得到时，随增大而增大． 20．已知抛物线的顶点坐标为． （1）求，的值，并写出函数表达式． （2），在该抛物线上． ①当点关于抛物线对称轴的对称点为时，求的坐标． ②若，当时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求的值． 【分析】（1）利用顶点坐标公式代入求解即可； （2）①利用对称性质求解即可；②先求出．再分为（ⅰ）当时， （ⅱ）当时，两种情况进行求解，进而解决问题． 【解答】解：（1），， ，． 或． （2）①，解得． ， ． ②由条件可知， ． （ⅰ）当时，当时函数取到最大值，最小值是9， ， 得，（舍去）， （ⅱ）当时，当时函数取到最大值，时函数取到最小值， ， ， 综上所述，的值为或． 21．掷实心球是中学体育常见的一项运动，图1是嘉嘉同学体育课上投掷实心球，实心球运动路线为抛物线，行进高度（米与水平距离（米之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为2米，当水平距离为4米时，实心球行进至最高点3.6米处． （1）求抛物线的解析式； （2）求这次投掷中嘉嘉的成绩是多少米； （3）如图3，下课后嘉嘉将这次投掷的路线画在纸上，并试图通过调整出手角度，使成绩提高2米．他绘制了调整后的抛物线的图象，抛物线和与轴交点相同，对称轴相同． ①请你帮助嘉嘉求出调整出手角度后，实心球的最大高度； ②直接写出调整前后，实心球飞行水平距离是多少米时实心球的高度相等； ③直接写出抛物线和之间的最大竖直距离． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入，解方程，即可求解； （3）①设解析式为，代入，，待定系数法求解析式即可求解； ②联立，解析式，即可求解； ③分，两种情况讨论，设和之间的竖直距离为，根据函数图象得出的解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： 设抛物线的解析式为，代入得， 解得： （2）当时， 解得：（不符合题意，舍去）或， 答：嘉嘉的成绩是10米； （3）①成绩提高2米．则与轴的交点为， 抛物线和与轴交点相同，对称轴相同． 设解析式为，代入，得： ， ， 答：最大高度为米； ②由①可得解析式为， 联立， ， 解得：（舍去），， 答：调整前后，高度相等； ③设和之间的竖直距离为，当时， ， ，当时，取得最大值，最大值为， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， 答：最大竖直距离为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$