重庆市第一中学2025届高三下学期最后一卷数学试题

重庆一中高2025届最后一卷 一、单选题 1. 设是集合的子集，只含有2个元素，且不含相邻的整数，则这种子集的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 10 D. 13 2. 在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ） A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米 3. 已知圆上的两点到直线的距离分别为，且.若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 设复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 6. 已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数与函数，当，曲线与交于一点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②对任意的，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（ ） A. 26 B. 22 C. 20 D. 0 二、多选题 9. 如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（ ） A. B. C. D. 10. 在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 已知随机变量的取值为不大于n的正整数值，它的分布列为： 1 2 其中满足：，且.定义由生成的函数.现有一个装有分别标记着1，2，3的三个质地均匀和大小相同小球的箱子，若随机从箱子中摸出一个球，记其标号为，由生成的函数为，；若连续两次有放回的随机从箱子中摸出一个球，记两次标号之和为，此时由生成的函数为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______. 13. 小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买16个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且.在小蒋吃到的前13个饺子均为玉米肉馅的条件下，这16个饺子全部为玉米肉馅的概率为______. 14. 记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则__________；的最小值为_________. 四、解答题 15. 已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． （1）求的解析式和单调区间； （2）保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 16. 已知是函数的极小值点． （1）求的单调性； （2）讨论在区间的最大值． 17. 为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． （1）求和； （2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 18. 如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，. （1）若平面，证明：是的三等分点； （2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由； （3）求的最小值. 19. 已知项数列，对于给定，定义变换：将数列中的项替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为．其中，当时，；当时，；当时，．若将数列再进行上述变换，记得到的新数列为，重复操作，得到数列，并称为第一次变换，为第二次变换，⋯． （1）若数列：，求数列和； （2）设为递增数列，对进行有限次变换后得到数列．证明：为递增数列； （3）当第次变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令；否则．对于给定的项数列，进行2025次变换，证明：． 重庆一中高2025届最后一卷 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】CD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【16题答案】 【答案】（1）在单调递减，在区间单调递增，在单调递减． （2）答案见解析 【17题答案】 【答案】（1）， （2）（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）椭圆，理由见解析 （3） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $最后一卷答案 C A DD A B D B CD BC ABC 7.【详解】由题意得f(xo)=h(x),即axo·eao=xoln(xo+2)+2ln(xo+2), 所以ax0·ea0=(x0+2)ln(x0+2), 所以eaxo.n(eaxo)=(x0+2)n(x0+2), 令gx)=xnx(x>0),则g(eaxo)=g(x+2), g'(x)=1+lnx(x>0), 由g()>0,得x>,由g()<0,得0<x< 所以g()在(0，)上递减在（总，+∞）上递增。 所以g(x)m血=9（目=hg=-日 所以当0<x<时，-<g)<0,当x>时，9()>-是 当x0>0时，x0+2>2,所以g(x0+2)>g(2)=2ln2>0, 所以g(eao)=g(o+2)>0,所以eao,xo+2e(很，+∞） 因为g()在(+∞）上递增，所以eaw=0+2,所以eao-x0=2. 故选：D 8.【详解】由a11+a21=0,且a11≠0，不妨令a21>0,则a11=-a21<0,a21∈N 由1≤j<k≤5，a1k≥2a1y?得a12≥2a11,a13≥2a12,a13≥2a11同时成立， a14≥2a13,a14≥2a12,a14≥2a11同时成立，a15≥2a14,a15≥2a13,a15≥2a12,a15≥2a11 同时成立， 则a12≥2a11,a13≥2a11,a14≥2a11,a15之2a11' >5 a1y≥a11+4·2a11=9a11: =1 由1≤j<k≤5，a2k≥2a2j得a22≥2a21,a23≥2a22≥4a21,a23≥2a21同时成立， a24≥2a23,a24≥2a22,a14≥2a21同时成立，a25≥2a24,a25≥2a23,a25≥2a22,a25≥2a21 同时成立， 75 则a22≥2a21,a23≥4a21,a24≥8a21,a25≥16a21 ,a2≥a21+2a21+4a21+8a21+ 16a21=31a21: 5 所以该数表中的10个数之和的最小值为22. 故选：B 11.【详解】由题意可知：的可能取值为1,23，且P(=1)=P(飞=2)=P(5=3)=号 所以的分布列为 1 2 3 P 3 1-3 3 可得f)=x+2+x,91)=+x+x2,③=}×1+×2+号×3=2， 所以f1)=×1+×1+×1=1,91()=++1=2,即)=91()， 可得f1(1)=1,E()=g1(1),故A、C正确： 由题意可知：n的可能取值为2,3,4,5,6，可得： 1 2 3 1 2 3 又 2 4 5 6 则P0=2)=P0=6)=,P0=3)=P0=5)=号，P0=4)=；=青 所以？的分布列为 n 2 3 ￥ 5 6 19 号 罩 29 号 可得0)=号×2+号×3+×4+号×5+号×6=4， f2)=x2+号x3+x4+号x5+x5,(认为此时p1=0), 则9(6)=号x+x2+x+x4+后5， 所以g2(2)-号×2+号×2+×23+号×24+×25-g6,即E0)≠92(2)，故D错误； 又因为2=(（后x+2+x-2+后2++号+-f,.故B正确： 故选：ABC. 2 13.【详解】记事件A:16个饺子中有i个香菇肉馅饺子，i=0,1,…,16, 事件B:吃到的前13个饺子均为玉米肉馅饺子. 则PaA)-1,PA-是P(eA)-是-京PEM,)-是-高 当i=4,5,…,16时，P(B|A)=0, 由题知，P(4)=立 所以P(8)=,PA)PA)=(1+元+0+动)= 又P(BAo)=P(AoP(BlA)=立 所以P(AB)= P(BAo)= 14 P(B) 17 故答案为：号 14.【详解】因为acos(B-)=ccosa,由正弦定理可得sinAcos(B-)=sinCcosa, 又因为sinAcos(B-a)=sinAcosBcosa+sinAsinBsina, sinCcosa sin(A+B)cosa sinAcosBcosa cosAsinBcosa, sinAcosBcosa sinAsinBsina sinAcosBcosa cosAsinBcosa, 可得sinAsinBsina=cosAsinBcosa, 且B∈(0，m),则sinB≠0，可得sinAsina=cosAcosa, CosLAED =-cos(A+a)=-cosAcosa sinAsina =0, 且∠AEDE(O,,所以∠AED= 0 B 因为过+ 1 sin AcosB+cosAsin B sin(A+B) sinC 一sinA sinB sinAsinB sinAsinB sinAsinB 由正弦定理可得品+高。一 1 由题意可知：c=2AD,b=3AE,c0sA=g AD' 则1 1 2AD 2 2 4 4 nA十B3 AE-sinA3snA4折3sinA-omsA3sin2A≥ 3 当且仅当2A=2即A=时，等号成立， 所以品+的最小值为号 故答案为：专 15.【详解】(1)由题设条件知f()的最小正周期T=惡=2（售-）=m,所以ω=2. 又因为f(得=sin(传+p)=±1,0<p<m,所以p=若f()=sin(2x+g) 令2m-≤2x+≤2km+得f6)的单调递增区间为[km-行，km+周(ke2), 令2kT+≤2x+名≤2kπ+受，得f)的单调递减区间为[km+g,kT+(ke2刀， (2)由题可知g()=sin(2ax+) 所以当x∈(0，D时，2ax+若e(倍，2ar+8) 若g(x)在区间(O,D恰有两个极值点， 则y=sinx在区间（低，2am+爱）恰有两个极值点， 因此号<2ar+≤受解得a的取值范围是（作引 16.【详解】(1)fx)的定义域为R,f(a=2+x-a+1 当a≠-1时，f(-1)=e(-a-1)≠0，x=-1不是f(x)的极值点. 当a=-1时，令f)=-x+2=0,得x1=-1,x2=2. f(x)在(-∞，-1)小于0，在区间(-1,2)大于0，在(2，+∞)小于0， 故f(x)在(-∞，-1)单调递减，在区间(-1,2)单调递增，在(2，+∞)单调递减，此时x=-1 是f(x)的极小值点，符合题意. 综上，f(x)在(-∞，-1)单调递减，在区间(-1,2)单调递增，在(2，+∞)单调递减. (2)由(1)可知：f(x)在(-∞，-1)单调递减，在区间(-1,2)单调递增，在(2，+∞)单调递 减.分类讨论： 当m+V5≤-1，即m≤-1-V5时，f(x)在区间[m,m+√⑤单调递减，故最大值为f(m): 当-1-V5<m<-1时，f(x)在[m,-1)单调递减，在(-1，m+V单调递增，故最大值为 maxf(m),f(m+V⑤}： 当-1<m<2-V5时，f(x)在区间[m,m+V⑤单调递增，故最大值为f(m+V⑤： 4 当2-√5≤m≤2时，f(x)在[m,2)单调递增，在(2，m+V⑤单调递减，故最大值为 f2)=3: 当m>2时，f(x)在区间m,m+V⑤单调递减，故最大值为f(m). 17.【详解】(1)由题设知Y服从二项分布B(50,0.6), 所以E()=50×0.6=30,D()=50×0.6×0.4=12. (2)(i)统计量A反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者i受益于新治疗方案，则其指标I的值x满足f(x)=0, 否则f(x)川=1，会被统计量A计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量A的数 值加1. 统计量B反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标I偏低或正常，则其指标I的值x:满足f(x)[f(x)+1]=0, 若指标1偏高，则fx,fx)+1]=2,r+型=1，会被统计量B计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标1偏高的患者恰使得统计量B的数值加1. (ⅱ)由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于Y的数学期 望， 由(1)知X的观测值x=50-A, 因此当50-A>30,即A<20时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当50一A=30,即A=20时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当： 当50-A<30,即A>20时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案. 18.【详解】(1)由于CD1平面BAH,作HG1AB,垂足为点G, 因为ABC平面BAH,则CD L AB, 又因为HG L AB,且GHn MH=H,MH,GHC平面GMH, 因此AB1平面GMH,因为GMC平面GMH,所以AB 1 GM, 同理可证：AB1GD, 又因为S△ABM=SAABD,可得AB·GM=AB·GD,所以GM=GD, 因为GHC面ABH,从而MD L GH, 因此DH=MH=MC,进而M为DC的三等分点. 5 B G C D （2)椭圆， 延长BA至K,使得AK=AB, 由于S△ABM=S△ABD=1,可得M,D到AB的距离为定值， 因此M,D应在以AK为高线的圆柱上运动，且上下底面与AK垂直， 又因为M,D为平面ACD上两点，∠BAH=若 从而M,D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义， 因而M,D的运动轨迹应为椭圆，示意如下. CM流 (3)以A为原点，HA所在直线为x轴，过A点与HB平行的直线为z轴，建立空间直角坐 标系，如图所示， 下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为r=1, 故由图可知椭圆的短半轴长为1， 由∠BAH=石从而椭圆的长半轴a= 血2=2，进而椭圆方程：￥+少=1， 又由∠BAH=名BH1平面ACD,从而HA=ABc0s=V3,即H(-V3,00), 由定义知H为椭圆的左焦点，设E的右焦点为F(V3,0,0),则FD=4-DH, 设∠DHA=O, 在△DHF中，由余弦定理，可得HF2+HD2-2FH·DHcos0=FD, 解得DH=2-V5cms9 1 同理可得：MH=2+V5cs6 1 6 解法1：由CD=2MH+DH=6-V5ms9 4-3c0s261 令cos0=xx∈(-11).则f=会可得f6)=36, (4-3x2)2 令f)=0,解得x1=二6+65，名2=46+65（合去). 3 3 当x∈(-1，x1),f(x)<0:当x∈(x,1),f(x)>0, 因此x1为f)的极小值点，可得f)≥fx1)=3+22 4 解法2：由品+品=4，原题等价于求2MH+DH的最小值， 则等价于求（品+动）2MH+DD的最小值， 又油（品+动）2MH+D0=(+阳+3)≥2， 当且仅当DH=V2MH时等号成立，因此CD的最小值为3+互 4 19.【详解】(1)解：由题意得，数列f2(4):1,13,-4,数列f2f2(A):1,3,3,-4, 故数列f1ff(4),3-4. (2)证明：若对A:a1,a2,,aw(W≥3)进行f变换，即将a,替换为十a2,其余项不变， 由a1<a2,得1a2<a2,故f1(A)仍为递增数列： 2 若对A进行f,(亿=2,3，，W-1)变换，即将a替换为++a,其余项不变， 3 由a-1+a4+a4+1,很a-1<1++<a+1,故f,(A仍为递增数列： 3 若对A进行fw变换，即将av替换为w-1+ay,其余项不变， 由aw-1<aw,得aw-1<",故fw(A)仍为递增数列。 综上，对于任意i=1,2,,N,对A进行f:变换后f(A)仍为递增数列. 以此类推，知对A进行有限次f变换后，所得的数列B为递增数列. (3)解：记数列A:a1,a2,,av中去除等于0的项后得到的数列为A'(其余项相对位置不 变，下同)，f:(A)中去除为0的项后得到的数列为f,(A) 设A'中相邻两项乘积为负数的有S对，f(4)中相邻两项乘积为负数的有S对， 则0≤S≤N-1. 如果对A进行f1变换，即将a1替换为1+， 2 此时若a1与a2同号，则数列f(A)中相邻两项乘积为负数的仍有S对，即S'=S; 若a1与a2异号，则s'=S或S'=S-1: 若a1与a2中有0，则1+2一定不与a2异号，故S'=S. 如果对A进行f(i=2,3,,N-1)变换，即将a,替换为1+a+a+1, 3 此时若a,与=+a+a同号，则S'=S; 3 若a1与-1+a+a+异号，有以下三种情况： 3 ①若a-1与a+1同号，显然a也与a-1异号，则S'=S-2: ②若a-1与a+1异号，则S'=S: ③若a-1与a+1中有0，只有一个0， 不妨设a-1=0,则a与a+1异号，故S'=S,或S'=S-1,或S'=S-2. 若a,与-+a+a+同为0，则S'=S: 3 若a,=0,=1+a+a≠0，不妨设a-1≥la+1l,则=1+a++1与a-1同号，故S'=S: 3 3 若a1≠0，a1ta++=0,不妨设a-1≥a+1,则a,与a1-1异号，故S'=S或S=S-2: 3 对A进行fv变换与进行f1变换类似. 综上，对A进行一次f变换后，0≤S'≤S≤N-1. 以此类推，对A进行2025次f变换，每一次变换后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘 积为负数的对数S比变换前的并不会增大，且S”≤N-1. 在此之中，若某一次变换使得第一项的正负号发生改变， 则该变换一定是f变换，且变换之前数列的第一项与第二项异号， 故变换之后所得数列中去除等于0的项后相邻两项乘积为负数的对数比变换前减少1对. 8 所以对A进行2025次f变换时，其第一项的正负号最多发生N一1次改变， 即w1+ω2+…+w2025≤N-1. 9