湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期5月月考数学试卷

**基本信息** 以航天器轨道校准等科技情境为载体，融合复数、向量、立体几何等核心知识，通过分层设问考查抽象能力、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|复数共轭、向量单位向量、航天器平移（向量）|结合科技前沿，基础概念与应用结合| |多选题|3题18分|圆锥侧面积与外接球、费马点应用|多维度考查空间想象与逻辑推理| |填空题|3题15分|旋转坐标、三角形面积、恒成立参数|聚焦运算能力与模型意识| |解答题|5题77分|向量等分点、三角函数图像与零点、坐标系应用|分层设问（如第15题分2问），融合数学文化与空间观念|

高-5月月考数学答案(5.21) 1-8:CDCC;BADC 9.ABD 10.AC 11.ACD 12.-72 10 13.2√2 14.6 15.【详解】(1)因为AB=4C=2,所以AB.AC=AB4 cos A=2×2×cosA=2, 解得cos4=),因为4e0,列，所以A=行，则ABC为等边三角形， 取BC中点O,连接A0,则A0=√AC2-OC2=3, 所以AB+AE+AE+AC=AB+AC+A+A=4AO=4V5 (2当川=3，丽=+丽=+8C-丽+C, 4 设那=入4g,0,小，则PA=-2仍=-之-3弘4C, A 又元=m+c冬丽+c, 所以mc-(4-￥c丽+是)4c 翠丽c+装c-)可 若4引学登贯 16.【详解】（1)f(x)=sin2x+sinxcosx- sin2x+1-c0s2x1】 1 2 22=sin2x- 0s2x= 2sin(2r-)， 由+2kx≤2x-天s3江+2km,keZ,解得3+m≤r≤及+k红，k∈Z,易知k=0, 42 P 8 所以f八的鲜谓递减区间为灯经及1： g--子s2a-子-9m-s1所 π 4 4 所以-1s2 22 n2x-马s5,所以y=f(x)的最大值为5，最小值为 2 2 3 2 3 所以sn2a=m2u-子+孕=sn(a-骨cos经4cs2a-月sin子-x9,2g5.g-。4 44 432326 【详解】（①由图可有4=八以m=2,了-4行-}，则o=会经-2 T兀 所以f=2si加(2x+p,因为}-2mp+引-2 则mp+君-1，因为0<<号所以p+后子解得p-骨所以川国=2sn2x+骨》 因为函数8()=2sn2x+》-1在区间名]上有且仅有两个零点 3 所以方程2sint-1=0在1∈0,2m+T 有且仅有两个实根 令2sint-1=0,得t=T+2k或f 6 5π+2km,k∈Z 所以方程2sin1-1=0的正根从小到大排列分别是买，5π，13红， 6’66… 所以2m+ 5π13π 66 解得m∈ π11π 4’12 (3)由 +2asin 2- - 2a+2=0,可得sin2 2+}-2a2=0 即sin2 2x+ π -2a cos 2x+ 3 2+2-=0.即1-o2x+-2aco2x+-2+2=0, 即cos2 2x+ +2acos 2x+ 3 2a-3=0,其中xe（0写， 因为引则x+号，1=m2+到(-》 则有1+2at+2a-3=0,则关于的方程2+2at+2a-3=0在-1上有解， 因为y子，y=2-s在0引上均为减函数， 所以函数()=2-5+2在（引上为减函数，且当s趋向于0时，hs)趋向于正无穷大， 2 则1>人[)-名，所以2>告，解得>日故实数a的取管能国匙侣） 18.【详解】(1)(1)0A.0B=(3g+6)(g+6)=3e+4e6+6-=3×1+4×1×1×5+1=6, (i)y轴上不存在一点C,理由如下： 假设y轴上存在一点C(0,m)使ABC是以AB为斜边的直角三角形，依题意得OC=me2, AC=0C-0A=me-(3+e)=-3,+(m-1)e, BC=0C-0B=me,-(e+e)=-e+(m-1)e2, AC⊥BC,.AC⊥BC,即(-3e1+(m-I)e2)(-e1+(m-l)e2)=0, 即3e2-4(m-1)e,·e+(m-1)2e,=0,化简得m2-4m+6=0, ,△<0，.方程无解，即y轴上不存在一点C(0,m),使得ABC是以AB为斜边的直角三角形； (2)oA-08=(3e+e)-1(e+e,)=3-t)e+1-)e2 =V3-02e2+23-01-0e·e,+1-t)}2e,2=V3-)2+23-t01-)cos0+1-t) =V22-8t+10+2t2-41+3)c0s0≥V5, (2+2cos0)t2-(8+8cos0)t+6cos0+7≥0，t∈R恒成立， :△=[8(1+c0s0)]-4×2(1+cos0)×(6c0s0+7)≤0， 即81+2c0s0+c0s20)-(7+13cos0+6cos20)=2c0s20+3c0s0+1≤0， 解特1≤c0s0≤-201-0B=6e+63风g+6)=4+4cos8 0a=V3e+e=V9g+6e-g,+e-10+6cos9, 一2 108-g+e=G+28e+g=2+2cos9, 一2 .08） 0A.0B 4+4c0s0 1+cos0 2 0A-0丽V10+6c0s0.V2+2c0s0=2 5+3cos0 =2/1 5+3c0s0 少=1在1引上单调递增（证明过程路>.当co0=时c0s<O1,05>取得最大位， 最大值为2 1、2 1_27 37 19.【详解】1)由sm4+2B）-2-2osC,得sin(4+2B=sinB2-2cosC, sinB sin(A+B)cosB cos(A+B)sinB=2sinB-2sinBcosC, 由于A+B=π-C,所以sinCcosB-cosCsinB=2sinB-2 sinBcosC, 则sinCcosB+cosCsinB=2sinB,即sin(C+B)=2sinB=sinπ-A)=sinA 由正弦定理，得a=2b=4 (2由于c历-a+C团，则co=4C+CB'=b+a2+2acos∠4C8, 所以cos∠ACB=4CD2-b-Q2_4×22-22-423 2ba 2×2×4 4 (3)设CP=kCD(k≠0)，CM=CA,C=uCB(2,4∈(0,1)，所以CM=2,CN=4u 由于CD=)Ca+CB,所以CP=kcD=CA+CB=CM+kCN 2 Γ21 2u 由于P、M、N三点共线，可得2元+2 k+k=1,所以k=, 由于.w-{（oa+5com-cw)-5ci+co-acd列 -(整经i号cd号西-g2494 2 =3ku-3k2-2k2+8k4=11ku-5k2; 由图意知Sa长w=Sc-Scw,而5数E- 2 SAc4B-S△cwY,所以 SACAB SACAB 由于cw= won4c8.2以108 2 —=λμ= SACAB 2 in∠4c8 2x2x4-sinLACB 3 4 0-52x1-15-3 所u项-u训号"，-号”子引5+） 3入*3入 由于e@小.西a=头eo小，所以a后 则+1（得所以-5+-小，所以〔号） 2025—2026学年度下学期2025级 5月月考数学试卷 命题人：李雪冰 审题人：冷劲松 考试时间：2026年5月21日 一、选择题（40分） 1． 复数的共轭复数=（ ） A． B． C． D． 2． 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ） A． B． C． D． 3．在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位km),第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 4． 在中，若，则为（ ） A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰或直角三角形 D． 等腰直角三角形 5．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ ） A． B． C． D． 6． 已知满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7． 半径为2的球O的球面上有四点，其中为球O直径，是等边三角形，若，则四面体的体积为（ ） A． B． C． D． 8． 已知锐角三角形中，角所对的边分别为，若，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（18分） 9． 设复数，（），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ） A． B． C． 若，则 D． 若，则的最大值为 10． 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ） A． 圆锥的侧面积为 B． 圆锥的体积为 C． 圆锥的外接球的表面积为 D． 圆锥的内切球的体积为 11． “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点。 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（ ） A． B． C． D． 在上的投影向量为 3、 填空题（15分） 12． 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______． 13．在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______． 14． 已知对恒成立，则的最小值为______． 四、解答题（共77分） 15． 如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足． （1）当时，求的值； （2）当时，若为线段上的动点，求的最小值． 16． 已知函数，． （1）求在的单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值 （3）若，，求的值 17． 如图，是函数（，，）图象的一部分 （1）求函数的解析式； （2）函数在区间上有且仅有两个零点， 求实数的取值范围； （3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围． 18． 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，． （1）若． （ⅰ）求． （ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． （2）若对恒成立，求的最大值． 19．如图，设中角所对的边分别为，为边上的中点，且，，． （1）求； （2）求； （3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $