专题5 二次函数—备战2025年浙江中考数学高频热点专题突破讲义

专题5 二次函数 【热点1二次函数的性质】 1．（2025•宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3 2．（2025•浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　） A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3 3．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 4．（2025•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 5．（2025•缙云县二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+4（m＞0），若点A（n，a），点B（n+2，a），点C（6，b）都在该二次函数的图象上，且a＜b＜4，则n的取值范围为（　　） A．n＜2 B．2＜n＜4或n＞6 C．1＜n＜2 D．1＜n＜2或n＞4 6．（2025•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是　 　 ． 7．（2025•庆元县一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值． （3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 8．（2025•滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）． （1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由． （2）求证：h+m≤． 9．（2025•台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若﹣2≤x≤5． ①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值； ②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系． 【热点2二次函数图象与系数的关系】 1．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 2．（2025•宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（　　） A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0 C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0 3．（2025•鄞州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0 4．（2025•宁海县二模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2 5．（2025•拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　 　 ． 6．（2025•定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1． （1）当m＝2时． ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1． 7．（2025•温州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若该函数图象经过点（m，s），（6﹣m，t），且m≠3． ①当s＝t时，求b的值． ②当m＜3时，s＞t，求b的取值范围． （2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值． 8．（2025•上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 【热点3二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2025•西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（　　） A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2 C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2 2．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 3．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为　 　 ． 4．（2025•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0 5．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 【热点4二次函数图象与几何变换】 1．（2025•金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 2．（2025•萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 3．（2025•仙居县二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点P（﹣1，5），且对称轴为直线x＝1． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； （3）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为m，且m≥2，求实数t的取值范围． 4．（2025•浙江二模）已知抛物线y＝﹣x2的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点重合． （1）求b，c的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2上，点B（﹣x1+m，﹣y1+n）在抛物线y＝x2+bx+c上： ①若x1＝2m，求n的最大值； ②若m＝n，且，求m的值． 5．（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【热点5二次函数的最值】 1．（2025•余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 2．（2025•衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 　 ． 3．（2025•浙江模拟）当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（2025•杭州二模）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（2，y3），P4（3，y4），其中y1＞y2＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（　　） A．y1最大，y3最小 B．y2最小，y1最大 C．y3最小，y2最大 D．y1最小，y3最大 【热点6抛物线与x轴的交点】 1．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 2．（2025•临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是　 　 ． 3．（2025•浙江一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为常数，a≠0）的图象经过点（﹣3，2）． （1）求常数a和b满足的关系式． （2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． （3）当﹣3≤x≤1时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 4．（2025•浙江二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）． （1）当a＝c时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位（m＞0），若平移后的抛物线过点（0，﹣8），且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． （2）已知点M（2，2n+1），N（﹣1，3n+2）在抛物线上，且c＜0，求n的取值范围． 5．（2025•瓯海区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5 二次函数 【热点1二次函数的性质】 1．（2025•宁波一模）抛物线y＝（x+1）2﹣3的对称轴是（　　） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣3 D．直线x＝3 【思路点拨】根据抛物线的顶点式，可以写出该抛物线的对称轴，本题得以解决． 【解析】解：∵抛物线y＝（x+1）2﹣3， ∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出抛物线的对称轴． 2．（2025•浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　） A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3 【思路点拨】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜1，1≤n≤3和n＞3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【解析】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大； ①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小， 那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值， 最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1， 则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2， 解得n＝3或n＝﹣1， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当1≤n≤3时， 此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值， 最大值为3，最小值为﹣1， 此时最大值与最小值的和为2， 符合题意； ③当n＞3时， 此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值， 最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1， 则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2， 解得n＝3或n＝﹣1， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（2025•浙江模拟）设二次函数y＝a（x﹣m）（x+m﹣k）+b（a，m，k，b是常数，a≠0），则（　　） A．若y有最大值，则最大值必大于0 B．若y有最大值，则最大值必小于0 C．若y有最小值，则最小值必大于0 D．若y有最小值，则最小值可能等于0 【思路点拨】依据题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b，又当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， 从而可以判断得解． 【解析】解：由题意，该二次函数可化为顶点式为y＝a（x﹣）2﹣﹣am2+akm+b， 又∵当a＞0时，函数开口向上，有最小值．最小值可能为0，取决于常数项的值；当a＜0时，函数开口向下，有最大值．最大值可能大于、小于或等于0，取决于常数项的值， ∴只有选项D正确，即若函数有最小值，则最小值可能等于0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握能灵活运用二次函数的性质是关键． 4．（2025•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 【思路点拨】通过抛物线图象开口方向与对称轴求解． 【解析】解：∵y＝﹣x2+2x的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1， ∴当x≤1时，y随x增大而增大， ∴a≤1． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线对称轴为直线x＝﹣． 5．（2025•缙云县二模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+4（m＞0），若点A（n，a），点B（n+2，a），点C（6，b）都在该二次函数的图象上，且a＜b＜4，则n的取值范围为（　　） A．n＜2 B．2＜n＜4或n＞6 C．1＜n＜2 D．1＜n＜2或n＞4 【思路点拨】依据题意，由抛物线过点A（n，a），点B（n+2，a），可得对称轴是直线x＝＝n+1，又二次函数为y＝x2﹣2mx+4（m＞0），则对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线过（0，4），故m＝n+1，又抛物线开口向上，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合a＜b＜4，从而n+1﹣n＜n+1﹣6|＜|n+1﹣0|，进而计算可以得解． 【解析】解：由题意，∵抛物线过点A（n，a），点B（n+2，a）， ∴对称轴是直线x＝＝n+1． 又∵二次函数为y＝x2﹣2mx+4（m＞0）， ∴对称轴是直线x＝﹣＝m，且抛物线过（0，4）． ∴m＝n+1． 又∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又∵a＜b＜4， ∴n+1﹣n＜n+1﹣6|＜|n+1﹣0|． ∴2＜n＜4或n＞6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 6．（2025•西湖区一模）已知二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是﹣1，则点B的横坐标是　3　 ． 【思路点拨】由题意得到1﹣a＝﹣2+2a，求得a＝1，则二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2，令x2﹣1＝2x+2，解方程即可求得点B的横坐标 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣a与一次函数y＝2x+2a（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是﹣1， ∴1﹣a＝﹣2+2a， ∴a＝1， ∴二次函数为y＝x2﹣1，一次函数为y＝2x+2， 令x2﹣1＝2x+2， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴点B的横坐标是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，解得坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 7．（2025•庆元县一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+4，其中a≠0． （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，其中x1＜x2，求x1+2x2的值． （3）若a＝1，当t﹣1≤x≤t时，该二次函数的最大值与最小值的差为2，求t的值． 【思路点拨】（1）依据题意，由二次函数为y＝ax2﹣2ax+4，从而可得对称轴是直线x＝﹣＝1，进而可以得解； （2）依据题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4，由无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点，又令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4，结合x1＜x2，可得x1＝0，x2＝2，进而代入计算可以得解； （3）依据题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，故当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，故可分①当t≤1时、②当t﹣1＜1＜t时和③当t﹣1≥1时，进而可以判断得解． 【解析】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝ax2﹣2ax+4， ∴对称轴是直线x＝﹣＝1． （2）由题意得，y＝ax2﹣2ax+4＝a（x2﹣2x）+4， ∵无论a取任意非零实数，该二次函数图象都经过A（x1，y1），B（x2，y2）两个定点， ∴令x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，则y＝4． 又∵x1＜x2， ∴x1＝0，x2＝2． ∴x1+2x2＝0+2×2＝4． （3）由题意得，当a＝1时，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3． ∴当x＝1时，y取最小值为3；当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大；抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ①当t≤1时，当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最小值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣4t+7﹣（t2﹣2t+4）＝2． ∴t＝． ②当t﹣1＜1＜t时，即1＜t＜2． ∴当x＝1时，y取最小值为3． 又当x＝t﹣1时，y取最大值，y＝t2﹣4t+7或当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣4t+7﹣3＝2或t2﹣2t+4﹣3＝2． ∴t＝2±（不合题意，舍去）或t＝1（不合题意，舍去）． ③当t﹣1≥1时，即t≥2时，当x＝t﹣1时，y取最小值，y＝t2﹣4t+7；当x＝t时，y取最大值，y＝t2﹣2t+4， ∴t2﹣2t+4﹣（t2﹣4t+7）＝2． ∴t＝． 综上，t＝或t＝． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活二次函数的性质是关键． 8．（2025•滨江区一模）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）图象的顶点坐标是（h，m）． （1）判断点（1，﹣1）是否在该函数的图象上，并说明理由． （2）求证：h+m≤． 【思路点拨】（1）依据题意，由当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1，即可判断得解； （2）依据题意，由函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数），可得y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k＝（x﹣）2+k﹣，结合图象的顶点坐标是（h，m），从而h＝，m＝k﹣，故可得h+m＝+k﹣＝＝＝﹣（k﹣1）2+，进而可以判断得解． 【解析】（1）解：点（1，﹣1）在该函数的图象上，理由如下： 由题意，∵当x＝1时，y＝12﹣（k+2）×1+k＝1﹣k﹣2+k＝﹣1， ∴点（1，﹣1）在该函数的图象上． （2）证明：由题意，∵函数为y＝x2﹣（k+2）x+k（k为常数）， ∴y＝x2﹣（k+2）x+﹣+k ＝（x﹣）2+k﹣． 又∵图象的顶点坐标是（h，m）， ∴h＝，m＝k﹣． ∴h+m＝+k﹣ ＝ ＝ ＝﹣（k﹣1）2+． ∵对于任意的k都都有（k﹣1）2≥0， ∴h+m＝﹣（k﹣1）2+≤，即h+m≤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（2025•台州一模）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若﹣2≤x≤5． ①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值； ②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系． 【思路点拨】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可； ②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0分别求出最小值即可求解． 【解析】解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a， ∴对称轴为直线； （2）①∵a＞0， ∴抛物选开口向上， ∵﹣2＜﹣1＜5， ∴当 x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∵该函数的最小值为﹣8， ∴﹣4a＝﹣8， ∴a＝2； ②∵抛物线对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等， 当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意）， ∴a1＞0，a2＜0， 当a1＞0时，， 当a2＜0时，， ∵两个函数的最小值相等， ∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【热点2二次函数图象与系数的关系】 1．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，则a的值可以是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【思路点拨】根据当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下即可解决问题． 【解析】解：因为a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下， 所以只有A选项符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟知a＜0时二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下是解题的关键． 2．（2025•宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（　　） A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0 C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0 【思路点拨】令x＝，可以得到要求的多项式，然后根据a的取值不同确定y的正负，从而得解． 【解析】解：令x＝，y＝a+b+c＝（a+2b+4c）， ∵二次函数与x轴没有交点， ∴a＞0时，y＞0，a＜0时，y＜0， ∴a（a+2b+4c）＞0． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 3．（2025•鄞州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0 【思路点拨】利用二次函数的性质结合图象判断即可． 【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点的横坐标为2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a，故A不正确； ∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线x＝2，x1＞x2＞2， ∴y1＜y2，故B不正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，顶点的横坐标为2， ∴x＝2时，函数有最大值4a+2b+c， ∴当m≠2时，am2+bm+c＜4a+2b+c，即当m≠2时，am2+bm＜4a+2b，故C正确； ∵函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，对称轴为直线x＝2， ∴函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为5， 由图可知：当x＜﹣1或x＞5时，y＜0，故D不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质数形结合是解题的关键． 4．（2025•宁海县二模）二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点．下列正确的选项是（　　） A．当0＜a＜2时，y1＞y2 B．当a＞2时，y1＜y2 C．当a＜0时，y1＜y2 D．当a＞4时，y1＜y2 【思路点拨】得到抛物线的对称轴为直线x＝2，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质判断即可． 【解析】解：∵y＝ax2﹣4ax+3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2， ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象上有A（a，y1），B（4，y2）两点， ∴B（4，y2）到对称轴的距离为2， A、当0＜a＜2时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离小于2，则y1＜y2，故此选项错误； B、当a＞2时，抛物线开口向上，若a＝6时，A（a，y1）到对称轴的距离大于B（4，y2）到对称轴的距离，则y1＞y2，故此选项错误； C、当a＜0时，抛物线开口向下，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＜y2，故此选项正确； D、当a＞4时，抛物线开口向上，A（a，y1）到对称轴的距离大于2，则y1＞y2，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 5．（2025•拱墅区一模）在直角坐标系中，设二次函数y＝x2﹣2mx+n（m，n为实数），若点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，则k1，k2之间满足的等量关系是 　k2＝k1+8　 ． 【思路点拨】点A（m﹣1，k1），点B（m+3，k2）都在函数y的图象上，求得k1、k2即可求得等量关系． 【解析】解：由题意得k1＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）+n＝﹣m2+n+1，k2＝（m+3）2﹣2m（m+3）+n＝﹣m2+n+9， ∴k1﹣k2＝﹣m2+n+1﹣（﹣m2+n+9）＝﹣8， ∴k2＝k1+8； 故答案为：k2＝k1+8． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025•定海区一模）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m+1． （1）当m＝2时． ①求二次函数图象与x轴的交点坐标； ②若点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，且a+b＝4，求y1+y2的最小值． （2）若点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q﹣1． 【思路点拨】（1）①依据题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．再令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，求出x后，即可判断得解； ②依据题意，由二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点，则y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3，从而y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3，又a+b＝4，则b＝4﹣a，进而可得y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3 ＝2（a﹣2）2﹣2，进而可以判断得解； （2）依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1，可得对称轴是直线x＝﹣＝m，又点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上，则p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1，故p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a）＝2（a﹣m）+1，又点C在对称轴的左侧可得a﹣m＜﹣1，进而可以判断得解． 【解析】（1）解：①由题意，当m＝2时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1． ∴令y＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0． ∴x＝1或x＝3． ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． ②由题意，∵二次函数为y＝x2﹣4x+3，且点（a，y1），（b，y2）是二次函数图象上的点， ∴y1＝a2﹣4a+3，y2＝b2﹣4b+3． ∴y1+y2＝a2﹣4a+3+b2﹣4b+3． 又∵a+b＝4， ∴b＝4﹣a． ∴y1+y2＝a2﹣4a+3+（4﹣a）2﹣4（4﹣a）+3 ＝a2﹣4a+3+16﹣8a+a2﹣16+4a+3 ＝2a2﹣8a+6 ＝2（a﹣2）2﹣2． ∵2＞0， ∴y1+y2的最小值为﹣2． （2）证明：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2mx+m+1， ∴对称轴是直线x＝﹣＝m． ∵点C（a+1，p）和D（2m﹣a，q）在二次函数图象上， ∴p＝（a+1）2﹣2m（a+1）+m+1，q＝（2m﹣a）2﹣2m（2m﹣a）+m+1， ∴p﹣q＝（a+1+2m﹣a）（a+1﹣2m+a）﹣2m（a+1﹣2m+a） ＝（2a+1﹣2m）（1+2m﹣2m） ＝2（a﹣m）+1． ∵点C在对称轴的左侧， ∴a+1＜m． ∴a﹣m＜﹣1． ∴p﹣q＝2（a﹣m）+1＜﹣2+1＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 7．（2025•温州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若该函数图象经过点（m，s），（6﹣m，t），且m≠3． ①当s＝t时，求b的值． ②当m＜3时，s＞t，求b的取值范围． （2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值． 【思路点拨】（1）①利用抛物线的对称性即可求解； ②点（m，s）关于直线的对称点的坐标为（﹣m﹣b，s），根据当m＜3时，s＞t，则m＜6﹣m＜﹣m﹣b，解得b＜﹣6； （2）由题意可知当时，，得到，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣， ①当s＝t时，（m，s），（6﹣m，t）是一组对称点，由抛物线的轴对称性可得， ∴抛物线的对称轴为直线， 解得b＝﹣6． ②∵m＜3， ∴6﹣m＞3， ∴m＜6﹣m， ∵对称轴为直线x＝﹣， ∴点（m，s）关于直线的对称点的坐标为（﹣m﹣b，s）， ∵s＞t， ∴m＜6﹣m＜﹣m﹣b， 解得b＜﹣6． （2）∵该函数的最小值为2， ∴当时，， ∴， ∴， ∴当b＝﹣2时，b+c取得最小值1． 【点睛】本题考查了二次函数图象与向上的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（2025•上城区一模）设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 【思路点拨】（1）利用对称轴公式求得a的值，得到解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标； （2）令顶点的纵坐标等于5，解关于a的方程即可； （3）代入P点的坐标求得a＝3，然后求得抛物线的对称轴，结合1≤x1≤4，根据二次函数的增减性和对称性即可求得x2的取值范围． 【解析】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1， ∴﹣＝1，解得a＝1， ∴y＝﹣x2+2x+2， ∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴该函数的顶点坐标为（1，3）； （2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值＝5， 整理得a2﹣a﹣2＝0， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1； （3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上， ∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3， 解得a＝3， ∴y＝﹣x2+6x， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝3， ∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2， ∴x2＜1或x2＞5． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，掌握二次函数的增减性和对称性是解题的关键． 【热点3二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2025•西湖区一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数，a≠0）的图象经过点（t，y1），（t+1，y2），（　　） A．若a＞0，t＞2，则y1＜y2 B．若a＞0，t＜2，则y1＞y2 C．若a＜0，t＞2，则y1＜y2 D．若a＜0，t＜2，则y1＞y2 【思路点拨】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点（t，y1）与（t+1，y2）的大小关系． 【解析】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+c化为顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣a+c， ∴该二次函数的对称轴为直线x＝1， 当a＞0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大， 若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＜y2， 若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而减小，t＜t+1，则y1＞y2， 当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小． 当a＜0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 若t＞2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1右侧，且t＜t+1，根据函数单调性可知y1＞y2， 若t＜1时，t+1＜2，则点（t，y1）和（t+1，y2）都在对称轴直线x＝1左侧，y随x的增大而增大，t＜t+1，则y1＜y2， 当1≤t≤2时，点（t，y1）在对称轴左侧，点（t+1，y2）在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小． 综上，当a＞0，t＞2时，y1＜y2， 故选：A． 【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，包括对称轴的求解、根据a判断开口方向以及利用函数单调性比较函数值大小．解题的关键在于熟练掌握二次函数的顶点式以及其在不同区间的单调性，并且要对t的取值范围进行细致分类讨论，这是解决此类问题容易出错的地方． 2．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 【思路点拨】由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上，判断出函数与直线y＝﹣x没有交点即可．． 【解析】解：由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上， 直线y＝﹣2x﹣1，直线y＝x+2，抛物线y＝x2﹣2都与直线y＝﹣x都有交点，函数y＝与直线y＝﹣x没有交点， 故选项A，B，D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0），点M（t+2，y1），N（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则t的取值范围为　t＞﹣　 ． 【思路点拨】先将A（3，0）代入二次函数解析式中，求得c＝﹣3a，由此确定a符号，确定二次函数的开口方向和对称轴，再利用作差法找到t的取值范围． 【解析】已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A（3，0）， 代入可得0＝9a﹣6a+c， ∴c＝﹣3a， ∵c＞0， ∴a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣＝1， 点 M（t+2，y）和 N（t+3，y） 在抛物线上，且y1＞y2， ∴y1﹣y2＝a（t+2）2﹣2a（t+2）+c﹣[a（t+3）2﹣2a（t+3）+c] ＝a（﹣2t﹣3）， ∵y1＞y2， ∴a（﹣2t﹣3）＞0， ∵a＜0， ∴﹣2t﹣3＜0， 解得：t＞﹣． 故答案为：t＞﹣． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，能熟练运用二次函数的性质是解题的关键． 4．（2025•萧山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣2，m），B（5，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，3a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，a﹣b＝0 【思路点拨】依据题意，先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c，然后利用m＜n得到4a﹣2b+c＜25a+5b+c，则3a+b＞0，然后依次对各选项进行判断． 【解析】解：把A（﹣2，m），B（5，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝25a+5b+c， ∵m＜n， ∴4a﹣2b+c＜25a+5b+c， ∴3a+b＞0， ∴A选项不符合题意； 当a＜0时，b﹣a＞﹣4a＞0，a+b＞﹣2a＞0， ∴C、D选项不符合题意； 当a＞0时，2a+b＞﹣a， 又∵﹣a＜0， ∴2a+b＝0是可能的． ∴B选项符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式是关键． 5．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 【思路点拨】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可． 【解析】解：由二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3可得对称轴为直线x＝＝＝， ∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q）， ∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称． 当m＞1时，可知对称轴﹣2＜x＜﹣1，开口向上，如图1所示： 则根据对称性有， 即﹣8＜a+b+c+d＜﹣4＜0，故①正确； 由图1，当C、D两点互换位置后，则有d＜a＜b＜c，故②可能正确； 当m＜﹣1时，则对称轴﹣1＜x＜0，图象开口向下，如图2所示： 则根据对称性有，即﹣4＜a+b+c+d＜0，故③正确； 当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a＜c＜d＜b，故④一定不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【热点4二次函数图象与几何变换】 1．（2025•金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 【思路点拨】根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即得答案． 【解析】解：将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2﹣2． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键． 2．（2025•萧山区一模）已知二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）（a≠0）． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点（0，﹣3），求该二次函数的表达式． （3）已知a＜0，A（x1，m）和B（x2，n）是该二次函数图象上任意两点，若对x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，都满足m＜n，求证：． 【思路点拨】（1）先将二次函数y＝a（x﹣1）（x+2）化为一般式，再根据二次函数顶点坐标公式（﹣，）； （2）先根据函数平移规律得到平移后的函数表达式，再将点（0，﹣3）代入平移后的表达式求出a的值，进而得到原二次函数表达式； （3）先根据m＜n列出不等式，结合a＜0求出a的取值范围，再根据二次函数性质求出函数最大值，进而证明y＜． 【解析】（1）解：将y＝a（x﹣1）（x+2）展开得y＝a（x2+x﹣2）＝ax2+ax﹣2a， ∴根据顶点坐标公式﹣＝﹣，＝＝﹣， ∴顶点坐标为（﹣，﹣）； （2）解：函数图象向上平移3个单位长度后，函数表达式变为y＝ax2+ax﹣2a+3， ∵平移后的函数经过（0，﹣3），把x＝0，y＝﹣3代入y＝ax2+ax﹣2a+3， ∴﹣3＝﹣2a+3，解得a＝3， ∴原二次函数表达式为y＝3（x﹣1）（x+2）＝3x2+3x﹣6； （3）证明∵A（x1，m）和（x2，n）在y＝ax2+ax﹣2a上，且x1＝﹣1﹣a，x2＝2a，m＜n， ∴a（﹣1﹣a）2+a（﹣1﹣a）﹣2a＜a（2a）2+a×2a﹣2a， 化简得a3+a2﹣2a＜4a3+2a2﹣2a， 移项得3a3+a2＞0， ∵a＜0， 两边同时除以a得3a2+a＜0，因式分解得a（3a+1）＜0， ∴解得﹣＜a＜0， 由（1）知二次函数顶点纵坐标为y＝﹣， ∵﹣＜a＜0， ∴0＜﹣＜， ∵a＜0， 二次函数图象开口向下， ∴y＜． 【点睛】本题综合考查了二次函数的多种性质：（1）重点考查二次函数一般式与顶点坐标公式得运用；（2）集合函数平移知识，通过代入点坐标求解函数表达式；（3）用函数上点的坐标关系，结合不等式求解参数范围，进而证明函数值得范围．该题全面考查了对二次函数知识的理解和运用能力，尤其是对二次函数性质在不同情境下的灵活应用． 3．（2025•仙居县二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点P（﹣1，5），且对称轴为直线x＝1． （1）求该二次函数的表达式； （2）将该二次函数的图象左右平移后，所得新图象经过原点，请写出平移的方式； （3）当t≤x≤t+2时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的最大值与最小值的差为m，且m≥2，求实数t的取值范围． 【思路点拨】（1）设顶点式y＝﹣（x﹣1）2+n，然后把P点坐标代入求出n即可； （2）设平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+9，然后把点（0，0）代入，从而得到m的值，即可得到平移的方式； （3）分四种情况，根据二次函数的最大值与最小值的差为m，且m≥2，分别列出不等式，再解关于t的不等式即可． 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+n， 把P（﹣1，5）代入得﹣（﹣1﹣1）2+n＝5， 解得n＝9， ∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+9； （2）设平移后的函数解析式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+9， 代入（0，0）得m＝﹣4或m＝2， ∴该二次函数的图象向左平移4个单位或向右平移2个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点； （3）∵抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝1， ①当t+2≤1，即t≤﹣1时，函数在x＝t取最小值，x＝t+2时取最大值， ∴﹣（t+2﹣1）2+9﹣[﹣（t﹣1）2+9]≥2， 解得t≤﹣， 故t≤﹣1； ②当t≥1时，函数在x＝t取最大值，x＝t+2时取最小值， ∴﹣（t﹣1）2+9﹣[﹣（t+2﹣1）2+9]≥2， 解得t， 故t≥1； ③当0≤t＜1时，函数在x＝1取最大值，x＝t+2时取最小值， ∴9﹣[﹣（t+2﹣1）2+9]≥2， 解得t≥1或t≤﹣3，不合题意，舍去； ④当﹣1＜t＜0时，函数在x＝1取最大值，x＝t时取最小值， ∴9﹣[﹣（t﹣1）2+9]≥2， 解得t≥3或t≤﹣1，不合题意，舍去； 综上所述，t的取值范围是t≥1或t≤﹣1． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是分类讨论思想的应用． 4．（2025•浙江二模）已知抛物线y＝﹣x2的顶点向右平移2个单位长度再向上平移2个单位长度后与抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点重合． （1）求b，c的值； （2）点A（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2上，点B（﹣x1+m，﹣y1+n）在抛物线y＝x2+bx+c上： ①若x1＝2m，求n的最大值； ②若m＝n，且，求m的值． 【思路点拨】（1）先求出抛物线y＝﹣x2平移后的顶点坐标为（2，2），则抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）可设为y＝（x﹣2）2+2，转化为一般式即可解答； （2）①把点A（x1，y1）代入y＝﹣x2，把点B（﹣x1+m，﹣y1+n）代入y＝x2﹣4x+6，则y＝x2﹣4x+6，得到，再由x1＝2m，代入化简后利用二次函数的性质即可求解；②把n＝m，代入化简得（m﹣2）（m﹣3﹣2x1）＝0，再根据，即可求解． 【解析】解：（1）根据条件可设为y＝（x﹣2）2+2， ∴y＝x2+bx+c＝x2﹣4x+6， ∴b＝﹣4，c＝6； （2）把点A（x1，y1）代入y＝﹣x2，把点B（﹣x1+m，﹣y1+n）代入y＝x2﹣4x+6，则y＝x2﹣4x+6， 可得：，， 由两式相加得：（1） ①：把x1＝2m，代入（1）化简得：， ∴当时，n的最大值为， ②：把n＝m，代入（1）得， 化简得（m﹣2）（m﹣3﹣2x1）＝0， ∵， ∴2x1≥m， ∴m﹣3﹣2x1≠0， ∴m﹣2＝0， ∴m＝2． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移．熟练掌握以上知识点是关键． 5．（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【思路点拨】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解； （2）找出抛物线的对称轴为x＝，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值； （3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围． 【解析】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上， ∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m， 解得m＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1； （2）∵y＝x2﹣3x+1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴当x＜时，y随x的增大而减小， 当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1， ∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n， ∴n2﹣3n+1＝4﹣n， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∵n≤x≤1， ∴n的值为﹣1； （3）根据平移的性质可知，a＝1， ∵当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴h≥2． ∵平移后的图象经过原点O， ∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2， ∴k≤﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2． 【热点5二次函数的最值】 1．（2025•余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 【思路点拨】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【解析】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 2．（2025•衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　2﹣或1+　 ． 【思路点拨】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜和当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞，分别进行计算可以得解． 【解析】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值． ①当x＝n时，y取最大值，此时＜2，即n＜． 又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2， ∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣． ②当x＝n+1时，y取最大值，此时＞2，即n＞． 又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2， ∴n＝2+（不合题意，舍去）或n＝2﹣． ∴n＝1+或n＝1﹣（不合题意，舍去）． 综上，n＝2﹣或1+． 故答案为：2﹣或1+． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质进行分类讨论是关键． 3．（2025•浙江模拟）当a＞0时，二次函数y＝ax2+（b﹣2）x+8有最小值，记作m，随着a，b的变化，m的最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【思路点拨】先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解． 【解析】解：∵a＞0， ∴当x＝时，y取最小值， ∴m＝＝﹣+8， ∵（b﹣2）2≥0，a＞0， ∴﹣≤0， ∴﹣+8≤8， ∴当b＝2时，m取最大值8，故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键． 4．（2025•杭州二模）已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（2，y3），P4（3，y4），其中y1＞y2＝y4，则y1，y2，y3中最值情况是（　　） A．y1最大，y3最小 B．y2最小，y1最大 C．y3最小，y2最大 D．y1最小，y3最大 【思路点拨】依据题意，由图象过P2（﹣1，y2）和P4（3，y4），可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【解析】解：由题意，∵图象过P2（﹣1，y2）和P4（3，y4）， ∴抛物线的对称轴是直线． 若抛物线开口向上，则顶点为最小值点，离对称轴越远的点函数值越大． ∵P1（﹣3，y1）到对称轴的距离为|﹣3﹣1|＝4，P2（﹣1，y2）和P4（3，y4）到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， ∴y1最大，且y2＝y4． 对于P3（2，y3），其到对称轴的距离为|2﹣1|＝1，是四个点中最近的， ∴y3最小． ∴y1＞y2＝y4＞y3，即y1最大，y3最小． 若抛物线开口向下，则顶点为最大值点，但此时y1应小于y4，与条件矛盾． 综上，抛物线开口向上时结论成立． ∴y1最大，y3最小． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【热点6抛物线与x轴的交点】 1．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 【思路点拨】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，同样方法得到 平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断． 【解析】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0）， ∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x＝， ∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x＝， ∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意； ∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变， ∴＝， 即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．（2025•临安区一模）已知二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点A（x1，0），B（x2，0），且3＜AB＜4，则n的取值范围是　　 ． 【思路点拨】由题意可得Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0，x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1，可得，AB＝|x1﹣x2|＝＝＝，则3＜＜4，求出n的取值范围即可． 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣x﹣n+1的图象与x轴有两个不同交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣n+1）＞0， ∴． ∵A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣n+1， ∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝． ∵3＜AB＜4， ∴3＜＜4， 解得， ∴n的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．（2025•浙江一模）已知二次函数y＝ax2+bx+2（a，b为常数，a≠0）的图象经过点（﹣3，2）． （1）求常数a和b满足的关系式． （2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． （3）当﹣3≤x≤1时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 【思路点拨】（1）将点（﹣3，2）代入二次函数y＝ax2+bx+2即可求解； （2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，得Δ＝9a2﹣8a＝0，解方程即可求出抛物线的表达式； （3）分a＞0，a＜0两种情况，探究函数的最大值是最小值的2倍时a的取值，列出方程即可求解． 【解析】解：（1）将点（﹣3，2）代入y＝ax2+bx+2， 可得，9a﹣3b+2＝2． ∴3a﹣b＝0．（b＝3a或均可） （2）由（1）得y＝ax2+3ax+2， ∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝9a2﹣8a＝0． ∴a1＝0（舍去），． ∴． （3）由（1）得y＝ax2+3ax+2，抛物线的对称轴为直线， 当a＞0， 时，函数取最小值为， x＝1时，函数取最大值为4a+2， ∴． ∴． 当a＜0， 时，函数取最大值为， x＝1时，函数取最小值为4a+2， ∴． ∴， ∴或． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．分类讨论是正确解答此题的关键． 4．（2025•浙江二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）． （1）当a＝c时， ①求抛物线的顶点坐标． ②将抛物线向下平移m个单位（m＞0），若平移后的抛物线过点（0，﹣8），且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值． （2）已知点M（2，2n+1），N（﹣1，3n+2）在抛物线上，且c＜0，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）①由a＝c，可得y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，即可得抛物线的顶点坐标为（1，0）． ②平移后所得抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣m，将（0，﹣8）代入，得a﹣m＝﹣8，即m＝a+8，可得y＝ax2﹣2ax+a﹣a﹣8＝ax2﹣2ax﹣8．设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），可得x1+x2＝＝2，x1x2＝，进而可得|x1﹣x2|＝＝，求出a的值，从而可得答案． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝＝1，可得点M（2，2n+1）关于对称轴的对称点为（0，2n+1），将（0，2n+1），（﹣1，3n+2）代入y＝ax2﹣2ax+c，得，可得，进而可得，从而可得n的取值范围． 【解析】解：（1）①∵a＝c， ∴y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）． ②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为y＝ax2﹣2ax+a﹣m， 将（0，﹣8）代入，得a﹣m＝﹣8， ∴m＝a+8， ∴y＝ax2﹣2ax+a﹣a﹣8＝ax2﹣2ax﹣8． 设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0），（x2，0）， ∴x1+x2＝＝2，x1x2＝． ∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6， ∴|x1﹣x2|＝＝， 解得a＝1， 经检验，a＝1是原方程的解且符合题意， ∴m＝1+8＝9． （2）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝＝1， ∴点M（2，2n+1）关于对称轴的对称点为（0，2n+1）， 将（0，2n+1），（﹣1，3n+2）代入y＝ax2﹣2ax+c， 得， ∴， ∵a＞0，c＜0， ∴， 解得， ∴n的取值范围为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2025•瓯海区二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 【思路点拨】（1）由题意得该二次函数的图象的对称轴为直线x＝，则可得，求出a的值，即可得出答案． （2）根据Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+4＝＞0，可得结论． （3）由题意得，二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线x＝＝a，当a＜0时，可得当x＝0时，y＝﹣3，即a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当0≤a≤3，可得当x＝a时，y＝﹣3，即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3，求出a的值即可；当a＞3时，可得当x＝3时，y＝﹣3，即9﹣6a+a﹣1＝﹣3，求出a的值，进而可得答案． 【解析】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线x＝， ∴， 解得a＝2， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1． （2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+4＝＞0， ∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线x＝＝a， 当a＜0时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， 即a﹣1＝﹣3， 解得a＝﹣2； 当0≤a≤3， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝a时，y＝﹣3， 即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3， 解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）， ∴a的值为2； 当a＞3时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝3时，y＝﹣3， 即9﹣6a+a﹣1＝﹣3， 解得a＝（舍去）． 综上所述，a的值为﹣2或2． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$