精品解析：2025年北京市西城区九年级中考二模数学试卷

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是一个立体图形三视图，则该立体图形是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 球 2. 如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 3. “双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约辆，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（ ） A. 随机抽取某个班全体学生 B. 每个年级各推荐20名学生 C. 上体育课时，在操场上随机抽取25名学生 D. 将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生 5. 六边形的内角和为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点，表示的数分别是，．如果，那么下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数y＝的图象上横、纵点坐标都是整数的点有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 8. 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 10. 分解因式：________． 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是_____． 12. 写出一个比大且比小的整数______． 13. 方程的解为______． 14. 2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是______． 15. 如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为______． 16. 小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，交于点E，点F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 21. 关于方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 22. 在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 24. 如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 28. 给定线段和位于直线同一侧两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． （1）点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； （2）已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学 考生须知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图是一个立体图形的三视图，则该立体图形是（ ） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 长方体 D. 球 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，旨在考查学生的空间想象能力． 【详解】解：A：圆锥的三视图为三角形、三角形、圆，符合题意； B：圆柱的三视图分别为：长方形、矩形、圆，不符合题意； C：长方体的三视图没有圆，不符合题意； D：球的三视图均没有三角形，不符合题意； 故选：A 2. 如图，两个直角三角形的直角顶点重合，如果，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角的和差关系，熟练掌握角的和差关系是解题的关键；由题意可知，求出，由即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3. “双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至2023年底，全国新能源汽车保有量约为辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到2033年底，新能源汽车保有量将会是2023年底的5倍，达到约辆，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：； 故选B． 4. 为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查方式中最合适的是（ ） A. 随机抽取某个班的全体学生 B. 每个年级各推荐20名学生 C. 上体育课时，在操场上随机抽取25名学生 D. 将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查的知识．注意选取的样本需要有代表性和广泛性．因为抽样时要注意样本的代表性和广泛性，根据样本的代表性即可作出判断． 【详解】解：随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，抽样时要注意样本的代表性和广泛性，将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生，这些对象具有代表性和广泛性． 故选：D． 5. 六边形的内角和为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和即可解决问题，熟练掌握多边形的内角和公式及应用是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和可得： ． 故选：． 6. 如图，数轴上的点，表示的数分别是，．如果，那么下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得异号，即得，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∵， ∴， ∴，故错误； 令，，则，，故错误； 令； ∵， ∴ ∴，故正确； 故选：C． 7. 在反比例函数y＝的图象上横、纵点坐标都是整数的点有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】根据y=,得出xy=6,再结合x、y都是整数,从而得出正确选项即可. 【详解】解：将反比例函数y=变形，得xy=6 乘积为6的整数可分为： 2和3、-2和-3、1和6、-1和-6, 所以图象上横、纵点坐标都是整数的点有（-1，-6）、（-2，-3）、（-3，-2），（-6，-1）、（1,6）（2，3）、（3，2）、（6，1）共8个. 故选：D. 【点睛】本题考查的是反比例函数的比例系数k的特点,即反比例函数中k为定值,且k=xy. 8. 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要研究等腰梯形各边中点连线所构成的四边形的性质．运用三角形中位线定理来推导四边形和的边、角、面积等相关性质，进而判断四个结论的正确性． 【详解】解：连接等腰梯形的对角线、． ∵点，，，分别是等腰梯形各边的中点， ∴， ， ∵等腰梯形的对角线相等， ∴， ∴． 同理， ∴四边形是菱形，结论①正确． 取的中点，连接，， ∵，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴点，，三点共线， ∴即，结论②正确． 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴，，四边形是平行四边形， ∴，四边形是矩形， 同理可得， ∴ ∴，即四边形面积等于四边形面积的倍，不是倍，结论③错误． 同理可得四边形的面积等于四边形面积的倍， ∴四边形的面积等于四边形面积的倍， 设梯形的高为，上底，下底， ∴梯形面积 ． ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴ ∴四边形平行四边形，设其相邻两边分别为、，周长 ， ． ∵（当且仅当时取等号），四边形的面积 ，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ，即四边形周长的平方不小于梯形面积的倍，结论④正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）、相似三角形的判定及性质，菱形的判定（四条边相等的四边形是菱形）、平行四边形的判定与性质以及均值不等式等知识．解题的关键在于通过连接对角线等辅助线，利用三角形中位线定理得出各边关系，再依据相关图形性质判断结论的正确性． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 写出一个比大且比小的整数______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】解：∵2＜＜3，4＜＜5， ∴所有比小且比大的整数有3，4， ∴这个整数可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 故答案为：． 14. 2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选择参观同一个景点的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、故宫、鼓楼，画树状图，计算即可. 【详解】解：分别用A、B、C、D表示天坛、正阳门、故宫、鼓楼， 画树状图： 共有16种可能，小明和小华选择去同一个地方游玩有4种可能， 小明和小华选择参观同一个景点的概率为， 故答案为：． 15. 如图，在中，点是上一点，延长，交于点．若，的面积为6，则的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质（对边平行）以及相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）和性质（相似三角形面积比等于相似比的平方）．解题的关键在于利用平行四边形对边平行的性质找出相似三角形，准确求出相似比，再运用相似三角形面积比与相似比的关系计算所求三角形的面积．本题围绕平行四边形展开，已知和的面积，要求的面积．需要利用平行四边形对边平行的性质，找出相似三角形，再依据相似三角形的性质来建立面积关系求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ ，即． ∴，． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴ ． ∵， ∴， ∴ ． ∵． ∴ ． ∴ ． 即， ∴ 故答案为：． 16. 小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 【答案】 ①. 15 ②. 7 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用根式的性质化简后，再合并计算． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式 20. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，交于点E，点F是上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用角平分线的性质得到，再结合推出，从而得出．已知，可得到，根据一组对边平行且相等判定四边形是平行四边形．最后由，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）得出四边形是矩形． （2）利用矩形的性质得到，进而推出，．已知，则，在中，根据正弦值和求出和的长度，进而得到的长度．最后在中，根据勾股定理求出的长． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交于点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在矩形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵在中，， ∴，． ∴． ∵在矩形中，， ∴在中，． 【点睛】平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、三角函数以及勾股定理．解题关键在于利用已知条件逐步推导边与角的关系，通过角平分线和平行线的组合得到等腰三角形，利用矩形性质找到角的等量关系，再结合三角函数和勾股定理求解边长． 21. 关于的方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程两个根都是整数，求正整数的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用．解题关键在于理解根的判别式与根的关系，利用判断根的情况并求解参数范围；同时掌握求根公式，通过对根的表达式分析及代入验证来确定满足条件的参数值． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，已知方程有实数根，所以，通过构建关于的不等式求解的取值范围． （2）先利用求根公式得出方程的根的表达式，再结合第一问的取值范围确定正整数可能的值，然后通过代入逐一验证根是否为整数，从而确定符合条件的值． 【小问1详解】 解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是． 【小问2详解】 解：解方程，得． ∵， ∴正整数的值为1，2，3． 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，得到方程的根为，，都是整数． ∴正整数的值是3． 22. 在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 小问1详解】 解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方，且两个图象相交于点． ∴要大于， ∴． 23. 某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． （1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60 60 70 70 72 75 80 80 80 80 80 80 81 81 81 82 82 85 90 91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； （2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】（1）①80；3；②180； （2）①92.2；②91 【解析】 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； 【小问2详解】 解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，为的外接圆，点为的中点，的切线交的延长线于点，交于点．连接，，且． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）本题要证明，通过设，利用同弧所对圆心角是圆周角的两倍，得到 ．再根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和求出 ．由切线性质得到，进而得出的度数．最后结合已知，得出的度数，从而证明两角相等． （2）求的长，先延长交于．根据点为的中点，利用垂径定理的推论得到，再通过证明得出 ．由得到，进而推出角相等关系．结合前面（1）中角的结论，得出 ，从而得到线段相等关系 ，最后根据，结合求出的长． 【小问1详解】 证明：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴半径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交于，则， ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的相关知识，包括同弧所对圆心角与圆周角的关系、切线的性质、垂径定理及其推论，以及等腰三角形的性质和全等三角形的判定．解题的关键在于利用圆的性质找出角之间的等量关系，通过角的关系推导线段的等量关系，进而求解问题． 25. 小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； （2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）． 【答案】（1）见解析 （2）①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题． （1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出与、与对应的坐标点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于与，有， 等点；对于与，有，等点． （2）①先根据函数图象或数据找到时，和的值，然后计算两者差值． ②找到时的值，与小明家到幼儿园的路程比较大小． ③小明家到幼儿园路程为，幼儿园到单位路程为，分别估算对应的值，相加即可得解． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴ ． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为 ， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，点为边上一点（），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若点，，分别为，，的中点，连接，补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）详见解析 （2），图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，熟练掌握全等的判定和性质是关键． （1）根据旋转的性质、全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）按照题意补全图形，证明，，．即可得到结论； 【小问1详解】 证明：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． 【小问2详解】 解：补全图形如图所示． 线段与之间的数量关系：． 证明：在上取点，使得，连接． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． ∵点为的中点， ∴． 设，，则，． ∴． ∴． ∴． 28. 给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． （1）点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； （2）已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，； ②； （2）或 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线，平行线的判定与性质，圆与直线的关系，勾股定理，相似三角形的运用，正确分类是解题的关键． （1）①判断出点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可解答； ②根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，再分类讨论，即可解答． （2）根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可画图，易得时，满足题意；当时，求出继而求出，证明，可求出，再根据，可列出关于m的不等式，即可解答． 【小问1详解】 解：作的平分线交于点F，如图， ∴， ∵， ∴， 即为的垂直平分线， ∵， ， ∴，即， ∴，， ∴， 即点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且． ①由结论及图，可得与点关于线段等角等距的点是点B，C． ②如图，当时，圆上不存在一点满足题意； 当时，由图可知，满足题意； 当时，过点F作轴于点N，有 ，， ∴， ∴， 由题意，可知关于线段等角等距，即的垂直平分线与线段（不包括端点）有交点，有 由成立， ∴ 即， ， ∴， 即或（无解） ∴， 综上所述，． 【小问2详解】 当时，的垂直平分线为直线； 当时，的垂直平分线为第一，三象限的角平分线； 如图，可知，当时，总有点与关于线段等角等距． 当时，过点O作垂直于的垂直平分线于点A，延长与圆的交点即为H，如图，有，，， 即， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴， 由，得， 由得 ， ， ∴，解得， 由得． 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $