重庆市第八中学校2024-2025学年高二下学期月考(二）数学试题

重庆八中2024-2025学年度(下)高二年级月考(二) 数学试题 命题:苑繁宝 胡艺 审核:苑繁宝 打印:胡艺 校对:苑繁宝 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40'分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1. 曲线/f(x)=e’*在点(1.f(1)处的切线的倾斜角为 C.2 A. B.7 D.3 2. 在一次数学考试中,某校学生的成绩X~N(95,o),且P(X<105)=0.7.若从该校的 考生中随机抽取一名学生,则其成绩在区间(85.95]内的概率为 B.0.2 C.0.3 A.0.1 D.0.4 3. 已知袋中有大小相同的黑球和白球共9个,若从中任取2个,至少有一个白球的概率 则袋中白球个数为 B. 4 C.5 A.3 D.6 B C. A.1 D.2 5. 现有数字1,2,2,3,3,3,若将这六个数字排成一排,则数字2,2恰好相邻的方法 数有 B. 20种 C. 40种 A. 6种 D. 120种 C. c<a<b A. a<b<c B. b<a<c D. a<c<b 7. 来自3个班的6名同学一起参与登山活动,其中一班有3人,二班有2人,三班1人 到达山顶之后6人排成一排合影留念,则同班同学不相邻的站法总共有 B. 120种 A. 150种 C. 84种 D. 72种 第1页共6页 8、为了预防肥胖,某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查,其中被调 欢吃甜食”有关,则被调查的男生人数最少为 参考公式及数据:x2-n(ad-be) 其中n-a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 附: 0.05 0.01 x 3.841 6.635 B. 13人 C. 14人 A.12人 D. 15人 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。; x 数为11 A.n-8 C展开式中共有4个有理项 10. 甲罐中有2个红球、2个黑球,乙罐中有3个红球、2个黑球,先从甲罐中随机取出 一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出两球,记A表示事件“甲罐取出的球是红球”,记B 表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”,则 .P(B). C.#r01. A. P(Bn-3 D. P(l)-# 11. 已知x→o,a→o,且a≠1,函数f(x)-a”),则 A.当0<a<1时,f(x)有且仅有1个零点 B. 当a>1时,/(x)有两个零点 C. 当a-c时,/(x)>0恒成立 D. 当a=e时,/(x)有两个极值点 第2页共6页 ? 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知离散型随机变量Xx的分布列如下,且E(X)-3,则P= x 0 )。 _~ P 7 13. 近几年,我国新能源汽车产业进入了加速发展的阶段,呈现市场规模、发展质量“双 提升”的良好局面,新能源汽车的核心部件是动力电池,其中的主要成分是碳酸理.下表 是某地2025年3月1日至2025年3月5日电池级碳酸钾的价格的统计数据: 日期代码x 2 { 4 4.1 3.9 3.8 3.8 电池级碳酸钾价格) 3.9 根据表中数据,得出v关于x的经验回归方程为=-0.05x+a,根据数据计算出在样本点 (4,3.8)处的残差为 14. 当neN时,将(x2+x+1)"展开,可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角” _义杨三角形 (x2+x+1)0-1 (2+x+1)-2+x+1 1C) (x2+x+1)2-4+2x3+3x2+2x+1 1 r23 (2+x+1=x$+3x+6x*+7x+6x}+3x+1 136763 , (2+x+1) =x*+4x’+10x6+16×+19x&+16×3+10x2+4x+1 1410 1619 161041 “: ._f 若在(1+ax)(x2+x+1)的展开式中,x*项的系数为5 则实数a-___. 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)为弘扬传统文化,传承端午民俗,我市特举办“粽情端午,舟竞风流”双 队对抗赛,现有甲、乙两支队伍参加对抗赛,采用五局三胜制,每局均无平局,已知每局 比赛甲队获胜的概率为2, 假设每局比赛的结果互不影响 (1)比赛进行四局结束且乙队获胜的概率 (2)记比赛结束时甲队胜的局数为X,求X的分布列与期望 第3页共6页 16.(15分)如图,点D是以AB为直径的半圆上的动点,已知AB-BC-4;且AB1BC, 平面BCD1平面ACD 。 (1)证明:BD1BC; (2)若线段AC上存在一点E满足CE-2EA,当三校锥C-ABD的体积取得最大值时, 求CD与平面BDE所成角的正弦值. C B_..-: (1)求圆E的方程; (2)设直线y=x+2(k<0)与圆E交于不同的两点A,B(点4在点B的上方),直 线y=x与直线AB交于点N,且乙AON-乙BON(O是坐标原点)-设直线OA、OB的斜 率分别为、2. (i)证明:·为定值; (ii)求k的值 第4页共6页 18:(17分)台州是全国三大电动车生产基地之一,拥有完整的产业链和突出的设计优势.某 电动车公司为了抢占更多的市场份额,计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费x(单 位:百万元)和年销售量y.(单位:百万辆)关系如图所示:令v=1n(f-1,2,..) 数据经过初步处理得: 年销量(百万辆) (220~。 7f) 2 3 年广告费(百万元 20一 2(-) {(x-)0-) 2#- 444.8 ,1403 1.612 10。 19.5 8.06 现有①y-x+a和②y=nlnx+n两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模 型,其中a,b,m,n均为常数. (1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好? -1 (2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据,求出y关于x的回 归方程,并预测年广告费为6(百万元)时,产品的年销售量是多少? (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加 大广告投入的同时也加大研发经费的投入,年研发经费为年广告费的199倍,电动车的年 净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量(单位:百万元)影响,设随机变 量服从正态分布N(600,o”),且满足P(>800)-0.3.在(2)的条件下;求该公司年净 利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润=利润x年销售量-年广告费- 年研发经费-随机变量). 2(x)-) 附①相关系数,- . #2-2-# -,1回归直线)-a+fx中公式分别为 #(x-)(- #_2 _,a--x: ②参考数据:40.3×1.612-8.06,403~20.1,n5~1.6:ìn6~1.8. 第5页共6页 19.(17分)已知函数/(x)-ln(+x)+x-asinx,a0. (1)若函数f(x)在(-1.0)单调递增,求实数a的取值范围 (2)当xe(-1,)时,f(x)<o,求实数a的值; 第6页共6页重庆八中2024一2025学年高二（下)第二次月考数学参考答案 一、单项选择题： 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D B D 1.【解答】解：f(x)=-,所以f(1)=-1,设曲线在点(1，∫(1))处的切线的倾斜角为a, 则ana=-1,且a∈0，)，解得a=3 4 .故选：D, 2.【解答】解：因为学生的成绩X~N(95,σ2)，且P(X≤105)=0.7， 所以P(95≤X<105)=P(X<105)-P(X<95)=0.7-0.5=0.2, 所以P(85<X≤95)=P(95≤X<105)=0.2.故选：B. 3.【解答】解：设袋中有n个黑球，其中n∈N且0<n<9: n(n-1) 从中任取2个，至少有一个白球的概率是P1兰)及 6 3 化简得n2-n-12=0,解得n=4,所以袋中白球的个数为5.故选：C. 4.【解答】解：随机变量X服从二项分布B空，若P(X=0,9375=1-PX=0)=1-C为”， 则C(）”=分)”=0.0625，则n=4,则D(X)）=p1-p)=4×2x=1.故选：A. 22 5.【解答】解：将两个2看作一个整体，与一个1与三个3进行全排列，有雪=20种排法，故选：B. 6【解答】解：。=受-兰学b=号c=号，于是构造漏数=些，则了=少 令∫(x)=0→x=e,当x∈(0，e)时，f(x)单调递增：当x∈(e,+o)时，f(x)单调递减， 所以f(4)<f(3)<f(e),所以a<c<b,故选：D. 7.【解答】解：三班1人先站好：再站二班2人，此时有两种情况： ①站两侧后1班3人再插空：A·A=48种 ②站同侧：2×A··4=72种，共有120种，故选：B. 1 8.【解答】解：由题列出2×2列联表：设男生人数为m, 男生 女生 合计 喜欢吃甜食 2 m 2m m 5 不喜欢吃甜食 3 2 用 m 合计 m 2m 3m 238 K2= n(ad-bc)2 3m-2m.2m-3m.8m 5 m555= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) m·2m·m·2m 12m>6.635,解得m>13.82· 25 又meN,且m为5的倍数，选项D正确.故选：D, 二、多选题： 题号 10 11 答案 AB BCD ACD 9.【解答】解：因为只有第5项的二项式系数取得最大，则n=8,故A正确： C(=2:Cx宁，=0,123,456,78，所以x的系数为：C2=2,故B正 当r=0,2,4,6,8时，展开式为有理项，故C错误： 对D:令x=1,得所有项的系数之和为3，故D错误.故选：AB. 0【解答】解：对于A,由等可能事件概率计算公式得，P910cC=}故A钻 对于B,P-片，P4=PA-P8)=号CS兰则故B正确： 2C615 对FC.闭-宁a刀-装-名全藏率会式 P)=PAB)+PaB)=P0P(B1A0+P0PB1刀=xC:C+C:S=,故c正确： 8 对于D,由贝叶斯公式得：PB)=1-PB)=1-9=号，故D正确，故选：BCD. P(B) 1717 30 11.【解答】解：对于A,当0<a<1时，(x)=d-x单调递减， f(0)=a°-0°=1>0，f(I)=a-1<0,所以f(x)存在唯一零点x。e(0,1),故A正确： 2 对于B,由f(x)=0得a-x°=0，a=x°，xlna=alx, Inx Ina x a 设g-0gl俨， 令g'(x)>0,则0<x<e:令g'(x)<0,则x>e, 所以g()在(0，)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，所以g≤g@=me=上， 当x→0*时，g(x)→-0：当x→+0时，g(x)→0，且g)=0,可作出g(x)的图像， 只要0<g)<,即ae0,eUe,o)时，此时g)=ga有两个零点，故B错误： 对于C,当a=e,x>0时，要证明f(x)=e-x>0,即证明e≥x, 即证明之r=ehx,即证明匹s,由B知，g)s。故C正确： 对于D,f(x)=e-ex-,令f'(x)=0得e=ex-,两边同时取对数得x-1=(e-l)lx, 设M)=x-1-e-1x,hx)=1-e,令r)=0得x=e-l, 当xe(O,e-)时，h(x)<0,h(x)单调递减， 当x∈(e-l,+o)时，N(x)>0,h(x)单调递增， 又h)=0,h(x)m=h(e-l)<h()=0,当x→+o时，h(x)→+oo, 所以h(x)有两个零点，所以(x)有两个极值点，故D正确.故选：ACD. 三、填空题： 题号 12 13 14 答案 2-5 -0.05 方 3 2.【解答】解：由分布列的性质得计P+9=,又)=0X乞计p+29解得p=号 13.【解答】解：=1+2+3+4+5=3，万=41+3.9+3.8+38+39 =3.9, 5 所以得a=4.05，,所以3.8-=3.8-(4.05-0.05×4)=-0.05. 14.【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1： 第6行为1,6,21,50,90,126,141,126,90,50,21,6,1： 所以(1+axx2+x+1°的展开式中，x°项的系数为50+90a=5,所以a= 15.【解答】解：(1)记事件A:“比赛进行四局结束且乙队获胜”， P=Gx号对 …4分 (2)由题可得，X所有的可能取值为0,1,2,3， …5分 则X=0==克 …6分 Prx==G×*号 …7分 Pmx=2=c×x-景 …8分 Px-列=+c××+cx③×咱- …9分 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 8 64 27 81 …1分 故80-号分 …13分 16.【解答】解：(1)证明：过点B作BH⊥CD于H,由平面BCD⊥平面ACD, 平面BCD∩平面ACD=CD,BHC平面BCD, 所以BH⊥平面ACD, …2分 ADC平面ACD,故BH⊥AD,又AB为直径，易知BD⊥AD, 且BD∩BH=B,BD,BHC平面BCD, 所以AD⊥平面BCD, …4分 BCC平面BCD,所以BC⊥AD,且AB⊥BC,AD,ABC平面BAD, AD∩AB=A,所以BC⊥平面ABD, …6分 BD∈平面ABD,故BD⊥BC: ……7分 2)由1)知，m号ac5m-=号8D4Ds80+A0=4B-9=4, 4 4 当BD=AD=2N2时，cn取到最大值， …9分 过点D作DO⊥AB于O,建立以O为原点，直线OD为x轴，直线OA为y轴，过O点垂直于平面ABD 的方向为：轴，则0-20u40,20.D200B0号争.c0-2, 所以币=2,24,0=(22,0，酝=(0， 84 …11分 设平面BED的法向量为，，则 BD⊥M BE⊥n BD·m=2x+2y=0 则 -8.4 ，令x=1, 酝-+32=0 3 可得元=0，-1,2)， …13分 则CD与平面BDE所成角的正弦值sin9=1CD:_2」 …15分 1CD川ml3 1.【解谷】解：(1)由情圆离心*为台设精圆的标准力程为若 +长=1，代入点号得e, 所以椭圆E的方程为号+上=1： …4分 43 (2)(i)由题，设4A(x,),B(x,),因为∠AON=∠BON,又∠AON< 4 此时，直线OB的倾斜角为a=-∠BON,直线OA的倾斜角为B=元+LAON,所以a+B= 4 4 2 所以a=受-Bma=m吃-川=6B户水=合，则名=： …8分 ()因为k=上，k,=点，所以兰.点=1，即x=%, X X2 X X2 y=+2 联立方程组 +上=1'化简得B+4)r2+16+4=0, 43 则△=256-43+4)x4>0,解得：>又k<0,所以k<- -16k 4 故+名=3旅3+4职 …11分 由xx2=(+22+2)得(1-k2)xx2=2k(x+x)+4, 3-20+4,解子又4安所以= 所以1-k3)、4 3 …15分 5 18.【解答】解：(1)设模型①和②的相关系数分别为，5，由题意可得： 立g-0-列 19.519.5 ≈0.97， …2分 24-2- √40320. 20y-%-可 8.06 8.06 =1 …4分 2-列2- √40.3×1.6128.06 所以：，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好： …5分 w-0-列 (2)i=回 8.06 =5, …7分 2y-可 1.612 又由写2-06，了号玄-8,0m=7-5=8-096x5=4, …9分 所以y=5v+4,即回归方程为y=5x+4, …小0分 当x=6时，y=56+4≈13，因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）： …11分 (3)净利润为200×(51r+4)-200x-5,(x>0),令g(x)=200×(51x+4)-200x-5,…12分 所以g=100-200,可得y=g《)在(0,5)上为增函数，在5，+切)上为诚函数。 所以g(x)mam=g(5)=200×(5ln5+4-5)-5≈1400-5， …15分 由题意有：1400-5>1000，即5<400， P(5<400)=P(5>800)=0.3,即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3. …17分 19.【解答】解：(1)由题意可得，∫'(x)≥0在x∈(0,1)恒成立， +1-a.c0sx,"-asinx- 1+ 则当xE10时，a5血c00十0，所以r0, 则∫"(x)在区间(-l,0)上单调递减，3分 所以f"(x)mn=f'(0)=2-a, 即2-a≥0，故0<a≤2， 故实数a的取值范围为(0,2]： …5分 6 (2)下面证明：当a=2时，f(x)≤0恒成立，此时f(x)=lm(1+x)+x-2sinx, 由(1)知，当x∈(-l,0)时，f(x)f0)=0,符合： …7分 当xe0爱时，f国=a++x-asinx,a>0, w-1-2o,f-2rafw-2osx+a 20, 1+x)的 则"(x)在区间(0，)上单调递增，由于"(0)=1<0， 令=1-1+1+>0，则存在1e0爱，使fr0=0, …9分 则f”)<0,0<x<,即)在区间(0，)上单调递减，)>0,1<x<2,即在区间，)上单调 6 6 递增，又0)=0，f爱=1+0+名+1-5<0， 6 所以fk0对x∈0，名恒成立， 即f)在区间(0，)上单调递减，故f(x0)=0. …12分 61 综上，a=2 …13分 (3)证明：由(2)知：m(l+x)+x<2sinx对x∈(0，)恒成立， …15分 所g小台=(+片） k* 3+m2+”-. > …17分 n+l n 1