精品解析：2025浙江省杭州市余杭区九年级中考二模数学试卷

2025年余杭区中考二模数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》引发热议，其中的台词“因为我们都太年轻，不知天高地厚”“若前方无路，我便踏出一条路．若天地不容，我便扭转这乾坤”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．截至2025年2月12日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破95亿元．数据95亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：95亿． 故选：D． 2. 用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了视图，明确左视图是从左面看到的平面图形，据此判断即可． 【详解】解：A、C、D的左视图如图所示： B的左视图如图所示： 只有B的左视图与其他3个不同； 故选B． 3. 如图，已知直线，，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质， 首先根据得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：A． 4. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5， ∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 5. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．本题主要利用若，，则，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意； C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意； D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6. 数学老师在处理一组成绩数据“97，98，100，97，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，则“□”里的数据不可能是（ ） A. 98 B. 97 C. 96 D. 95 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了众数，中位数的定义，先根据众数的定义确定众数，然后得出中位数为97，再进一步解答即可． 【详解】解：97，98，100，97的众数为97， ∴“97，98，100，97，□”的中位数为97， 由条件可知第2个97为原数据的第三个数， ∴， ∴□不可能是98， 故选：A． 7. 如图，在 中，，以为直径的与，交于点， ，连结， ．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，点 是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解． 【详解】连接、，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点 是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．   故选：C ． 8. 如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上， 与相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，解直角三角形，根据网格特点构造相似三角形是解题的关键． 过点B作，交 于点G，取格点F，得到，从而，即可求得．由得到，根据，得到，．过点P作于点Q，则，得到，求得，．过点C作于点H，根据的面积求得．因此在中，根据勾股定理求得，在中，求得，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：过点B作，交 于点G，取格点F， ∴， ∴， ∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，解得， ∴，， 过点P作于点Q，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴． 过点C作于点H， ∴，即， ∴． ∵， ∴在中， ∴在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B 9. 若点，在二次函数（，t为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当时，若，则 C. 当时，若，则 D. 当时，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．根据二次函数的性质，确定，，再讨论各因式的符号判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点，在二次函数（，t为常数）的图象上， ∴ 设，则，， ∵， 当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项A判断错误， 当时，若，则，此时无法确定的符号，故不一定成立，选项B判断错误， 当时，若，则，， 此时，故，选项C判断错误， 当时，若，则，，此时，故，选项D判断正确， 故选：D． 10. 如图，在 中，，，点D为边 上一动点，将沿折叠得到，与 交于点F，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作于点N，过点B作于点M，利用等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点N，过点B作于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， ∴， ∴当最小时， 取得最大值， 根据垂线段最短， ∴时， 取得最大值， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 的绝对值是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值． 根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数（粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是能够了解大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计概率．观察大量重复试验频率稳定到哪个常数附近，就可以用这个常数来估计发芽概率． 【详解】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数附近， 所以估计该麦种的发芽概率为， 故答案为：． 13. 已知二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组的两个方程相加即可得到结果． 【详解】解：， ，得：， 故答案为： ． 14. 如图，已知，，，那么CE的长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴， 故答案为：16． 15. 如图， 内接于，若，则的度数为______． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆内接四边形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．在上的优弧上任取一点 ，连接 ，， ，利用圆内接四边形性质得出，利用圆周角定理得出，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在上的优弧上任取一点 ，连接 ，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，,E是边上的一点，，以E为圆心， 为半径的圆弧交 于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点E作于点H，先证明，进而得，则，再根据，，得，设，则，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，由此解得，则，据此即可得出的值． 【详解】解：连接，过点E作于点H，如图所示：   ∵四边形为矩形，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，理解圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键 三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 因式分解、计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式直接运用平方差公式分解即可； （2）原式先化简二次根式和代入特殊角三角函数值进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． （2）若从“待合格”的 名男生和 名女生中随机抽取 名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图，从统计图中获取所需信息是解题关键． （1）由扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为 ，“优秀”人数为，求出抽样调查的总人数，再求出“良好”的人数，再补全条形统计图，再利用百分比计算“合格”部分所对应圆心角的度数即可； （2）先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是女生的情况数，再运用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵扇形统计图可知“待合格”与“优秀”占总体的一半，条形统计图可知“待合格”人数为 ，“优秀”人数为， ∴被调查总人数为（人）， ∴“良好”的人数为（人）， 扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数为； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是女生的结果数为 ． 所以抽取的两人恰好都是女生的概率为． 19. 如图，在上有 ， ， 三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． 【答案】（1） 如图，即为所求作； （2） 如图，即为所求作 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键． （1）在劣弧上任取一点 ，连接，，则，则，故即为所求； （2）延长交于点，由圆周角定理得，则，故即为所求． 【小问1详解】 解：在劣弧上任取一点 ，连接，， 【小问2详解】 解：延长交于点． 20. 如图，在 中，于点D，E为 上一点，连结交 于点F，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论； （2）根据，得出，由，利用勾股定理即可求出，进而得到，由即可得到结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． （1）若，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点，得到，再结合，解二元一次方程组求解即可； （2）根据，即，进而得到，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到，由不等式的性质即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点， ∴将点代入一次函数解析式得：， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：根据题意：，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ∵一次函数的图象经过第四象限，且，则， ∴， ∴ ∴． 22. 如图，在菱形中，点 在边上，连结 并延长，交的延长线于点，连结 交 于点 ，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，， ， ，证明，得，再证明，证明，即可证明； （2）由，结合，得，得，由 ， 得，可得，得，即可计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：函数的图象经过点，， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出二次函数解析式，由配方法可求出顶点坐标； （2）分两种情况，当和时，根据增减性分析，解不等式（组）即可得解； （3）将已知两点代入求出，，再用m表示出，配方，即可得证． 【小问1详解】 解：二次函数经过点， ∴． 解得． ∴． ∴函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵的图象经过点，． ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，则点在对称轴右侧， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴， 即， 解得， 综上，的取值范围为：； 【小问3详解】 略 24. 如图，是的直径，弦，点D在上，点E是 中点，连接 分别交于点F，G． （1）请直接写出与的度数； （2）若 ，求的值； （3）若，求与的面积比． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，则，再根据垂径定理推论得到，可得的度数； （2）作交于点 ，证明是等边三角形，得，得，证明，再证明，得从而可得结论； （3）过点C作 于点M，过点F作于点H，由，不妨设，则，则，那么，，，在中，由勾股定理得，由，求得，而在中，运用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵点E是 中点，经过圆心， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴； 作交于点 ， ， ∴， ∵, ∴，即, ∴ 点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作 于点M，过点F作于点H， 由，不妨设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理的推论，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年余杭区中考二模数学试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 2025年春节档电影《哪吒之魔童闹海》引发热议，其中的台词“因为我们都太年轻，不知天高地厚”“若前方无路，我便踏出一条路．若天地不容，我便扭转这乾坤”鼓舞着每一位心中有梦想的人勇敢逐梦．截至2025年2月12日，电影《哪吒之魔童闹海》累计票房突破95亿元．数据95亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 用5个相同的小立方体搭成以下几何体，其中左视图与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，，，则为（　　） A. B. C. D. 4. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 数学老师在处理一组成绩数据“97，98，100，97，□”时，其中一个数据印刷不清楚，已知这组数据的中位数和去掉“□”后的4个数据的众数相等，则“□”里的数据不可能是（ ） A. 98 B. 97 C. 96 D. 95 7. 如图，在中，，以 为直径的与，交于点， ，连结， ．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的网格中，每个小的四边形都是边长相等的正方形，A，B，C，D均在格点上， 与 相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 若点，在二次函数（，t为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. 当时，若，则 B. 当时，若，则 C. 当时，若，则 D. 当时，若，则 10. 如图，在中，，，点D为边 上一动点，将沿 折叠得到，与 交于点F，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 的绝对值是________. 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表． 试验种子数 （粒） 发芽频数 发芽频率 根据频率的稳定性，估计该麦种的发芽概率约为______．（精确到） 13. 已知二元一次方程组，则的值为______． 14. 如图，已知，，，那么CE的长为______． 15. 如图，内接于，若，则的度数为______． 16. 如图，在矩形 中，,E是 边上的一点，，以E为圆心， 为半径的圆弧交 于点G，交于点F．若G是的中点，则的值为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分）解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 因式分解、计算： （1）； （2）． 18. 为了解九年级学生的体能状况，体育老师随机抽取部分学生进行体能测试，并将测试成绩分为“优秀，良好，合格，待合格”四个等级．请根据下面两幅不完整的统计图所提供的信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数． （2）若从“待合格”的名男生和名女生中随机抽取名学生，作为重点帮扶对象，请用画树状图或列表法，求所抽取的两人恰好都是女生的概率． 19. 如图，在上有， ，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． （1）请在图中作一个的圆周角，记为． （2）请在图中作一个的圆心角，记为． 20. 如图，在中，于点D，E为 上一点，连结交 于点F，且，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 已知一次函数（k，b为常数，且）的图象经过点． （1）若，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且，求S的取值范围． 22. 如图，在菱形 中，点 在边上，连结 并延长，交 的延长线于点 ，连结 交 于点，连结． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（ 是常数）． （1）若函数图象经过点，求该函数图象的顶点坐标； （2）若点，在该函数图象上，且，求m的取值范围； （3）若函数图象经过点，，求证：． 24. 如图， 是的直径，弦，点D在上，点E是 中点，连接 分别交于点F，G． （1）请直接写出与的度数； （2）若 ，求的值； （3）若，求与的面积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $