专题强化练8 空间中的垂直关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2024-2025学年高一数学必修第二册（人教A版2019）

专题强化练8　空间中的垂直关系 1.设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是(　　) A.若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l⊥m B.若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l∥m C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β D.若l⊂α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β,则α⊥β 2.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P在底面上的射影E在线段BD上,则(　　) A.PA=PC　　B.PB=PD C.AC⊥平面PBD　　D.BD⊥平面PAC 3.如图,在平面四边形ABCD中,AD⊥CD,AC⊥BC,∠DAC=∠BAC=30°,现将△ACD沿AC折起,并连接BD,使得平面ACD⊥平面ABC,若所得三棱锥D-ABC的外接球的表面积为4π,则三棱锥D-ABC的体积为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论中正确的是(　　) A.PC⊥BC　　 B.AC⊥平面PCB C.平面PAB⊥平面PBC　　 D.平面PAC⊥平面PBC 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是棱CC1的中点,P是正方体表面上的一点,若D1P⊥AF,则线段D1P长度的最大值是(　　) A.　　B.　　C.　　D. 6.如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,直角边AC在平面α内,直角边BC的长为,∠BAC=,若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,则线段CP长度的最小值为　　　　.  7.在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,BD⊥CD,平面ABC⊥平面BCD,若该三棱锥的外接球的表面积为16π,则AD=　　　　.  8.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,点M是SD的中点,AN⊥SC于点N. (1)求证:平面SAC⊥平面AMN; (2)求二面角D-AC-M的正切值. 9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD. (1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?证明你的结论; (2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围. 答案与分层梯度式解析 专题强化练8　空间中的垂直关系 1.C 2.AC 3.C 4.AD 5.C 1.C　对于A,若α⊥β,l⊂α,m⊂β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确; 对于B,若α∥β,l⊂α,m⊂β,则l与m平行或异面,B不正确; 对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l⊂γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l'⊂β,∴α⊥β,C正确; 对于D,当l⊂α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C. 2.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD, 连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,所以AE=EC, 当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=,PC=,所以PA=PC,A正确; 对于B,PD=,PB=,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误; 对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确; 对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC不垂直,D错误. 故选AC. 3.C　∵平面ACD⊥平面ABC,平面ABC∩平面ACD=AC,AC⊥BC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ACD. ∵AD⊂平面ACD,∴AD⊥BC, 又∵AD⊥DC,BC∩DC=C,BC,DC⊂平面BCD, ∴AD⊥平面BCD. ∵BD⊂平面BCD,∴AD⊥BD,即∠ADB为直角. 取AB的中点O,连接OC,OD,如图, ∵∠ADB=∠ACB=90°,∴OA=OB=OC=OD, 故O为三棱锥D-ABC外接球的球心, 由三棱锥D-ABC外接球的表面积为4π,可得外接球的半径为1,即OA=OB=1,∴AB=2, 又∠BAC=∠DAC=30°, ∴BC=1,AC=,CD=,AD=. ∵BC⊥平面ACD,∠ADC为直角, ∴VD-ABC=VB-ACD=BC·S△ACD=×1×××=. 故选C. 4.AD　∵AB是圆的直径,C在圆上,∴AC⊥BC, ∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC, 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC, 又PC⊂平面PAC,∴PC⊥BC,故A正确; ∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PAC,故D正确; 若AC⊥平面PCB,则AC⊥PC,∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,与AC⊥PC矛盾,故B错误; 如图,过点C作CD⊥PB于D, ∵平面PAB∩平面PBC=PB,CD⊂平面PBC,∴若平面PAB⊥平面PBC,则CD⊥平面PAB, 又PA⊂平面PAB,∴CD⊥PA, 又PA⊥BC,CD∩BC=C,CD,BC⊂平面PBC, ∴PA⊥平面PBC,∵PC⊂平面PBC, ∴PA⊥PC,与PA⊥AC矛盾,故C错误.故选AD. 5.C　 思路点拨　①过点D1作AF的垂面,确定点P的轨迹, →AF⊥平面D1B1E; ②等腰梯形D1GEB1中最长线段即为D1E,在Rt△D1C1E中利用勾股定理求解D1E的长度. 解析　连接AC,BD,A1C1,B1D1,因为AA1⊥平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1, 又A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1⊂平面A1ACC1,所以B1D1⊥平面A1ACC1, 因为AF⊂平面A1ACC1,所以B1D1⊥AF, 取BC的中点E,连接BF,B1E,C1E,D1E, 易得BF⊥B1E,因为AB⊥平面B1BCC1,B1E⊂平面B1BCC1,所以AB⊥B1E,因为AB∩BF=B,且AB,BF⊂平面ABF,所以B1E⊥平面ABF,又AF⊂平面ABF,所以B1E⊥AF, 因为B1E∩B1D1=B1,B1D1,B1E⊂平面D1B1E, 所以AF⊥平面D1B1E,设平面D1B1E∩平面ABCD=GE,易得GE∥D1B1,又DB∥D1B1,所以GE∥DB, 则G是棱CD的中点, 所以当点P在线段D1B1,B1E,EG,GD1上时(点D1除外),D1P⊥AF, 在梯形D1GEB1中,D1B1=,D1G=B1E=,EG=,D1E===, 所以线段D1P长度的最大值是D1E=.故选C. 6.答案　 解析　在Rt△ABC中,BC=,∠BAC=,AC⊥BC,则AB=, 因为平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC⊥BC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面α, 因为CP⊂平面α,所以BC⊥CP,则CP==(在Rt△BCP中,CP最短,即BP最短), 设∠ABP=θ(0<θ<π), 则S△ABP=AB·BPsin θ,即=×BP·sin θ,得BP=, 当sin θ=1,即θ=,即AB⊥BP时,BP的长度取得最小值1,此时CP的长度取得最小值,为=. 7.答案　2 解析　设BC=2a(a>0),BC的中点为O,连接AO,OD,则AO⊥BC, 因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AO⊂平面ABC,所以AO⊥平面BCD, 因为BD⊥CD,所以BC是△BCD外接圆的直径,O为外接圆圆心, 又等边△ABC的外接圆圆心为线段AO上靠近O点的三等分点, 所以该三棱锥的外接球球心为线段AO上靠近O点的三等分点, 则该外接球的半径R=2a××=a. 因为4πR2=16π,所以R=2,即a=2,解得a=. 在Rt△BCD中,OD=BC=, 所以在Rt△AOD中,AD==2. 小题速解　求解有两个面互相垂直的三棱锥外接球的半径R可以应用公式(2R)2=(2r1)2+(2r2)2-l2(r1,r2为两个垂直面的外接圆半径,l为两个垂直面的交线长),此公式称为双半径单交线公式. 因此此题求外接球半径时可列式为(2R)2=(2×a)2+-(2a)2,解得R=a. 8.解析　(1)证明:∵SA⊥底面ABCD,DC⊂底面ABCD,∴DC⊥SA,又DC⊥DA,SA,DA⊂平面SAD,SA∩DA=A,∴DC⊥平面SAD, 又AM⊂平面SAD,∴AM⊥DC. ∵SA=AD,M是SD的中点,∴AM⊥SD, 又DC,SD⊂平面SDC,DC∩SD=D, ∴AM⊥平面SDC,∵SC⊂平面SDC,∴SC⊥AM. 又SC⊥AN,且AM,AN⊂平面AMN,AM∩AN=A, ∴SC⊥平面AMN. 又SC⊂平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. (2)取AD的中点F,连接MF,则MF∥SA,作FQ⊥AC于Q,连接MQ,BD. ∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD. ∵AC⊂底面ABCD,∴AC⊥MF,又AC⊥FQ,FQ∩MF=F,FQ,MF⊂平面MFQ,∴AC⊥平面MFQ,又MQ⊂平面MFQ,∴AC⊥MQ, ∴∠FQM为二面角D-AC-M的平面角. 设SA=AB=a, 在Rt△MFQ中,MF=SA=,FQ=BD=, ∴tan∠FQM==, ∴二面角D-AC-M的正切值为. 9.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.证明如下: 当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC. ∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PA. 又AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC, ∴BD⊥平面PAC. 故当a=2时,BD⊥平面PAC. (2)连接AM. ∵PA⊥平面ABCD,DM⊂平面ABCD,∴DM⊥PA, 又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM⊂平面PAM, ∴DM⊥平面PAM, ∵AM⊂平面PAM,∴DM⊥AM, ∴点M是以AD为直径的圆和棱BC的交点, ∴圆的半径r=≥AB,即a≥4, ∴a的取值范围是[4,+∞). 7 学科网（北京）股份有限公司 $$