精品解析：重庆市两江育才中学2024-2025学年高二下学期期中质量监测数学试题

重庆市两江育才中学校2024-2025学年度（下）半期质量监测 高二年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：（本题8个小题，共40分） 1. 已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 2. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中含项的系数为. 故选：D. 3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 P A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入即可求解. 【详解】∵，∴，∴，解得：. 故选：C. 5. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 6. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意不等式恒成立，可转化为 【详解】依题意，问题等价于， ， 所以. 由，解得，故函数的单调递增区间是， 同理由，，解得或者，所以的单调递减区间是和， 故在区间上，是函数的极小值点，所以在上. 函数在单调递增，故 故，解得， 故选：C 7. 高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，以A为样本空间，利用古典概率公式即可求解. 【详解】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，B表示“乙被安排到了长跑”， 在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑就是在事件A发生的条件下，事件B发生， 相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数， 事件A发生的样本点数， 所以在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率为. 故选：A. 8. 已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数的单调区间，画出函数图像，变换，得到和，根据函数图像得到答案. 【详解】当时，，则，， 函数在上单调递增，在上单调递减，画出函数图像，如图所示： ，即， 当时，根据图像知有1个解， 故有1个解，根据图像知. 故选：. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换是解题的关键. 二、多选题：（本题3个小题，共18分） 9. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是的极小值，是的极大值 B. 是的极大值，是的极小值 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导函数图象可得导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值进行判断. 【详解】由图知， 当时，；当时，；当时，； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为． 故选：BCD. 10. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ） A. B. 展开式中项数共有13项 C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项式定理及二项展开式的通项公式，结合展开式中的特定项的求法即可求解. 【详解】依题意，展开式的通项公式为， 因为第6项为常数项， 所以时，有，解得，故A正确； 由，得展开式中项数共有项，故B错误； 令，得， 所求含项的系数为.故C正确； 由,令，,则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取，所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D. 故选：ACD. 11. 骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，假定每次闯关互不影响，则（ ） A. 直接挑战第关并过关的概率为 B. 连续挑战前两关并过关的概率为 C. 若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则 D. 若直接挑战第关，则过关的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，先分析事件为两次点数之和应大于6，用等可能性的概率计算公式即可求解；对于B项，分别计算挑战第一关和第二关通过的概率，直接求解；对于C项，分别计算和，用条件概率的计算公式求解；对于D项，先分析事件为四次点数之和应大于20，用等可能性的概率计算公式即可求解． 【详解】对于A项，，所以两次点数之和应大于6， 即直接挑战第2关并过关的概率为，故A正确； 对于B项，，所以挑战第一关通过的概率， 则连续挑战前两关并过关的概率为，故B错误； 对于C项，由题意可知，抛掷3次的基本事件有， 抛掷3次至少出现一个5点的共有种， 故，而事件AB包括：含5，5，5的1种， 含4，5，6的有6种，共7种，故， 所以，故C正确； 对于D项，当n=4时，，基本事件有个， 而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况： 含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种， 含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种， 含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种， 含3，6，6，6的有4种，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：（本题3个小题，共15分） 12. 甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有____________种承包方式（用数字作答）. 【答案】60 【解析】 【分析】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，再让乙承包2项，剩下的3项丙承包，根据分步乘法原理可求得结果. 【详解】由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩下的3项丙承包， 所以由分步乘法原理可得共有种方案， 故答案为：60 13. 已知函数恒成立，求实数m的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】对函数进行求导，然后利用分析函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为求函数在区间上的最大值问题，即可求得的范围. 【详解】，（）． 令，得或；令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 由题意知在上单调递增， 又，所以，解得. 所以实数m的取值范围为． 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可知，令，则， 所以在定义域内单调递增. 因为， 所以关于的不等式可化为， 即. 因为，所以， 即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知，满足． （1）求n的值； （2）求的值． 【答案】（1）5 （2）20 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用赋值法可得，进而利用二项式通项求解. 【小问1详解】 取，可得， 故，所以 【小问2详解】 取，可得， ， 由于的通项为，表示的系数， 所以, 故 16. 设点P是曲线上的一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． （1）求k的取值范围； （2）求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，所以先对函数求导，再根据二次函数的性质求导函数的值域，从而得到切线斜率的取值范围. （2）先根据（1）求出取最小值时点的坐标，然后设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再根据点斜式写出切线方程，最后将点坐标代入切线方程求出切点坐标，进而得到切线方程. 【小问1详解】 已知，对求导，可得： 因为，所以，则，即. 所以的取值范围是.  【小问2详解】 当取最小值时，，解方程可得. 将代入可得，所以 设切点为，对求导可得：，则切线斜率. 由点斜式可得切线方程为. 因为切线过点，将代入切线方程可得：， 即，即， 解得或. 当时，，切线方程为，即. 当时，，切线方程为，即.  所求切线方程为或 17. 中国乒乓球在世界乒坛长期占据统制性地位，被誉为“国球”，无论是竞技成绩、人才的培养还是技术的革新，均处于全球领先水平，在最近7届奥运会中，有6枚奥运男单金牌，女单从未让金牌落榜．某学校将举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，每场单打比赛获胜得2分，双打比赛获胜得4分，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛，进入决赛的甲乙两支球队中，甲队有五名运动员． （1）甲队中队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ （2）在（1）的条件下，单局比赛中A参加比赛且获胜的概率为，A不参加比赛甲队单局单打获胜的概率为，甲队双打比赛获胜的概率为，求甲队得4分的概率． 【答案】（1）36 （2） 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理，结合排列、组合计数问题列式计算. （2）将甲队得4分的事件分拆成两个互斥事件的和，再结合A队员是否参加单打比赛求出概率即可. 【小问1详解】 除队员A外的4名队员中任选2人参加双打比赛，有种方法； 再从余下3人中任选2人参数单打比赛，有种方法， 所以不同的出场阵容的种数是. 【小问2详解】 甲队得4分的事件是两场单打获胜、双打输的事件与两场单打输、双打获胜的事件的和， 队员A参加单打比赛的概率为，不参加单打比赛的概率， 事件是A参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和，， 事件是A参加单打比赛的事件与不参加比赛的事件和，， 所以甲队得4分的概率为. 18. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案； （2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案． 【小问1详解】 因为， 当时，时，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 当时，时，，所以在和单调递增， 时，在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在和上单调递增， 时，在单调递减； 【小问2详解】 当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点； ， 所以在上有唯一零点，符合题意； 当时，由（1）可知为极大值点， 且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围. 19. 设函数 （1）若，求极小值． （2）若是函数的两个零点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的符号判断原函数的单调性，分析可得函数的极小值； （2）由（1）得，由得到，构造函数，判断的单调性，推理知，且，，取，将整理成，取函数，通过多次求导得到在上单调递增，从而得到，即可求解.. 【小问1详解】 由已知， 当时，令，得，函数在单调递减； 令，得，函数在单调递增； 故当时，取极小值，故极小值为 【小问2详解】 当时，恒成立，函数在上单调递减； 此时至多一个零点，不符合题意， 故由（2）得若是函数的两个零点，则必有， 令，可得， 令，则， 由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 而，且当 故若有且仅有2个解，则， 且两个解中必有一个小于，一个大于，所以， 且，，即，， 两式相减可得，所以， 两式相加可得 设，则， 令，则， 令，则， 令,则，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市两江育才中学校2024-2025学年度（下）半期质量监测 高二年级数学试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：（本题8个小题，共40分） 1. 已知火箭发射t秒后，其高度（单位：米）为，则火箭发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ） 1 2 3 4 P A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 6. 已知函数，若对任意，存在，使，则实数b取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程有且只有两个不同实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题3个小题，共18分） 9. 定义在上的函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 是极小值，是的极大值 B. 是的极大值，是的极小值 C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 10. 已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（ ） A B. 展开式中项数共有13项 C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为3 11. 骰子通常作为桌上游戏的小道具．最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，假定每次闯关互不影响，则（ ） A. 直接挑战第关并过关的概率为 B. 连续挑战前两关并过关的概率为 C. 若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，“至少出现一个点”，则 D. 若直接挑战第关，则过关的概率是 三、填空题：（本题3个小题，共15分） 12. 甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项，丙承包3项，则共有____________种承包方式（用数字作答）. 13. 已知函数恒成立，求实数m的取值范围______． 14. 已知函数的定义域为，其导函数是.若恒成立，则关于的不等式的解集为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 已知，满足． （1）求n的值； （2）求的值． 16. 设点P是曲线上一点，k是曲线在点P处的切线的斜率． （1）求k的取值范围； （2）求当k取最小值时，求过点P且和曲线相切的直线方程． 17. 中国乒乓球在世界乒坛长期占据统制性地位，被誉为“国球”，无论是竞技成绩、人才的培养还是技术的革新，均处于全球领先水平，在最近7届奥运会中，有6枚奥运男单金牌，女单从未让金牌落榜．某学校将举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，每场单打比赛获胜得2分，双打比赛获胜得4分，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛，进入决赛的甲乙两支球队中，甲队有五名运动员． （1）甲队中队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ （2）在（1）的条件下，单局比赛中A参加比赛且获胜的概率为，A不参加比赛甲队单局单打获胜的概率为，甲队双打比赛获胜的概率为，求甲队得4分的概率． 18. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 19. 设函数 （1）若，求极小值． （2）若是函数两个零点，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$