精品解析：2025年北京市石景山区中考二模数学试题

石景山区2025年初三综合练习 数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题的关键． 结合图形，根据主视图的定义即可求得答案． 【详解】解：这个几何体的主视图为： ． 故选：C． 2. 根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题关键是根据小数点位置的移动确定指数． 利用科学记数法的一般式求解．科学记数法的一般式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：A． 3. 如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂直的定义． 由及，可求得，再由即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ 故选：B 4. 正十边形的内角和度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据多边形内角和的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正十边形的内角和度数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形内角和的计算方法是正确解答的前提． 5. 圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据弧长公式：进行计算即可． 【详解】解：∵圆心角为60°，且半径为3， ∴弧长= =π． 故选B． 6. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键． 由于方程有两不相等的实数根，则根的判别式，由此建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】∵方程有两个不相等实数根， ∴， ∴． 解得：． 故选：D． 7. 不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意画出相应的树状图，然后即可求得两次摸球摸到不同颜色球的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有9种等可能性，其中两次摸球摸到不同颜色球的可能性有4种， ∴两次摸球摸到不同颜色球的概率是， 故选：C． 8. 在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质．对于①③画出图形，显然不成立；对于②，作于点，作于点，证明，即可得到②正确；对于④，证明四边形是正方形，推出，即可证明④正确． 【详解】解：如图，①如果，显然不存在，①不正确； ②如果， 如图，作于点，作于点， ∵正方形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴，②正确； ③如果为的垂直平分线，如图， 过正方形的中心作边的垂线，分成四个全等的小正方形， 显然，③不正确； ④如果与相互垂直且平分，如图，连接，，，， ∴四边形是菱形， 由②得， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确， 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 【答案】a（b﹣2）2 【解析】 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 11. 已知：，其中为正整数，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是估算出的取值范围，首先得出，得出的取值范围，即可得出n的值． 【详解】解：， ， ，为正整数， ， 故答案为：． 12. 如图，为的弦，，，半径于点，则的长为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出待求线段． 根据垂径定理，先利用勾股定理求出，再求出的长． 【详解】解：∵为的弦，，半径于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2． 13. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出y的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当，， 故答案为：． 14. 某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 【答案】11或17（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题考查方差公式，法一，利用方差的定义结合甲组和乙组除了外，每个数据之间的特征求解即可，法二，根据方差公式列方程求出a的值即可． 【详解】解：法一，∵甲组的每个数据之间相差，而乙组除了外，每个数据之间也是相差， 又∵甲、乙两组病人康复时间的方差相同， ∴乙组按照顺序排列：a、12、13、14、15、16或者12、13、14、15、16、a，两组数据都是连续的相差只有1， ∴或者； 法二，甲组：， ∴， 乙组：， ∴， 解得或， 故答案为：或（写出一个即可））． 15. 如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得，，得到是的面积的两倍，然后用等面积法求得和的关系，进而得到的长．本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中线与面积，解题的关键是熟练应用等面积法求高． 【详解】解：∵于点D，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，零指数幂，二次根式的混合运算，解题关键是注意运算顺序． 先求出零指数幂，余弦值，化简二次根式，绝对值，再计算二次根式的四则混合运算． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题关键是求出各个不等式的解集． 先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】；6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式及代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先利用完全平方公式化简所求代数式，再根据化简结果将已知等式进行变形得出，然后作为整体代入求值即可得． 【详解】.解： ∵， ∴． ∴原式． 20. 如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，中心对称的性质，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解． （1）先证明四边形是平行四边形，再证明它有一个角是直角，从而可得四边形是矩形． （2）先根据矩形的性质证得，，，再利用正切求出，设，接着用表示出，，再用表示出与，根据，可求得，再利用勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：∵点关于点的对称点为点， ∴必过点且． ∵为的中点， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∵于， ∴． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，． 设，则，． ∴，． ∴． ∴在中，． 21. 某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 【答案】使用型计算机，能在分钟内处理完张图像；见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 先判断为能在分钟内处理完，再说明理由，设型计算机处理图像的速度是张/分钟，可用表示出型计算机处理图像的速度，根据“在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟”，列出分式方程求解． 【详解】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟． 由题意可知，． 解得． 经检验：是原方程的解且符合实际意义． 所以． 因为，， 所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与不等式组之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，y随x增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把和代入到中得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得函数的解析式为 ∵在中，， ∴在中，y随x增大而减小， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于， ∴当时，， ∴； 当时，解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， 综上所述，． 23. 为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85 85 83 85 84 81 80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； （3）在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； （4）假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 【答案】（1）82 （2）A （3）① （4）120 【解析】 【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体等知识，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义进行解答即可； （2）根据中位数进行判断即可； （3）根据两组的平均分和最高分分别进行判断即可； （4）根据样本估计总体的方法计算即可． 【小问1详解】 解：∵A课程总人数为20， ∴中位数为第10、11个数据的平均数，而第10、11个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组的是：80，81，83，84，85，85，85，前三组共个数据， ∴A课程的中位数为 ，即； 【小问2详解】 解：∵该学生的成绩大于A课程的中位数，而小于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是A， 故答案为：A． 【小问3详解】 解：①两门课程总成绩的平均数为，学生乙的总成绩为，，所以①正确； ②总成绩高于平均数的人数不一定只有10人，可能有更多人总成绩高于平均数， 因此乙不一定排在前10名，所以②错误； 故选：①； 【小问4详解】 解：由题意可得，人， 即估计A课程成绩不低于80分的学生有人． 24. 如图，四边形内接于，． （1）求证：； （2）作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆内角四边形对角互补以及圆周角定理得，则，即可作答． （2）根据，得．则，结合，，得，运用．，．根据，得，，再证明是等边三角形．得，在中，，运用勾股定理算出，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵四边形内接于，， ∴，． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：依题意，连接，，过点A作于点H． ∵， ∴． ∴ ∵是直径， ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵在中，， ∴，， ∴，． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵ ∴， 在中，， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形，平行线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】（1）230，45 （2） （3）能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； 【小问2详解】 解：设， 把代入中得，解得， ∴满足条件的函数表达式为； 【小问3详解】 解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 26. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； （2）将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）且且且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论． （1）令，解方程即可得解； （2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线． 由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，． ∵，，，四点中，任意两点不重合， ∴且且且． ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ①当时， ∵， ∴． ∴． 由知，不符合题意． ②当时，点在对称轴的左侧． 点关于直线的对称点为． ∵， ∴． ∴且． ∴． 综上所述，的取值范围是且且且． 27. 如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数． （2）如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（）在上取点，使得，可证，可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，进而即可求解； （）延长与交于点，连接，，，由等腰直角三角形的性质可得，，，再证明，可证，可得，，即得，即可证明，得到，，即得到为等腰直角三角形，进而即可求证． 【小问1详解】 解：在上取点，使得， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：． 证明：延长与交于点，连接，，， ∵，，是中点， ∴，，， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正确作出辅助线是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”． 已知点，， （1）在点，，中，的“限定点”是____． （2）点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____． （3）的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）可证明平移后点O的对应点即为点P，由于是以O为直角顶点的等腰直角三角形，那么由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，根据和有且只有一个交点，得到的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上，可得点P在六边形的边上，据此求解即可； （2）根据（1）所求可得点P即为直线与六边形的交点，据此求解即可； （3）根据（1）所求只需要找到与六边形有交点时m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：当是的“限定点”时， 当时，则平移后点O的对应点坐标为，即， 当时，则平移后点O的对应点坐标为，即， 当时，则平移后点O的对应点坐标为，即， 当时，则平移后点O的对应点坐标为，即， 综上所述，平移后点O的对应点即为点P， ∵，， ∴， ∴是以O为直角顶点的等腰直角三角形， ∴由平移的性质可得平移后的对应图形是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∵和有且只有一个交点， ∴的某一个顶点在的边上或的某一个顶点在的边上， 如图所示，当点在线段上时，则点P在线段上，； 当点在线段上时，则点P在线段上，； 当点在线段上时，则点P在线段上； 当点在线段上时，则点P在线段上； 当点在线段上时，则点P在线段上； 点在线段上时，则点P在线段上； 综上所述，点P在六边形的边上， ∵在点，，中，只有在六边形的边上， ∴在点，，中，的“限定点”是； 【小问2详解】 解：∵点在直线上，且点为的“限定点”， ∴由（1）可得点P即为直线与六边形的交点， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图所示，当恰好经过点A时，则， ∴； 如图所示，当与恰好相切时，设切点为N，连接， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当与恰好相切时，同理可得， ∴， ∴； 如图所示，当恰好经过点D时，则时，解得； ∵上存在点，使得点为的“限定点”， ∴与六边形有交点， ∵当或时，与六边形有交点， ∴点C的横坐标m的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化平移，切线的性质，求一次函数的函数值，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确推出点P的轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石景山区2025年初三综合练习 数学试卷 考生须知 1.本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2.在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图所示的几何体，其主视图为（ ） A. B. C. D. 2. 根据公开资料，我国载人航天测控系统的时间同步精度为秒（微妙级时间同步），确保指令和数据的精确．请将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线与交于点，过点作直线的垂线交直线于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 正十边形的内角和度数为（　　） A. B. C. D. 5. 圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为 A. B. C. D. 6. 关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形中，点，，，分别为边，，，上的动点（不与顶点重合），与相交于点．下面四个结论中， ①如果，则； ②如果，则； ③如果为的垂直平分线，则； ④如果与相互垂直且平分，则； 所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 11. 已知：，其中为正整数，则的值为_________． 12. 如图，为的弦，，，半径于点，则的长为_________． 13. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是_________． 14. 某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的康复时间（单位：天）进行了调查，记录如下： 甲组：10，11，12，13，14，15 乙组：12，13，14，16，15， 若甲、乙两组病人康复时间的方差相同，则符合条件的的值可以为_________．（写出一个即可） 15. 如图，在中，于点D，平分，于点E，于点F．若，则的长为_________． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 三、解答题（共68分，第17－19题每题5分，第20－21题每题6分，第22－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在中，，于点D，O为的中点，作点D关于点O的对称点E，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求k，b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 23. 为了解某年级200名学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取20名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理描述和分析．下面给出了部分信息． a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．A课程成绩在这一组的是： 85 85 83 85 84 81 80 c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 80 m 85 B 79.9 84 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，学生甲的A课程成绩为83分，B课程成绩为83分，这名学生成绩排名更靠前的课程是__________（填“A”或“B”）； （3）在此次测试中，学生乙的A课程成绩为84分，B课程成绩为85分，下面有两个推断： ①学生乙这两门课程的总成绩一定高于这20名学生两门课程总成绩的平均数； ②若按这两门课程的总成绩对这20名学生由高到低排序，该名学生一定排在前10名； 其中所有正确推断的序号是__________； （4）假设该年级200名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于80分的学生有__________人． 24. 如图，四边形内接于，． （1）求证：； （2）作直径，交于点，连接，交于点．若，，．求的长． 25. 乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： （1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______，表格中的值为______； （2）求出满足条件的函数表达式； （3）若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后______落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 26. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； （2）将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，是边上一点（不与点，重合），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数． （2）如图，连接，是中点，是中点，连接，，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于图形，点给出如下定义：图形向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到图形，若图形与图形有且只有一个公共点，称点为图形的“限定点”． 已知点，， （1）在点，，中，的“限定点”是____． （2）点在直线上，且点为的“限定点”，则点的坐标为____． （3）的圆心在轴上，半径为，若上存在点，使得点为的“限定点”，则点的横坐标的取值范围为____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $