精品解析：2025年江苏省南通市通州区九年级数学二模试卷

2025年中考网上阅卷第二次适应性考试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 截至2025年，中国非物质文化遗产资源总量近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．将数据“87万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 以原点为中心，把点顺时针旋转，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若想使电流不超过，则电阻R需满足（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①②都不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 8. 设是一个四位数，若这个数是11的倍数，则，，，之间的关系式可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 取任意实数，都有 D. 取任意实数，都有 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算的结果是________． 12. 已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是__________． 13. 已知关于的方程的一根为1，则该方程的另一根为__________． 14. 如图，点，在上，，直线与相切于点．若为的中点，则__________度． 15. 已知实数，满足，则__________． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具———“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若，，，则点到水平线的距离为__________（结果保留小数点后一位，取1.414，取）． 17. 已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 18. 已知等边三角形的边长为5，分别延长，，至点，，，使，得，连接并延长交于点，则的长是________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算； （2）解方程组 20. 某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”__________事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班概率． 21. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 22. 【项目背景】 近年来，人工智能迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩（单位：分）． 【数据收集与整理】 测试结束后，小琪将，两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： 小亮将，两个人工智能产品的语言交互能力测试成绩的平均数、中位数、众数整理如下表： 产品 平均数 中位数 众数 A a 7 c B 7.5 b 6 小嘉将，两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理如下表： 产品 分析能力 学习能力 A 9 8 B 8 9 【数据分析与运用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）表格中__________，__________；__________； （2）哪个人工智能产品的语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按2：5：3的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 23. 如图，是的直径，弦交于点，． （1）求证； （2）若，求的正切值． 24. 某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． （1）求的值； （2）现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 25. 如图，在正方形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点，连接并延长交于点． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断是否为线段的中点，说明理由； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 26 已知抛物线经过，两点． （1）若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围； （2）若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值； （3）在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考网上阅卷第二次适应性考试 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 数轴上，，，四个数对应的点，离原点最近的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的几何意义，绝对值就是一个数在数轴上到原点的距离，求出每一个数的绝对值就是到原点的距离．根据到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴到原点的距离是3个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是1个长度单位， ∵， ∴到原点的距离是个长度单位， ∵， ∴2到原点的距离是2个长度单位， ∴到原点的距离最近的是． 故选：C． 2. 截至2025年，中国非物质文化遗产资源总量近87万项，其中共有44个项目列入联合国教科文组织非物质文化遗产名录（名册），总数位居世界第一．将数据“87万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：万， 故选：C． 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据三视图进行判断即可． 【详解】解：它的主视图是， 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项，解题的关键是掌握相应的运算法则，直接利用相应运算法则计算即可判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项正确，符合题意； C．，选项错误，不符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 以原点为中心，把点顺时针旋转，得到点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，求点的坐标等内容，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 借助于坐标系和旋转的性质得出，然后利用线段的长度和象限即可求出点的坐标． 详解】解：如图所示，，， ， ， ， ， ∴点的坐标是， 故选;A． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若想使电流不超过，则电阻R需满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．求出函数解析式，求出当时，，即可得到答案． 【详解】解：蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，可设， 当时，， ∴， ∴， 当时，， 想使电流不超过，则电阻R需满足， 故选：D． 7. 在平行四边形中作出菱形，对于以下两种作法，根据作图痕迹可以判断（ ） A. ①②都正确 B. ①②都不正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质及线段和垂直平分线的作法，根据作图方法结合平行四边形的性质利用菱形的判定定理逐一判定即可． 【详解】解：在作法①中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 由作图可知垂直平分， 则， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，①正确； 在作法②中，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， 由作图可知， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定相等，则不一定相等， ∴不能判定 四边形是菱形，②不正确； 故选：C． 8. 设是一个四位数，若这个数是11的倍数，则，，，之间的关系式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整除规律，掌握11倍数的特征：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数是11的倍数，直接求解即可得到答案． 【详解】解：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数是11的倍数， 设是一个四位数，是11倍数， 则， 故选：B． 9. 如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 10. 已知多项式，当时，多项式的值为；当时，多项式的值为，则下列说法正确的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，使得 C. 取任意实数，都有 D. 取任意实数，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整数运算，正确理解题意是解题关键．根据题意，可知，，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，可有， 当时，则有， ∵， ∴， ∴，，故选项A、B错误，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，符合题意； ∵，故选D错误，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算． 【详解】解：原式==， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则（a≥0，b＞0）是解题关键． 12. 已知中，，分别是，的中点，连接，则与的周长比是__________． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形中位线是解题的关键． 根据三角形中位线得到，则，根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， ∵D、E分别是、的中点， ∴， ∴， ∴与的周长比 故答案为． 13. 已知关于的方程的一根为1，则该方程的另一根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，先求出，再利用根与系数的关系来求解． 【详解】解：方程的一根为1， ，解得：， ， 根据根与系数的关系可知另一根为： 故答案为：． 14. 如图，点，在上，，直线与相切于点．若为的中点，则__________度． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、切线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据题意确定的值，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得的度数，然后结合切线的性质可知，即，然后求解即可． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点， ∴，即， ∴． 故答案为：21． 15. 已知实数，满足，则__________． 【答案】75 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，完全平方公式的变形求值，根据题意可求出，再由计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具———“碓（）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，．若，，，则点到水平线的距离为__________（结果保留小数点后一位，取1.414，取）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，对顶角的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点C作于点M，交于点N，证明四边形是矩形，利用勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答即可． 【详解】解：过点C作于点M，交于点N， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 【答案】点B 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式的解集是得到一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即， ∵，， ∴点A的纵坐标应该大于2，点C的纵坐标应该小于2，点D的纵坐标应该小于2， ∴，，一定不在直线直线上， ∵，，，四个点中，有一个点在直线上， ∴点在直线上， 故答案为：点B 18. 已知等边三角形的边长为5，分别延长，，至点，，，使，得，连接并延长交于点，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，首先确定，，在中，由勾股定理即可求得，设，易得，，证明，由相似三角形的性质解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵为等边三角形，且边长为5， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，同理可证， ∴，， ∵在中，， ∴， 设， 则在中，则有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵,， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）计算； （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了分式的减法和解二元一次方程组，熟练掌握分式的运算法则和加减消元法是关键． （1）通分化为同分母分式，进行加法运算即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2） 解：，得． 解得， 把代入②，得 ． 所以这个方程组的解是 20. 某校一年级开设人数相同的，，三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”是__________事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】此题考查了事件的分类、画树状图法或列表法求概率，正确画树状图是关键． （1）根据事件的分类进行解答即可； （2）正确画出树状图，可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相等．其中甲、乙分到同一个班的有3种．利用概率公式即可得到答案． 【小问1详解】 解：“学生甲分到A班”是随机事件， 故答案为：随机 【小问2详解】 画树状图如下： 由图可以看出，可能出现的结果共有9种，并且它们出现的可能性相等．其中甲、乙分到同一个班的有3种． 所以（甲、乙分到同一个班）． 21. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，． 若________，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出，再由全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：选择①； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 选择②； 无法证明， 无法得出； 选择③； ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴，即； 故答案为：①或③（答案不唯一） 22. 【项目背景】 近年来，人工智能的迅速崛起，极大地提高了人们的工作效率．某公司计划从A，B两个人工智能产品中选择一个使用．该公司对A，B两个人工智能产品的语言交互能力、分析能力和学习能力进行了测试（每项测试满分均为10分），每项能力均进行10次测试，取10次测试得分的平均数作为该项的测试成绩（单位：分）． 【数据收集与整理】 测试结束后，小琪将，两个人工智能产品的语言交互能力10次测试得分整理成如下折线统计图： 小亮将，两个人工智能产品的语言交互能力测试成绩的平均数、中位数、众数整理如下表： 产品 平均数 中位数 众数 A a 7 c B 7.5 b 6 小嘉将，两个人工智能产品的分析能力和学习能力测试成绩整理如下表： 产品 分析能力 学习能力 A 9 8 B 8 9 【数据分析与运用】 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）表格中__________，__________；__________； （2）哪个人工智能产品语言交互能力更强（从“平均数”“中位数”和“众数”中选择两个方面评价即可）？ （3）如果规定语言交互能力、分析能力、学习能力按2：5：3的比例计算最终成绩，那么该公司应该选择使用哪个人工智能产品？ 【答案】（1）7，7.5，7 （2）B产品，见解析 （3）A产品 【解析】 【分析】本题考查了统计的知识，熟练掌握平均数、中位数、众数的计算方法是解答本题的关键． （1）根据平均数、中位数、众数的计算方法求解即可； （2）根据平均数和中位数评价即可； （3）根据加权平均数的计算方法求解即可． 【小问1详解】 解：人工智能产品的语言交互能力10次测试得分为，， ， ， 人工智能产品的语言交互能力10次测试得分 由题意可得， ， 故答案为：7，7.5，7 【小问2详解】 因为产品的平均数和中位数均大于产品的平均数和中位数， 所以产品的语言交互能力更强； 【小问3详解】 产品的最终成绩为（分）， 产品的最终成绩为（分）． ， 该公司应该选择使用人工智能产品． 23. 如图，是的直径，弦交于点，． （1）求证； （2）若，求的正切值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）接．证明．得到，由即可得到结论； （2）证明，设，，其中．得到，根据正切定义即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接． 圆心角与圆周角都对着， ． ， ． ， ； 【小问2详解】 ，是的直径， ． ，， ． 设，，其中． 则在中，． ． 在中，． 【点睛】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理、解直角三角形等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是关键． 24. 某超市准备购进甲，乙两种商品共80件（其中甲商品不少于15件），相关信息如下： 信息一 商品 每件进价 （单位：元） 每件售价 （单位：元） 购买总资金 （单位：元） 甲 28 不超过820 乙 13 信息二 用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同． （1）求的值； （2）现该超市准备对甲商品每件优惠元出售，乙商品售价不变，则该超市怎样选择进货方案，能使销售完这80件商品所获利润最大？ 【答案】（1）18 （2）当时，甲商品购进18件，乙商品购进62件；当时，甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数；当时，甲商品购进15件，乙商品购进65件． 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和不等式是关键． （1）用360元购进甲商品的件数和用160元购进乙商品的件数相同，据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲商品购买件，销售总利润为元．列出一次函数并分情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意列方程，得． 方程两边乘， 得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：的值为18； 【小问2详解】 设甲商品购买件，销售总利润元． 则 ． ，且， ． ①当时，，此时随的增大而增大． 当时，取得最大值， 即甲商品购进18件，乙商品购进62件； ②当时，，此时与无关． 即甲、乙商品可以购进符合条件的任意件数； ③当时，，此时随的增大而减小． 当时，取得最大值， 即甲商品购进15件，乙商品购进65件． 25. 如图，在正方形中，是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点，连接并延长交于点． （1）依题意补全图形，并证明； （2）判断是否为线段的中点，说明理由； （3）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）是，见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）补图，由折叠知，，，由中点和正方形性质得，，即得； （2）连接交于点．根据轴对称，得，得，可得四边形是平行四边形，得，即得H是线段的中点； （3）过点作，交于点，设正方形的边长为，，则，，根据，得，，即得． 【小问1详解】 解：补图如答图1 ， 由折叠可知，，， ∴． ， ． ． ， ． ． 即； 【小问2详解】 解：是线段的中点． 证明：如答图2，连接交于点． ，两点关于对称， 垂直平分． ． ， 是的中位线． ． 即． 又， 四边形是平行四边形． ． ，， ． 是线段的中点． 【小问3详解】 解：． 证明：如答图3，过点作，交于点． 设正方形的边长为，， 则，． 中，由勾股定理，得， ． 解得． ． ，， ． ． 即． 【点睛】本题考查了正方形折叠．熟练掌握正方形性质，折叠性质，折叠作图，三角形中位线判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 26. 已知抛物线经过，两点． （1）若，求当随的增大而增大时，自变量的取值范围； （2）若直线与抛物线有且只有一个公共点，求的值； （3）在（2）的条件下，点在直线上，点在抛物线上．若，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． （1）利用待定系数法求得函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可； （2）将代入，得到，根据根的判别式，可求出； （3）先把代入解析式，求得直线为，抛物线为，再根据题意求得，然后利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即抛物线的开口向下， 此时，在对称轴左侧，随的增大而增大， 即； 【小问2详解】 解：将代入， 得， ， ， 整理，得， 直线与抛物线有且只有一个公共点， 方程有两个相等的实数根， ， 整理，得， ， ． 的值为； 【小问3详解】 解：当时，直线为，抛物线为， ， ， 点在直线上，点在抛物线上， ， ， ， 配方，得， 是的二次函数，且二次项系数小于0， 当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$